關(guān)于smarnsge可乘函數(shù)的討論

關(guān)于smarnsge可乘函數(shù)的討論

1smrandge可乘函數(shù)的定義對于任意正整數(shù)n，著名的f.smaradachclm函數(shù)的sl（n）定義為最小正整數(shù)m，并將n設(shè)置為n。其中，[1.2].m表示1、2和……sl（n）的第一個值是sl（1）1，sl（2）2，sl（3）3，sl（4）4，sl（5）5。許多科學(xué)家研究了sl（n）的基本特征，并獲得了許多結(jié)果。當(dāng)代表n時，它們是可靠的。通常將滿足的算術(shù)函數(shù)f(n)稱為Smarandache可乘函數(shù).因此SL(n)是一個Smarandache可乘函數(shù).可參閱文獻.由Smarandache可乘函數(shù)的定義得到啟發(fā),本文定義了一個新的Smarandache型函數(shù)如下:,當(dāng)n>1且為n的標(biāo)準(zhǔn)分解式時定義:研究發(fā)現(xiàn)函數(shù)與函數(shù)SL(n)有許多類似的性質(zhì),參閱文獻,例如當(dāng)n為素數(shù)的方冪時,.對于函數(shù)顯然存在無限多個正整數(shù)n使得.事實上,由(1)式知,當(dāng)n=pα為素數(shù)方冪時,我們有同時又存在無限多個正整數(shù)n,使得.例如當(dāng)n為兩個不同奇素數(shù)的乘積時,即n=p·q,其中3≤P<q為素數(shù),那么于是我們想到,對于哪些自然數(shù)n,會有方程成立?本文的主要目的是研究一類包含方程的可解性,即尋求所有正整數(shù)n,使得方程成立,其中表示對n的所有正因數(shù)求和.也就是證明了以下的2m為3.1.m為了完成定理的證明.首先需要一個簡單引理.引理當(dāng)m≥13時,m≥3d(m),這里d(m)為除數(shù)函數(shù).證明設(shè)m≥13且表示m的標(biāo)準(zhǔn)素因數(shù)分解式,我們分以下幾種情況來進行討論:i)如果有一個αi≥4(1≤i≤k),則有即m≥3d(m).參閱文獻.ⅱ)如果,則當(dāng)pj≥3時有而當(dāng)Pj=2時,m至少有兩個不同的素因子,于是有即w>3<i(/w).ⅲ)如果,若pj≥3,則,若Pj=2,由于n(≥13)至少還有另一個素因子q≥5,則;即都有m≥3d(m).若k=2,當(dāng)m含有素因子2時必有另一個素因子q≥7,此時;當(dāng)m含有素因子3時必有另一個素因子q≥5,此時;當(dāng)m含有兩個≥5的不同素因子,此時;若k≥3,我們有,即對任何情形都有m≥3d(m).結(jié)合以上情況立刻完成引理的證明.3當(dāng)m為13時,解析m3.當(dāng)m現(xiàn)在我們利用這個引理來給出定理的證明.容易驗證n=1是方程的解。設(shè)n>1且是n的標(biāo)準(zhǔn)素因數(shù)分解式,因為n=pα不滿足方程,所以當(dāng)n滿足方程時有k≥2.現(xiàn)在設(shè)為方便起見設(shè)n=mpα滿足方程,此時應(yīng)有:因為當(dāng)d|m時,,所以上式兩邊同除以pα,并注意到當(dāng)d|m時SL(d)≤Pi,所以有即若n=mpα滿足方程,應(yīng)有m<3d(m),也就是當(dāng)m≥3d(m)時,n=mpα不是方程的解,由引理可知此時m≥13.下面只需討論當(dāng)m<13時,哪些n=mpα滿足方程即可.1)當(dāng)m=7,9,11時,容易驗證m≥3d(m),此時n=mpα不是方程的解.2)當(dāng)m=2時,n=2pα,此時p≥3.若α=1,解1+p+2(1+1)=2p得p=5,此時n=2p=10顯然是方程的解.若α=2,假如p=3,則,即.假如p≥5,.,即.若α≥3,對正整數(shù)α(≥3)用數(shù)學(xué)歸納法易證不等式1+p+p2+…+pα+2(α+1)<2pα成立,即。3)當(dāng)m=3時,n=3pα,此時p=2,α≥2或p≥5,若p=2時,,假如α=2,3,則,假如α≥4,則2α+1+3α+1<3·2α,即.4)當(dāng)m=4時,n=4pα，則p≥3,若p=3,則,即。若p≥5,則,即.5)當(dāng)m=5時,n=5pα,若p=2,α≥3,則,若p>5時,則.6)當(dāng)m=6時,則p≥5,.7)當(dāng)m=8時,8)當(dāng)m=10時,若p=3,則α≥2,.9)當(dāng)m=12時,則P≥5綜上所述,只有n=1,10是方程的解.定理方程有且僅有兩個正整數(shù)解n=1,10.iv)如果αi=1(i=1,2,…,k),若k=1