冪零berrand曲線和主法向量的刻畫

冪零berrand曲線和主法向量的刻畫

在研究空間曲線的基本理論和特點時，這兩種列曲線之間的對應(yīng)關(guān)系吸引了許多數(shù)學(xué)家的興趣。最為著名的一類伴侶曲線是Bertrand曲線,它定義為兩類曲線在對應(yīng)點的主法線重合。Bertrand曲線已經(jīng)被許多學(xué)者研究。Balgetir等人研究了三維Minkowski空間中的冪零Bertrand曲線和非冪零Bertrand曲線,Izuyima討論了Bertrand曲線和一般螺線的性質(zhì);Schief則考慮了三維歐式空間中Bertrand曲線的運動。Mannheim曲線是由Mannheim于1878年提出的。最近,Liu和Wang給出了Mannheim曲線的定義,并研究了三維空間中Mannheim伴侶曲線,得到了Mannheim伴侶曲線的充要條件。Orbay和Kasap得到了三維歐式空間中Mannheim伴侶曲線的新的特征。Oztekin和Ergut研究了三維Minkowski空間中冪零Mannheim曲線,Karacan則考慮了弱Mannheim曲線。Balgetir等人雖然研究了冪零Bertrand曲線的冪零伴侶曲線,但卻沒有得到冪零Bertrand曲線的非冪零伴侶曲線。Oztekin和Ergut雖然研究了三維Minkowski空間中冪零Mannheim曲線,但在文獻中卻有錯誤。并且,據(jù)作者所知,目前還沒有人研究主法向量是冪零的類空曲線。因此,本文主要研究冪零曲線和主法向量是冪零的類空曲線。1偽正交標(biāo)架型設(shè)E31是3維Minkowski空間,→a={x1,x2,x3},→b={y1,y2,y3}是E31的任意兩個非零向量,則其內(nèi)積和向量積分別定義為:若〈→a,→a〉<0,稱→a為類時向量;若?→a,→a?=0,稱→a為冪零向量;若〈→a,→a〉>0,稱→a為類空向量。設(shè)→r(s):I→E31是E31中的一條非冪零曲線,s是其弧長參數(shù),若?r→s,r→s?≠0,Τ→、Ν→、B→分別是曲線r→(s)的切向量、主法向量和副法向量。令Τ→2=ε1=±1,Ν→2=ε2=±1,B→2=ε3=±1。由知ε1ε2ε3=-1,故曲線分為三類:-ε1=ε2=ε3=1稱為類時曲線;ε1=-ε2=ε3=1稱為第一類類空曲線;ε1=ε2=-ε3=1稱為第二類類空曲線。故Τ→,Ν→,B→構(gòu)成的Serret-Frenet公式為:(Τ→˙Τ→˙Τ→˙)=(0κ0-ε1ε2κ0τ0-ε1ε2τ0)(Τ→Ν→B→)(1)其中,κ(s),τ(s)分別為曲線的曲率和撓率,Τ→˙=dΤ→ds,以下類似。若曲線C是類空曲線,且〈r→s,r→s〉=0,則曲線是主法向量是冪零的類空曲線。其Serret-Frenet公式為(Τ→˙Ν→˙Τ→˙)=(0κ00τ0-κ0-τ)(Τ→Ν→B→)(2)注意到Τ→2=1,Ν→2=B→2=0,〈Τ→,Ν→〉=〈Τ→,B→〉=0,〈B→,Ν→〉=1。因此,偽正交標(biāo)架{Τ→,Ν→,B→}滿足Τ→=Ν→×B→,Ν→=Τ→×Ν→,B→=B→×Τ→(3)如果曲線C是冥零曲線,其Serret-Frenet公式為(Τ→˙Ν→˙B→˙)=(0κ0τ0-κ0-τ0)(Τ→Ν→B→)(4)注意到Ν→2=1,Τ→2=B→2=0,〈Τ→,Ν→〉=〈Ν→,B→〉=0,〈B→,Τ→〉=1。因此,偽正交標(biāo)架{Τ→,Ν→,B→}滿足Τ→=Τ→×Ν→,Ν→=B→×Τ→,B→=Ν→×B→(5)在下面兩節(jié),我們要討論曲線C和伴侶曲線C*。我們總是假設(shè)曲線C是非直線,κ、τ、s和κ*、τ*、s*分別是C和C*的曲率、撓率和弧長。2bertrand擬合在文獻中,Balgetir等人已經(jīng)得到了冪零Bertrand曲線有冪零Bertrand伴侶曲線的充要條件,這里作為結(jié)論給出。引理1設(shè)曲線C是冪零曲線,則C是Bertrand曲線當(dāng)且僅當(dāng)C是測地線,或者是撓率為常數(shù)的冪零曲線。從引理1出發(fā),通過直接計算,我們可以得到如下推論。推論1設(shè)曲線C是冪零曲線,C*是冪零Bertrand伴侶曲線,則C*的偽正交標(biāo)架{Τ→*,Ν→*,B→*}用曲線C的偽正交標(biāo)架{Τ→,Ν→,B→}表示,即Τ→*=B→,Ν→*=-Ν→,B→*=Τ→。注意到對于冪零Bertrand曲線C,Balgetir等人并沒有給出其非冪零的Bertrand伴侶曲線,這里我們?nèi)缦陆o出:定理1設(shè)曲線C是冪零曲線,C*是其非冪零Bertrand伴侶曲線,則C*或者是類時曲線,或者是第二類類空曲線。C*的曲率κ*、撓率τ*和弧長s*如下給出κ*=κ(1+2Aτ)Dε2,τ*=-κDε2,ds*=Dεds(6)其中Dε=-2εAκ(1+Aτ)={2Aκ(1+Aτ),當(dāng)ε=-1?A+A2τ>0-2Aκ(1+Aτ)?當(dāng)ε=1?A+A2τ<0C*的偽正交標(biāo)架{Τ→*,Ν→*,B→*}由曲線C的偽正交標(biāo)架{Τ→,Ν→,B→}表示,即Τ→*=1+AτDεΤ→-AκDεB→,Ν→*=Ν→,B→*=-ε(1+AτDεΤ→+AκDεB→)(7)證明由Bertrand曲線定義,曲線C*由下式給出r→*=r→+AΝ→(8)對(8)式關(guān)于s微商得Τ→*ds*ds=(1+Aτ)Τ→+AsΝ→-AκB→(9)注意到C*是非冪零曲線,則?Τ→?Ν→?=0,又Ν→*=Ν→,所以有As=0.因此(9)約化為Τ→*ds*ds=(1+Aτ)Τ→-AκB→(10)又(Τ→*)2(ds*ds)2=[(1+Aτ)Τ→-AκB→]2=-2Aκ(1+Aτ)(11)注意到(Τ→*)2=±1,所以我們分兩種情況討論:Case1如果(Τ→*)2=-1,則C*是類時曲線,再由(11)得到D-1=ds*ds=2Aκ(1+Aτ),這里A(1+Aτ)>0,則得(7)的第一個關(guān)系式。對(7)的第一個關(guān)系式關(guān)于s微商得再次利用Ν→*=Ν→,得到則得(6)的第一式,副法向量B→*由下式給出并且,撓率τ*由式D-1τ*=-B→s*Ν→*給出。Case2如果(Τ→*)2=1,借助于Ν→*2=Ν→2=1,則C*是第二類類空曲線。剩余的證明類似于Case1的證明,這里略去。例1曲線Cr→={s,cosh2s2,sinh2s2}是冪零曲線,其偽正交標(biāo)架分別為Τ→={1,sinh2s,cosh2s},Ν→={0,2cosh2s,2sinh2s},B→=-14{-4,sinh2s,cosh2s},其曲率κ=2,撓率τ=-1。則其類時Bertrand伴侶曲線C*由(8)給出,其中0<A<2。由(12)的第一和第二式,我們可以發(fā)現(xiàn)κ和τ滿足線性關(guān)系,即下面推論:推論2設(shè)曲線C是冪零曲線,C*是類時曲線,或者是第二類類空曲線。如果C是Bertrand曲線且C*是其Bertrand伴侶曲線,則C的曲率κ和撓率τ滿足線性關(guān)系,即這里,α>0是任意常數(shù)。從(6)的第一和第二式,我們得到如下推論:推論3設(shè)曲線C是冪零曲線,C*是類時曲線,或者是第二類類空曲線。如果C*是Bertrand曲線C的伴侶曲線,則C*的曲率κ*和撓率τ*滿足線性關(guān)系,即κ*-τ*=±1A(14)Oztekin和Ergut已經(jīng)注意到了冪零Mannheim曲線的伴侶曲線不再是冪零的,并得到了相應(yīng)的充要條件,但在文獻中卻有一些錯誤,這里我們給出許多改正。定理2設(shè)曲線C是冪零Mannheim曲線,C*是其非冪零伴侶曲線,則C*或者是類時曲線,或者是第一類類空曲線。C*的曲率κ*,撓率τ*和弧長s*如下給出κ*=Aκs2κDε3,τ*=2τ=-1A,ds*ds=Dε(15)其中Dε=-εAκ={Aκ,當(dāng)ε=-1?A>0-Aκ?當(dāng)ε=1?A<0C*的偽正交標(biāo)架{Τ→*,Ν→*,B→*}則由曲線C的偽正交標(biāo)架{Τ→,Ν→,B→}表示,即Τ→*=12DεΤ→+εDεB→,Ν→*=12εDεΤ→-DεB→,B→*=Ν→(16)證明由Mannheim曲線定義,C*由(8)式給出.有文獻中定理3.1知A是任意非零常數(shù)。對(8)式關(guān)于s微商得Τ→*ds*ds=(1+Aτ)Τ→-AκB→(17)由(17)得到(11),注意到(Τ→*)2=±1,所以我們分兩種情況討論:Case3如果(Τ→*)2=-1,則C*是類時曲線,再由(11)得到D-1=ds*ds=2Aκ(1+Aτ),這里A(1+Aτ)>0,則(17)約化為Τ→*=1+AτDεΤ→-AκDεB→(18)對(18)關(guān)于s微商得κ*Ν→*D-1=(1+AτD-1)sΤ→+κ(1+2Aτ)D-1Ν→-(AκD-1)sB→,借助于Ν→=B→*和Ν→2=B→*2=1,則得到τ=-12A,D-1=Aκ,Ν→*=-(12D-1Τ→+D-1B→),κ*=Aκs2κD-13(19)利用B→*=Ν→,我們得到-D-1τ*Ν→*=τΤ→-κB→,所以就得到了τ*。Case4如果(Τ→*)2=1,借助B→*2=Ν→2=1,則C*是第一類類空曲線。剩余的證明類似于Case1的證明,這里略去。例2曲線Cr→={sins,-coss,s}是冪零曲線,其偽正交標(biāo)架是Τ→={coss?sins,1},Ν→={-sins,coss,0},B→=-12{coss,sins,-1}。其曲率κ=1,撓率τ=12。則其Mannheim伴侶曲線C*是由r→*=r→-Ν→給出。在這種情況下,C*是第一類類空曲線。3+as+a型主法向量是冪零的類空曲線以前還沒有人研究過,這里,我們考慮其Bertrand曲線和Mannheim曲線。定理3如果C是主法向量是冪零的類空曲線,則其Bertrand伴侶曲線C*也是主法向量是冪零的類空曲線,并且其偽正交標(biāo)架{Τ→*,Ν→*,B→*}由C的偽正交標(biāo)架{Τ→,Ν→,B→}表示,即Τ→*=Τ→+(As+Aτ)Ν→?Ν→*=Ν→?B→*=-(As+Aτ)Τ→-12(As+Aτ)2Ν→+B→(20)C*的曲率、撓率和弧長分別如下給出這里,A是任意距離函數(shù)。證明對(8)式關(guān)于s微商得Τ→*ds*ds=Τ→+(As+Aτ)Ν→(22)因此有Τ→*2(ds*ds)2=[Τ→+(As+Aτ)Ν→]2=1(23)由(23)得到Τ→*2=1和(ds*ds)2=1,不失一般性,設(shè)ds*ds=1,即s*=s。所以,(22)約化為(20)的第一式,且?Τ→*,Ν→*?=0,注意到Ν→*2=Ν→2=0,因此C*是主法向量是冪零的類空曲線,并且存在唯一的冪零向量B→*,使得?B→*,Ν→*?=1和?Τ→*,B→*?=0。設(shè)B→*=xΤ→+yΝ→+zB→,則x2+2yz=0,z=1,x+z(As+Aτ)=0(20)的第三式即可得到。對(20)的第一式和第二式微分,得(21)式,并且容易驗證B→s*=-κ*Τ→*-τ*B→*。因此,{Τ→*,Ν→*,B→*}是C*的偽正交標(biāo)架。例3曲線Cr→={es,s,es}的偽正交標(biāo)架是Τ→={es,1,es},Ν→={es,0,es},B→=-{sinhs,1,coshs}。所以曲線C是主法向量是冪零的類空曲線,其曲率和撓率是κ=τ=1,Bertrand伴侶曲線C*由(8)式給出,A是任意距離函數(shù)。定理4設(shè)C是主法向量是冪零的類空曲線,則其Mannheim伴侶曲線不存在。證明我們假設(shè)C*是Mannheim