clifman代數(shù)雙曲復(fù)空間的刻畫

clifman代數(shù)雙曲復(fù)空間的刻畫

cloffen是英國的一位數(shù)學(xué)家w.k.cliven于1878年創(chuàng)立。近年來，它廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域。在這項工作中，我們提出了一個基于clft函數(shù)的虛擬單元，并引入了兩個n維彎曲復(fù)空間和兩個n維最小低速表面的概念，以展示n維最小低速幾何（n維洛根變換的n維最小低速空間）。1空氣數(shù)據(jù)的類光向量形如z=x+jy的數(shù),稱為雙曲復(fù)數(shù),其中x,y∈R(實數(shù)域),j為Clifford代數(shù)的雙曲虛單位,有性質(zhì)j2=1,j*=-j(j*稱為j的共軛元).將雙曲復(fù)數(shù)全體記為則H關(guān)于如下定義的加法與乘法作成二維實交換代數(shù)其中,z1=x1+jy1,z2=x2+jy2.與雙曲復(fù)數(shù)對應(yīng)的平面稱為雙曲復(fù)平面(亦稱H平面).引入內(nèi)積則H平面成為Minkowski平面(二維Minkowski空間),1,j是它的一個Minkowski正交基.?z∈H,z·z<0(>0,=0)時,稱其為類時向量(類空向量,類光向量).由內(nèi)積定義H中向量x=x+jy的間隔數(shù)(或稱模長)為?z∈H,σ(z)=0?z為類光向量.而Minkowski平面H的所有類光向量所成集,恰為二維實交換代數(shù)H的所有零因子所成集.關(guān)注這一事實,由H平面表述Minkowski平面,將為考察Minkowski平面的相關(guān)性質(zhì)帶來方便.為考察相對論力學(xué)中的有關(guān)問題,可將H表為H={x+jct},其中c表光速,t表時間.記H的未來類時區(qū)為H+={x+jct∈H|ct≥|x|,僅當(dāng)x=0時等號成立}.(5)驗證可知,H+對(6)滿足封閉律及結(jié)合律,且?0≠z+jct∈H+,?j∈H+s.t.j。(x+jct)=j(j(x+jct))=x+jct且z有逆元z-1=σ(z)-1(-z*)∈H+.故有如下定理定理1.1(H+＼{0},。)是Abel群.推論1.2令U+={z∈H+|σ(z)=1},則(U+,。)為Abel群.定理1.3任取u=xu+jctu∈U+,定義映射則Lu為Lorentz變換.證明任取u∈U+,u可寫成u=j(coshφ+jsinhφ),-u*可寫成-u*=(coshφ-jsinhφ),其中φ=arctanh(xct).任取z=x+jct,令z′=x′+jct′,則有從而有故命題成立.定義1.4由σ(z-z0)=p確定的點集,稱為以z0為心,以p為半徑的Minkowski圓周,記為U(z0,p).其歐氏圖像為兩對等軸雙曲線,依次記為依次稱為z0為心p為半徑的S+(T+,S-,T-)型圓周.對于(10),當(dāng)p=1,z0=0時,T+型圓周為推論1.2中的U+,即U(0,1;T+)=U+,稱其為時間單位集,而(U+,。)稱為時間單位群.p=0時,其歐氏圖像對應(yīng)于z0為心的任意等軸雙曲線的漸近線.2類時類光節(jié)距的確定由雙曲復(fù)數(shù)表述Minkowski平面的方法及相關(guān)結(jié)果可向n維情形推廣.令或記為其中r=(x1,…,xn-1)為n-1維實位置向量.由(13),可將Hn中的n維向量形式地看作雙曲復(fù)數(shù).類比于(3),在Hn中引入內(nèi)積或表為則Hn成為n維Minkowski空間.特別地,n=2時,H2為前述Minkowski平面;n=4時,可用于考察狹義相對論力學(xué).?w∈Hn,w·w<0(>0,=0)時,稱w為類時(類空,類光)向量.定義2.1設(shè)點集L?Hn,稱L是Hn的類時(類空,類光)連續(xù)曲線,是指它滿足如下兩個條件1)L由連續(xù)實函數(shù)組:xi=xi(φ)(i=1,…,n-1,n;a≤φ≤b)確定;w=w(a),w=w(b)依次稱為w的起點與終點.定理2.2設(shè)點集L由如上定義2.1中的1)確定,?w=(x1,…,xn-1,jxn)∈L,xi=xi(φ),(i∈{1,…,n-1,n})在區(qū)間(a,b)可導(dǎo),且有˙w?˙w＜(＞?=)0,(17)則L為Hn的類時(類空,類光)連續(xù)曲線,其中˙w為w的一階導(dǎo)向量(切向量).例2.3記前述Minkowski平面為H2取L=W{z=coshφ+jsinhφ∈H2|-1≤φ≤1},則有˙z=sinhφ+jcoshφ.由z·z=cosh2φ-sinh2φ=1>0,可知L由H2的類空點組成.由˙z?˙z=sinh2φ-cosh2φ=-1＜0,可知L為H2的類時曲線.記wAB為起點為A終點為B的向量,L(AB,T)為起點為A終點為B的類時曲線,L[AB;T]為起點為A終點為B的所有類時曲線所成集,則有如下定理及推論定理2.4(反向三角不等式)推論2.5?L∈L[AB,T],從A至B順次取點A0(=A),A1,…,An-1,An(=B)∈L,則有定義2.6?L∈L[AB,T],在L上由A至B順次取點A0(=A),A1,…,An-1,An,使得n→∞時,有max{σ(wA0A1),…,σ(wAn-1An)}→0,則類時曲線L的長度Lσ由下式定義由ds表曲線L的弧長微元,則(20)可由定積分表為例2.7設(shè)A=(0,0,…,0,0),B=(0,0,…,…,jxn),xn>0,在wAB上依次取點A0(=A),A1,A2,…,An-1,An(=B),使σ(wA1A1+1)=1nxn?i=0,1,??n-1.?L∈L[AB,Τ],在L上取點B0(=A),B1,B2,Bn-1,Bn(=B),使Bi的第n個分量與Ai的第n個分量相同(i=0,1,2,…,n).則有其中,r2i+1為Bi+1-Bi的前n-1個分量的平方和.由此可得注意到任意類時向量均可經(jīng)lorentz變換化為前n-1個分量為零的類時向量.可知,例2.7所述方法可用于wAB為任意類時向量的情形.推論2.8?L∈L[AB,T],有σ(wAB)≥Lσ.(22)(22)式對應(yīng)的幾何意義為:在連接兩點的所有類時曲線中,線段最長.n=4時,點A,B稱為四維時空的事件,L稱為四維時空的世界線,(22)式可理解為:兩事件間一切可能的世界線以相應(yīng)于等速直線運動的世界線為最長.3關(guān)于多元線性相對應(yīng)規(guī)則的解析解?w∈H+n,σ(w)≠0時,定義其輻角為?w=r+jct∈H+n,σ(w)≠0時,w可表為其中r°=rr.記Un(w0,p)={w∈Hn|σ(w-w0)=p},(26)稱其為以w0為心,以p為半徑的n維Minkowski球面.特別地,w0為零向量,且p=1時,(26)可記為稱為n維Minkowski單位球面.稱其為Hn的時間單位集.?w∈U+n,當(dāng)σ(w)≠0時w可表為w=j(coshφ+jr°sinhφ).(29)類比于(6),在Hn中引入二元運算則(30)不具有與(6)相對應(yīng)的性質(zhì),即σ(w1。w2)與σ(w1)σ(w2)不必相等,且?w1,w2∈H+n＼{0}不必有w1。w2∈H+n＼{0}(蘊含:?u1,u2∈U+n,不必有u1。u2∈U+n).例如,取則有定理3.1?w1,w2∈H+n＼{0},若r1,r2線性相關(guān),則定理3.2H+n＼{0}對如下運算⊙封閉,且保持間隔數(shù)其中,α=√1-r21c2t21,r2∥與r2⊥分別為r2平行于r1及垂直于r1的分量.定理3.3?u∈U+n,定義映射Lu∶H+n→H+n,w→-u*⊙w,(32)則Lu為Lorentz變換.證明令u=ru+jctu=j(coshφ+jru°sinhφ),w=r+jct.令w′=r′+jct′=-u*⊙w,可得其中α=1γ?φ=arctanhγuctu,ru°=ruγu.令v=rutu=(v1,v2,??vn-1),v=γutu,則ru°=v°tu,r∥=(ru?r)ruγu2,r⊥=r-r∥,代入(19)并整理可得滿足(ct′)2-(r′)2=(ct)2-r2.相應(yīng)的矩陣形式為其中,vik=vivk(i,k=1,2,…,n-1).特別地,v1=v,v2=…=xn-1=0時,方程組(34)