偽歐空間兩個類空類時空間之間的關(guān)系

偽歐空間兩個類空類時空間之間的關(guān)系

1偽歐正交矩陣它在n和k維誠實向量空間v中定義了向量a和b，并定義了對稱的雙重非線性函數(shù)。它被稱為內(nèi)部累積，并記錄為（a和b）=ain和kbt。等式中的向量空間v稱為k的偽歐空間，并被記錄為en和k。當(dāng)a=b時,(a,a)=aIn,kaT,若(a,a)>(<,=)0,稱a為類空(時,光)向量,En+kk的最大類空(時)子空間為n(k)維。若對Kn+kk的線性變換A,有(Aa,Ab)=(a,b),稱A為偽歐正交變換,在n個類空k個類時向量組成的標(biāo)準(zhǔn)正交基下,偽歐正交變換A對應(yīng)的矩陣為偽歐正交矩陣。對偽歐正交矩陣P,有PIn,kPT=In,k。En+kk中全體偽歐正交矩陣的集合,記為O(n,k)。O(n,k)關(guān)于矩陣的乘法成群。對En+kk的任意二個非共線的屬于同一類空區(qū)域的類空向量a,b,若其內(nèi)積(a,b)2<(a,a)(b,b),作向量c=a+bt(或c=at+b)(t∈R),則(c,c)=(a+bt,a+bt)=(a,a)+2t(a,b)+t2(b,b),其關(guān)于t的判別式Δ=4(a,b)2-4(a,a)(b,b)<0,所以對a,b張成的平面中的每一個向量c都是類空向量。這時我們稱向量a,b為歐氏(或橢圓)關(guān)系,其夾角θ可由cos2θ=(a,b)2(a,a)(b,b)確定,稱θ為歐氏(或橢圓)角。若對類空向量a,b,有(a,b)2>(a,a)(b,b),則對由a,b張成的平面上的向量既有類空的,也有類時、類光的,這時我們稱a,b為雙曲關(guān)系,其夾角θ可由cosh2θ=(a,b)2(a,a)(b,b)確定,稱θ為雙曲角。若對類空向量a、b,有(a,b)2=(a,a)(b,b),稱a,b為拋物關(guān)系,它們的夾角為拋物角。這時由a,b張成的平面上的任二個類空向量a′,b′,仍有(a′,b′)2=(a′,a′)(b′,b′),它們?nèi)詾閽佄镪P(guān)系。上面對類空向量的夾角的定義也適用于En+kk中的屬于同一類時區(qū)域的二個類時向量。2detb的定義文獻(xiàn)給出了歐氏空間En中兩個k維子空間的多維角、單維角的定義及性質(zhì),文獻(xiàn)把多維角的概念推廣到En中的兩個任意維(不一定相等)的子空間。本文把文獻(xiàn)的方法應(yīng)用到偽歐空間En+kk,得到了En+kk中的兩個類空(類時)子空間之間的單維角、多維角的定義及性質(zhì)。記∑1,∑2各為En+kk的p,q維(不妨設(shè)p≤q)類空子空間,各由線性無關(guān)的類空向量a1,…,ap;b1,…,bq張成。記以a1,…,ap;b1,…,bq為行向量的p×(n+k),q×(n+k)矩陣為A,B,又記PA=AIn,kAT,PB=BIn,kBT,QAB=AIn,kBTBIn,kAT。定理1detQABdetΡAdetΡB?Θ不依賴于∑1,∑2中的線性無關(guān)的向量的選取。證明只要證A的ai換成kai(k≠0),ai+aj(j≠i)兩種情況下,對應(yīng)的Θ的值不變就可以了。當(dāng)A的ai換成kai(k≠0)時,對應(yīng)的矩陣A1=I(i(k))A,這里I(i(k))為第i行k的初等矩陣,則detQA1BdetΡA1detΡB=det[Ι(i(k))AΙn,kBΤBΙn,kAΤ(Ι(i(k))Τ]det[Ι(i(k))AΙn,kAΤ(Ι(i(k))Τ]detΡB=det[Ι(i(k))]detQABdet[Ι(i(k))]Τdet[Ι(i(k))]detΡAdet[Ι(i(k))]ΤdetΡB=detQABdetΡAdetΡB當(dāng)A的ai換成ai+aj(j≠i)時,對應(yīng)的矩陣A2=I(ij(1))A,這里I(ij(1))為第j行加到第i行的初等矩陣,則detQA2BdetΡA2detΡB=det[Ι(ij(1))AΙn,kBΤBΙn,kAΤ(Ι(ij(1))Τ]det[Ι(ij(1))AΙn,kAΤ(Ι(ij(1))Τ]detΡB=det[Ι(ij(1))]detQABdet[Ι(ij(1))]Τdet[Ι(ij(1))]detΡAdet[Ι(ij(1))]ΤdetΡB=detQABdetΡAdetΡB證畢由定理1,不妨取∑2的b1,…,bq為單位正交類空向量,則detPB=1,對應(yīng)Θ=detQABdetΡA。當(dāng)p=1時,∑1為Ekn+k的類空直線,對∑1?∑2,若它們之間的Θ>(<,=)1,稱∑1與∑2為雙曲(歐氏,拋物)關(guān)系,其交角θ可由cosh2θ=Θ(cos2θ=Θ,拋物角)來確定。若∑1與∑2成歐氏角,則∑1與∑2張成Ekn+k的q+1維歐氏(類空)子空間;若∑1與∑2成雙曲角,則∑1與∑2張成Ekn+k的E1q+1型子空間。由此得知Ekn+k的n維類空子間∑2與不在∑2上的類空直線必成雙曲角。若類空直線∑1?∑2,則Θ=1,為下文需要,亦稱∑1與∑2交于雙曲角,歐氏角,拋物角。∑1與∑2的b1,…,bq交角為θj(1≤j≤q),當(dāng)∑1與∑2為歐氏角時,∑1與b1,…,bq皆為歐氏角,且有cos2θ=∑j=1qcos2θj當(dāng)∑1與∑2成雙曲角時,∑1至少與某一bj成雙曲角。若∑1與某些bs成雙曲角,與某些bt成歐氏角,由Θ的表達(dá)式,有定理2cosh2θ=∑scosh2θs+∑tcos2θt當(dāng)p>1時,因PA為正定矩陣,存在可逆矩陣R,C=RA的行向量為c1,…,cp,使CIn,kCT=RPART=I,即c1,…,cp為單位正交類空向量,且RQABRT=diag(λ1,…,λp)稱c1,…,cp為∑1的a1,…,ap經(jīng)R,B單位正交化得到的標(biāo)準(zhǔn)正交基。c1,…,cp與∑2的夾角,稱為∑1與∑2的單維角。定理3detQABdetΡA=Πi=1pdetQciBdetΡci證明由ci的定義知ci為In,kBTBIn,k的特征值為λi的特征向量,則detQABdetΡA=detRQABRΤdetRΡARΤ=λ1?λp=(c1λ1c1Τ)?(cpλpcpΤ)(c1Ιn,kc1Τ)?(cpΙn,kcpΤ)=det(c1Ιn,kBΤBΙn,kc1Τ)?det(cpΙn,kBΤBΙn,kcpΤ)detΡc1?detΡcp=Πi=1pdetQciBdetΡci證畢若∑1對∑2的單維角全是雙曲(歐氏,拋物)角,則Θ>(<,=)1,稱∑1與∑2的多維角為雙曲(歐氏、拋物)的,其夾角θ由cosh2θ(cos2θ,拋物角)=Θ確定。不是上述三種類型的情況,稱∑1對∑2為混合角,如在E26中,∑2由b1=(1,0,0,0,0,0),b2=(0,1,0,0,0,0)張成,∑1由a1=(x,0,1,0,x,0),a2=(0,y,0,1,0,y)張成,由x,y的不同取值可得∑1對∑2的各種類型的夾角。由定理3得到∑1對∑2的多維雙曲(歐氏)角與單維角α1,…,αp滿足cosh2αAB=cosh2α1…cosh2αp(cos2αAB=cos2α1…cos2αp)Ekn+k中的n維類空子空間∑2與異于∑2的任一p維類空子空間∑1必成雙曲角。對Ekn+k中的p、q(p≤q)維類時子空間,各由線性無關(guān)的類時向量a1,…,ap;b1,…,bq張成。以a1,…,ap;b1,…,bq為行向量的矩陣記為A、B。記PA=A(-In,k)AT,PB=B(-In,k)BT,QAB=A(-In,k)BTB(-In,k)AT=AIn,kBTBIn,kAT。仍可用類似上面的方法定義類時子空間∑1與∑2的夾角。定理4若∑1、∑2為Ekn+k的n維類空子空間,∑*1、∑*2為它們在Ekn+k中的正交的k維類時子空間,φ(∑1,∑2)與φ(∑*1,∑*2)各為它們的夾角(多維角),則有φ(∑1,∑2)=φ(∑*1,∑*2)。證明不失一般性,可設(shè)∑1、∑*1各由Ekn+k的初始單位類空、時向量e1,…,en;en+1,…,en+k生成,∑2、∑*2各由正交單位類空、時向量a1,…,an;an+1,…,an+k生成。以a1,…,an;an+1,…,an+k為行向量的n+k階矩陣記為A。以X、Y、Z表示A的下述子矩陣,X的元素aij(1≤i≤n,1≤j≤n),Y的元素aij(1≤i≤n,n+1≤j≤n+k),Z的元素