中考構(gòu)造輔助圓及與圓相關的尺規(guī)作圖

幾何綜合2——構(gòu)造輔助圓例1（2012年北京中考第24題）在中，，是的中點，是線段上的動點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段。（1）若且點與點重合（如圖1），線段的延長線交射線于點，請補全圖形，并寫出的度數(shù)；（2）在圖2中，點不與點重合，線段的延長線與射線交于點，猜想的大?。ㄓ煤拇鷶?shù)式表示），并加以證明；（3）對于適當大小的，當點在線段上運動到某一位置（不與點，重合）時，能使得線段的延長線與射線交于點，且，請直接寫出的范圍。解法一：此題并沒有考察常見的動點問題，而是將動點問題和幾何變換結(jié)合在一起，應用一個點構(gòu)造2倍角.需要注意圖形運動過程中的不變量，此題可以用倒角（上述答案的方法）或是構(gòu)造輔助圓的方法解決.解法二： 啟示：注意還原題目的背景，構(gòu)造輔助圓（輔助圖形）解決問題.動點問題和幾何變換結(jié)合，要重視軌跡的想法在幾何綜合題中的作用.考察的知識點延續(xù)幾何變換，要重視變換思想在解決幾何綜合題中的應用.一、注意還原題目的背景，構(gòu)造輔助圓（輔助圖形）解決問題.例2（2012，德州,13年大興）如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．例3（2011海淀期末）如圖，E，B，A，F(xiàn)四點共線，點D是正三角形ABC的邊AC的中點，點是直線上異于A，B的一個動點，且滿足，則（）A．點 一定在射線上 B．點 一定在線段上 C．點 可以在射線上 ，也可以在線段上D．點 可以在射線上 ，也可以在線段例4（2010海淀一模）已知：中，，中，,.連接、，點、、分別為、、的中點.(1)如圖1，若、、三點在同一直線上，且，則的形狀是________________，此時________；(2)如圖2，若、、三點在同一直線上，且，證明，并計算的值（用含的式子表示）；(3)在圖2中，固定，將繞點旋轉(zhuǎn)，直接寫出的最大值.動點問題和幾何變換結(jié)合，要重視軌跡的想法在幾何綜合題中的作用.例5.（2012海淀期末）8.如圖，以為圓心，半徑為2的圓與軸交于、兩點,與軸交于、兩點,點為⊙上一動點，于.當點從點出發(fā)順時針運動到點時，點所經(jīng)過的路徑長為A．B．C．D．例6、（11年湖州）如圖1，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點。P（0，m）是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D。⑴求點D的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；⑵當△APD是等腰三角形時，求m的值；⑶設過P、M、B三點的拋物線與x軸正半軸交于點E，過點O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2），當點P從點O向點C運動時，點H也隨之運動。請直接寫出點H所經(jīng)過的路徑長。（不必寫解答過程）AAOCPBDMxyAOCPBDMxy圖1圖2E 例7（四中開學測試）如圖，在正方形ABCD中，E是CD邊上的一個動點，以EC為一邊向正方形ABCD外作正方形ECFG，連接DF交BE的延長線于H．若正方形ABCD的邊長為1，則點E由C運動到D時，點H所經(jīng)過的路徑長為（）A．B．C．D．例8．（2011年北京西城一模）如圖，點A在半徑為3的⊙O內(nèi)，OA=，P為⊙O上一點，當∠OPA取最大值時，PA的長等于（）.A．B．C．D．【不同思路舉例】如圖，與兩個定點所連線段的夾角相等的點的“軌跡”是過兩點的（兩段）弧，其所在圓的圓心離越近，夾角越大．又⊙與⊙需有公共點，因此極端情況是兩圓內(nèi)切，其切點即為所求．根據(jù)“相切兩圓的連心線所在直線過切點”的性質(zhì)，知為⊙的直徑，進而為直角，由勾股定理可求PA． 例9．（2009年濰坊中考）已知邊長為的正三角形，兩頂點分別在平面直角坐標系的軸、軸的正半軸上滑動，點C在第一象限，連結(jié)OC，則OC的長的最大值是．OyOyxACBOyxACB常規(guī)解法：相對運動的解法：例10：已知正三角形ABC的邊長為2，點A在x軸的正方向上移動，點B在45°角的終邊上移動，求頂點C到原點的最大距離.不可忽視的尺規(guī)作圖例11、問題探究：（1）如圖1，在邊長為3的正方形ABCD內(nèi)（含邊）畫出使∠BPC=90°的一個點P，保留作圖痕跡；（2）如圖2，在邊長為3的正方形ABCD內(nèi)（含邊）畫出使∠BPC=60°的所有的點P，保留作圖痕跡并簡要說明作法；（3）如圖3，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，在矩形ABCD內(nèi)（含邊）畫出使∠BPC=60°，且使△BPC的面積最大的所有點P，保留作圖痕跡．例12、閱讀下列材料圖1小華在學習中發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：圖1如圖1，點A，A1，A2在直線l上，當直線l∥BC時，.請你參考小華的學習經(jīng)驗畫圖(保留畫圖痕跡）：(1)如圖2，已知△ABC，畫出一個等腰△DBC，使其面積與△ABC面積相等；(2)如圖3，已知△ABC，畫出兩個Rt△DBC，使其面積與△ABC面積相等(要求：所畫的兩個三角形不全等)；(3)如圖4，已知等腰△ABC中，AB=AC，畫出一個四邊形ABDE，使其面積與△ABC面積相等，且一組對邊DE=AB，另一組對邊BD≠AE，對角∠E=∠B.圖2圖3圖4例13．初三（1）班的同學們在解題的過程中，發(fā)現(xiàn)了幾種利用尺規(guī)作一個角的半角的方法.題目：在△中，∠=80°，求作：∠=40°.方法2方法2：如圖2，作∠CAB的平分線和△的外角∠CBE的平分線，兩線相交于點D，可得∠ADB=40°.方法1：如圖1，延長AC至D，使得CD=CB，連接DB,可得∠ADB=40°.……圖