上海市崇明區(qū)高三第一次高考模擬數(shù)學(xué)試題及答案

試卷第=page22頁，總=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat13頁共NUMPAGES\*MergeFormat18頁上海市崇明區(qū)高三第一次高考模擬數(shù)學(xué)試題及答案一、單選題1．若,則下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【答案】D【解析】∵∴設(shè)代入可知均不正確對于，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可判斷正確故選D2．設(shè)，則是為純虛數(shù)的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】設(shè)，則，，分充分性和必要性進(jìn)行討論即可.【詳解】解：設(shè)，則，若，則，，當(dāng)，則，不是純虛數(shù)若為純虛數(shù)，則，，此時(shí)成立所以是為純虛數(shù)的必要不充分條件故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.3．如圖,在底面半徑和高均為的圓錐中,?是底面圓的兩條互相垂直的直徑,是母線的中點(diǎn).已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點(diǎn)的拋物線的一部分,則該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離等于()A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)圓錐的性質(zhì),建立坐標(biāo)系,確定拋物線的方程,計(jì)算出的長度,結(jié)合直角三角形的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示,過點(diǎn)作,垂足為.∵是母線的中點(diǎn),圓錐的底面半徑和高均為,∴=.∴=.在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系如圖.設(shè)拋物線的方程為=.,為拋物線的焦點(diǎn).,∴=.解得=..即,∵=,=,∴該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，屬于中檔題.4．若不等式對上恒成立，則（）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】將不等式看作兩個因式，和，先討論的正負(fù)，確定對應(yīng)區(qū)間，再對的正負(fù)進(jìn)行判斷，確定在交匯處取到等號，進(jìn)而求解【詳解】解析：法一：由題意可知：當(dāng)，，當(dāng)，，故當(dāng)，，當(dāng)，，即有，故選B；法二：由右圖像可得：顯然有，故選B【點(diǎn)睛】本題考查雙變量不等式中參數(shù)的求解問題，通過分段討論確定交匯點(diǎn)是解題關(guān)鍵，方法二采用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)一步對方法一作了補(bǔ)充說明，建議將兩種方法對比研究二、填空題5．已知集合，，則_________．【答案】【解析】利用交集的概念及運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】解：取集合的公共部分即可，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對基本知識的掌握情況.6．不等式的解集是________【答案】【解析】利用公式法求得絕對值不等式的解集.【詳解】由得，所以不等式的解集為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.7．半徑為1的球的表面積為________.【答案】【解析】由球的表面積公式即可得到答案.【詳解】,,，故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積公式;屬于基礎(chǔ)題.8．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,則該數(shù)列的前項(xiàng)和=________.【答案】【解析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式直接求解.【詳解】∵等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,∴該數(shù)列的前項(xiàng)和=.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.9．函數(shù)的反函數(shù)是________.【答案】=【解析】將轉(zhuǎn)化為用表示的算式,進(jìn)而可得答案.【詳解】由可得:=,,∴的反函數(shù)是:=,故答案為：=【點(diǎn)睛】本題考查了反函數(shù)的定義，解題時(shí)需注意反函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.10．計(jì)算:________.【答案】【解析】可將分子分母同除以再利用和極限的四則運(yùn)算法則即可求解.【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列極限以及極限的四則運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.11．在的展開式中常數(shù)項(xiàng)為_____________．【答案】【解析】先求出的展開式的通項(xiàng)，令求出r的值即得解.【詳解】由題得的展開式的通項(xiàng)為，令所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：160【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式展開式常數(shù)項(xiàng)的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.12．若雙曲線的一個頂點(diǎn)坐標(biāo)為,焦距為,則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.【答案】【解析】根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求得,根據(jù)焦距求得,進(jìn)而根據(jù)=求得,進(jìn)而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】依題意可知=,=∴根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可知焦點(diǎn)在軸,∴雙曲線的方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了由求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，需熟記，屬于基礎(chǔ)題.13．已知,,若直線=與直線=互相垂直,則的最大值等于________.【答案】【解析】根據(jù)題意,由直線垂直的判斷方法可得=,變形可得=,進(jìn)而結(jié)合基本不等式的性質(zhì)分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意,若直線=與直線=互相垂直,則有=,變形可得=,則,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),等號成立;即的最大值為,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了兩直線垂直系數(shù)之間的關(guān)系、基本不等式求最值，在應(yīng)用基本不等式時(shí)注意等號成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.14．已知函數(shù)是定義在上的周期為的奇函數(shù).當(dāng)時(shí),=,則實(shí)數(shù)的值等于________.【答案】【解析】根據(jù)函數(shù)的周期為,奇函數(shù),又已知當(dāng)時(shí)的解析式,故=且==推出=,解出即可.【詳解】∵函數(shù)是定義在上的周期為的奇函數(shù).當(dāng)時(shí),=,∴=且==,∴=,即===,∴=.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性和周期性求參數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.15．某組委會要從五名志愿者中選派四人分別從事翻譯?導(dǎo)游?禮儀?司機(jī)四項(xiàng)不同工作,若其中甲不能從事翻譯工作,乙不能從事導(dǎo)游工作,其余三人均能從事這四項(xiàng)工作,則不同的選派方案共有________種.【答案】【解析】根據(jù)題意,按甲乙兩人是否被選中分種情況討論,求出每一種情況的選派方法數(shù)目,由加法原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,分種情況討論:①,從五名志愿者中選派的四人中的有甲但沒有乙,甲有種安排方法,剩下三人全排列即可得,此時(shí)有=種選派方法;②,從五名志愿者中選派的四人中的有乙但沒有甲,乙有種安排方法,剩下三人全排列即可得,此時(shí)有=種選派方法;③,從五名志愿者中選派的四人中既有甲又有乙,需要在剩下人中選出人,有種選法,選出人的安排方法有種,則此時(shí)有=種選派方法;故一共有=種選派方法;故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了排列、組合、分步計(jì)數(shù)原理以及分類計(jì)數(shù)原理，考查了分類討論的思想。屬于基礎(chǔ)題.16．正方形的邊長為,是正方形的中心,過中心的直線與邊交于點(diǎn),與邊交于點(diǎn),為平面上一點(diǎn),滿足,則的最小值為________.【答案】【解析】建立坐標(biāo)系,根據(jù),求出點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)出,坐標(biāo)分別為,,將轉(zhuǎn)化為關(guān)于,的函數(shù),即可得到其最小值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn),以過且平行于的直線為軸,以過且垂直于的直線為軸建立坐標(biāo)系,則,,∴=,∴即點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè),則,,∴,∴=,當(dāng)=且時(shí),有最小值.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，同時(shí)考查了二次函數(shù)配方求最值，屬于中檔題.三、解答題17．在直三棱柱中，，，.（1）求異面直線與所成角的大?。唬?）求直線與平面的距離.【答案】(1).(2).【解析】（1）或其補(bǔ)角就是異直線與所成角，我們可證為直角三角形且，故可得異面直線所成角的大小.（2）先計(jì)算，再利用等積法求到平面的距離，它就是直線到平面的距離.【詳解】(1)因?yàn)椋?或其補(bǔ)角)是異直線與所成角.因?yàn)椋?，，所以平面，所?中，，所以，所以異面直線與所成角的大小為.(2)因?yàn)槠矫?，所以到平面的距離等于到平面的距離，設(shè)到平面的距離為，因?yàn)椋?，可得，直線與平面的距離為.【點(diǎn)睛】異面直線所成角的計(jì)算，可通過平移把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，在可解的三角形中求其大小.直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，求點(diǎn)面距時(shí)，注意利用題設(shè)中已有的線面垂直，如果沒有，則利用面面垂直構(gòu)建線面垂直，也可利用等積法求點(diǎn)面距.18．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)△的內(nèi)角的對邊分別為且，，若，求的值．【答案】（1），;（2），．【解析】試題分析：（1）利用兩角和與二倍角公式對函數(shù)解析式化簡成為的形式，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得最小正周期，由就可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由（1）及已知條件可求出角C的大小，再由由正弦定理可得，又因?yàn)?，所以由余弦定理可再得到一個關(guān)于的方程，從而通過解方程組就可求出的值．試題解析：（1），3分則最小正周期是；5分；由，得的單調(diào)遞減區(qū)間，8分（2），則，9分，，所以，所以，，11分因?yàn)?，所以由正弦定理得，?2分由余弦定理得，即②11分，由①②解得：，．14分【考點(diǎn)】1.三角恒等變形公式;2.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì);3.正弦定理和余弦定理.19．某輛汽車以公里/小時(shí)速度在高速公路上勻速行駛(考慮到高速公路行車安全要求)時(shí),每小時(shí)的油耗(所需要的汽油量)為升.(1)欲使每小時(shí)的油耗不超過升,求的取值范圍;(2)求該汽車行駛公里的油耗關(guān)于汽車行駛速度的函數(shù),并求的最小值.【答案】（1）;（2）=,(其中);最小值為升.【解析】(1)令,求出解集,結(jié)合題意得出的取值范圍;(2)寫出關(guān)于的函數(shù),求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】（1）由題意,令,化簡得,解得;又因?yàn)?所以欲使每小時(shí)的油耗不超過升,的取值范圍是;（2）設(shè)該汽車行駛公里的油耗為;則=,(其中);由,知,所以=時(shí),汽車行駛公里的油耗取得最小值為升.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法以及二次函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.20．已知橢圓,其左右頂點(diǎn)分別為,,上下頂點(diǎn)分別為,.圓是以線段為直徑的圓.(1)求圓的方程;(2)若點(diǎn),是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩個不同的點(diǎn),直線,分別交軸于點(diǎn)?,求證:為定值;(3)若點(diǎn)是橢圓Γ上不同于點(diǎn)的點(diǎn),直線與圓的另一個交點(diǎn)為.是否存在點(diǎn),使得?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說明理由.【答案】（1）=;（2）；（3）不存在點(diǎn),使得，見解析【解析】(1)由題意得:,,即可求出圓的方程;(2)由題意可知:,,設(shè),則,,求出直線的方程是,從而求出點(diǎn)坐標(biāo),同理求出點(diǎn)坐標(biāo),再利用點(diǎn)在橢圓上,坐標(biāo)滿足橢圓方程,即可化簡出為定值;(3)顯然直線的斜率存在,設(shè)其方程為:=,代入橢圓方程得到=,再利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式求出的長,再利用構(gòu)造直角三角形用勾股定理算出的長,假設(shè)存在點(diǎn),使得,則=,所以,化簡得:=,此方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解,故原假設(shè)錯誤,即不存在點(diǎn),使得.【詳解】（1）由題意得:,,∴圓的圓心為原點(diǎn),半徑為,∴圓的方程是=;（2）由題意可知:,,設(shè),則,,∴直線的方程是:,∴點(diǎn),同理點(diǎn),又∵點(diǎn)在橢圓上,∴∴,（3）顯然直線的斜率存在,設(shè)其方程為:=,聯(lián)立方程,化簡得:=,設(shè),則,所以,因?yàn)閳A心到直線的距離,所以=,假設(shè)存在點(diǎn),使得,則=,所以,化簡得:=,此方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解,故原假設(shè)錯誤,即不存在點(diǎn),使得.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的性質(zhì)、圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.21．已知無窮數(shù)列,,滿足:對任意的,都有=,=,=.記=(表示個實(shí)數(shù),,中的最大值).(1)若=,=,=,求,,的值;(2)若=,=,求滿足=的的所有值;(3)設(shè),,是非零整數(shù),且,,互不相等,證明:存在正整數(shù),使得數(shù)列,,中有且只有一個數(shù)列自第項(xiàng)起各項(xiàng)均為.【答案】（1）=,=,=.（2）,,,.（3）見詳解【解析】(1)由題意代入分別求出,,的值;(2)設(shè)=,的值,討論的函數(shù)表達(dá)式,進(jìn)而得出,,,,,都用表示,進(jìn)而求出所有的的值;(3)分類討論:先,,都不為零,由題意得出矛盾;所以存在正整數(shù),使,,中至少有一個為零,再討論兩個為零得出矛盾,以此類推,即有:對,=,=,=,,此時(shí)有且僅有一個數(shù)列自項(xiàng)起各項(xiàng)均為.【詳解】（1）由題意:===;===;===;以此類推,看得出=,=,=.（2）若=,=,=,則=,=,=,,=,=,=,當(dāng)時(shí),=,=,=,=,由=,得=,不符合題意.當(dāng),=,=,=,,由=,得=,符合題意.當(dāng),=,=,=,由=,得=,符合題意,綜上的取值是:,,,.（3）先證明：存在正整數(shù),使,,,中至少有一個為零,假設(shè)對任意正