關(guān)于三角代數(shù)的刻畫

關(guān)于三角代數(shù)的刻畫

0角代t與三角分辨率在文獻(xiàn)中，studal在條件下提出了以下問(wèn)題?？梢蕴砑踊騽h除條件。在文獻(xiàn)中，當(dāng)滿足條件時(shí)，可以通過(guò)環(huán)形環(huán)上的等元來(lái)添加可添加環(huán)上的等元。在文獻(xiàn)中Daif引入了可乘導(dǎo)子的概念:環(huán)R上的映射d稱為可乘導(dǎo)子,任給a,b∈R,都有d(ab)=d(a)b+ad(b)。并證明了下面定理。定理1設(shè)環(huán)R上有一個(gè)非平凡冪等e,滿足下列條件:(M1)若xR=0,則x=0;(M2)如果eRx=0,則x=0(從而若Rx=0,則x=0);(M3)如果exeR(1-e)=0,則exe=0;則R上的可乘導(dǎo)子是可加的,即任給a,b∈R,都有d(a+b)=d(a)+d(b)。杜煒和張建華證明了套代數(shù)上的可乘導(dǎo)子是可加的。本文給出一類三角代數(shù)T不滿足文獻(xiàn)中環(huán)的條件,但可證明T上可乘導(dǎo)子是可加的。這種三角代數(shù)包括套代數(shù)及其許多標(biāo)準(zhǔn)子代數(shù)。下面給出三角代數(shù)的定義。設(shè)A,B是交換環(huán)R上的代數(shù),X是忠實(shí)的(A,B)-雙模。集合在正常的矩陣加法和矩陣乘法下構(gòu)成的R-代數(shù)稱為三角代數(shù)。三角代數(shù)的概念首先由Cheung引入。它包括許多非自伴算子代數(shù),如非平凡套代數(shù)中的標(biāo)準(zhǔn)子代數(shù)。后來(lái)人們研究了三角代數(shù)中的許多問(wèn)題。本文的主要結(jié)果如下:定理2設(shè)T是三角代數(shù)Tri(A,X,B),如果滿足:(T1)A有單位元,并且對(duì)于x∈X,如果任給b∈B,都有xb=0,則x=0;或(T2)B有單位元,并且對(duì)于x∈X,如果任給a∈A,都有ax=0,則x=0;則T上的可乘導(dǎo)子是可加的。1a,b根據(jù)所定義的內(nèi)導(dǎo)子ae定理2的證明采用矩陣分塊的技巧。這個(gè)辦法首先由Matindale給出,后來(lái)許多人采用這個(gè)辦法來(lái)解決問(wèn)題。記。顯然T=T11⊕T12⊕T22。下面記號(hào)aij(1≤i≤j≤2)表示aij∈Tij,同時(shí)也表示相應(yīng)于A、X、B中的元。顯然當(dāng)j≠k時(shí),aijakl=0。當(dāng)A有單位元1A時(shí),令e=1A;否則當(dāng)B有單位元1B時(shí),令e=1B。則e是T的非平凡冪等。如果三角代數(shù)T僅滿足定理2中的條件,在一般情況下T不滿足定理1中的條件(M1～M3)。事實(shí)上,當(dāng)B中存在非零元b滿足bB=0時(shí),三角代數(shù)T不滿足(M1);當(dāng)A無(wú)單位元,B有單位元時(shí),顯然三角代數(shù)T不滿足(M2)和(M3)。下面我們證明在條件(T2)下定理2成立。另一種情況的證明類似。下面假設(shè)A無(wú)單位元,B有單位元1B,令e=1B。設(shè)d是T上的可乘導(dǎo)子。顯然d(0)=d(00)=d(0)0+0d(0)=0;d(e)=d(e)e+ed(e)。設(shè)d(e)=a11+a12+a22,則有a11=a22,從而a11=a22=0。所以d(e)=a12。由-a12定義的內(nèi)導(dǎo)子記為f,即f(x)=[x,-a12]=-xa12+a12x,?x∈T。則f(e)=[e,-a12]=a12。下面用可乘導(dǎo)子D=d-f來(lái)代替d,則D(e)=0。定理的證明分成幾個(gè)引理。引理1D(Tij)?Tij,1≤i≤j≤2。證明任給x22∈T22,則有D(x22)=D(ex22e)=eD(x22)e∈T22。任給x12∈T12,則有D(x12)=D(x12e)=D(x12)e=b12+b22。因?yàn)?=D(0)=D(ex12)=eD(x12)=b22,所以D(x12)=b12∈T12。任給x11∈T11。設(shè)D(x11)=c11+c12+c22。所以0=D(0)=D(ex11)=eD(x11)=c22,0=D(0)=D(x11e)=D(x11)e=c12。從而有D(x11)=c11∈T11。引理2D(x11+x12+x22)=D(x11)+D(x12)+D(x22)。證明設(shè)D(x11+x12+x22)=d11+d12+d22。則有D(x22)=D(e(x11+x12+x22))=eD(x11+x12+x22)=d22,以及d12+d22=D(x11+x12+x22)e=D((x11+x12+x22)e)=D(x12+x22)。任給t11∈T11,因?yàn)閠11d12=t11(d12+d22)=t11D(x12+x22)=D(t11(x12+x22))-D(t11)(x12+x22),由引理1知D(t11)∈T11,所以t11d12=D(t11x12)-D(t11)x12=t11D(x12)。由條件(T2)得d12=D(x12)。任給t12∈T12,因?yàn)閐11t12=D(x11+x12+x22)t12=D((x11+x12+x22)t12)-(x11+x12+x22)D(t12),并且由引理1知D(t12)∈T12,所以d11t12=D(x11t12)-x11D(t12)=D(x11)t12。由于X是忠實(shí)的(A,B)-雙模,及D(x11)∈T11,所以有d11=D(x11)。從而證明了D(x11+x12+x22)=D(x11)+D(x12)+D(x22)。引理3D在T12上是可加的。證明設(shè)x12,y12∈T12。任給t11∈T11,應(yīng)用引理2和引理1得從而有由于D(x12+y12),D(x12)+D(y12)∈T12,由條件(T2)得D(x12+y12)=D(x12)+D(y12)。所以D在T12上是可加的。引理4D在Tii(i=1,2)上是可加的。證明設(shè)x11,y11∈T11。任給t12∈T12,應(yīng)用引理3得由引理1得D(x11)+D(y11),D(x11+y