一元二次方程教學(xué)案(經(jīng)典例題、習(xí)題鞏固)

一元二次方程1、基本概念【雙基鞏固】(1)定義：只含有一個未知數(shù)，并且②未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程(2)一般表達(dá)式：(3)難點：如何理解“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”：①該項系數(shù)不為“0”；②未知數(shù)指數(shù)為“2”；③若存在某項指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。【典型例題】例1下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（） AB C D變式：當(dāng)k時，關(guān)于x的方程是一元二次方程。例2方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為。例3將方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其二次項、二次項系數(shù)；一次項、一次項系數(shù)；常數(shù)項．【基礎(chǔ)過關(guān)】一、選擇題1．在下列方程中，一元二次方程的個數(shù)是（）①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-=0A．1個B．2個C．3個D．4個2．px2-3x+p2-q=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）A．p=1B．p>0C．p≠0D．p為任意實數(shù)二、填空題1．方程3x2-3=2x+1的二次項系數(shù)為______，一次項系數(shù)為_______，常數(shù)項為_______．2．關(guān)于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，則a的取值范圍是________．三、解答題1．關(guān)于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6：（1）當(dāng)為何值時，它是一元二次方程？（2）當(dāng)為何值時，它是一元一次方程？【拓展提高】求證：關(guān)于x的方程，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．2、方程的解【雙基鞏固】⑴概念：滿足一元二次方程的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的，又叫做一元二次方程的。⑵應(yīng)用：利用根的概念求代數(shù)式的值；【典型例題】例1、已知的值為2，則的值為。例2、關(guān)于x的一元二次方程的一個根為0，則a的值為。例3、已知關(guān)于x的一元二次方程的系數(shù)滿足，則此方程必有一根為。例4、已知是方程的兩個根，是方程的兩個根，則m的值為?！净A(chǔ)過關(guān)】一、選擇題1．方程x（x-1）=2的兩根為（）．A．x1=0，x2=1B．x1=0，x2=-1C．x1=1，x2=2D．x1=-1，x2=22．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）．A．x1=b，x2=aB．x1=b，x2=C．x1=a，x2=D．x1=a2，x2=b23．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），則=（）．A．1B．-1C．0D．2二、填空題1．已知方程5x2+mx-6=0的一個根是x=3，則m的值為________．2．方程（x+1）2+x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．三、解答題如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一個根，求（a-b）2+4ab的值．【拓展提高】在一次數(shù)學(xué)課外活動中，小明給全班同學(xué)演示了一個有趣的變形，即：在解方程時，令=y，則原方程化為：y2-2y+1=0，即，求出后，再代入=y中，從而求出。根據(jù)上述變形的數(shù)學(xué)思想（換元法），求出（x2-1）2+（x2-1）=0的根．3、解法【雙基鞏固】方法：①直接開方法；②配方法；③因式分解法；④公式法在有解的前提下：①首先考慮用解法（包括、和）②公式法適用范圍廣；配方法步驟多，較少用⑵關(guān)鍵點：降次直接開平方法、配方法、因式分解法的目的都是降次，即轉(zhuǎn)化為方程。類型一、直接開方法：※※對于，等形式均適用直接開方法【典型例題】例1、解方程:=0例2、若，則x的值為。例3、解方程【基礎(chǔ)過關(guān)】一、選擇題1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分別是（）A．p=4，q=2B．p=4，q=-2C．p=-4，q=2D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根為（）A．3B．-3C．±3D．無實數(shù)根3．用配方法解方程x2-x+1=0正確的解法是（）A．（x-）2=，x=±B．（x-）2=-，原方程無解C．（x-）2=，x1=+，x2=D．（x-）2=1，x1=，x2=-二、填空題1．方程2（x-3）2=72的兩根是_______．2．如果a、b為實數(shù)，滿足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．3．關(guān)于的方程有解的條件是。三、解答題1．解下列方程：（1）（2）類型二、配方法【雙基鞏固】定義：通過配成完全平方的形式來解一元二次方程的方法，叫做法．步驟：運用配方法解一元二次方程的一般步驟：（1）移項：把常數(shù)項移到方程的邊，二次項和一次項放在邊。（2）把二次項系數(shù)化為。（3）配方：方程兩邊同時加上一次項系數(shù)的。從而把方程左邊化為式，右邊是數(shù)。（4）用直接開平方法得解。在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解最值或代數(shù)式的值之類的問題?！镜湫屠}】解下列方程：1.2.試用配方法說明的值恒大于0.已知x、y為實數(shù)，求代數(shù)式的最小值。已知為實數(shù)，求的值?！净A(chǔ)過關(guān)】一、選擇題1．將二次三項式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3B．（x-2）2-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-32．已知x2-8x+15=0，左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的是（）．A．x2-8x+（-4）2=31B．x2-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2-4x+4=-113．下列方程中，一定有實數(shù)解的是（）．A．x2+1=0B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0D．（x-a）2=a4．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，則x+y+z的值是（）．A．1B．2C．-1D．-2二、填空題

1．方程x2+4x-5=0的解是_______．2．代數(shù)式的值為0，則x的值為________．3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若設(shè)x+y=z，則原方程可變?yōu)開______，所以求出z的值即為x+y的值，所以x+y的值為______．4．無論x、y取任何實數(shù)，多項式x2+y2-2x-4y+16的值總是_______數(shù)．5．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x與y的關(guān)系是________．三、解答題1．解下列方程（1）9y2-18y-4=0（2）x2+3=2x2．已知三角形兩邊長分別為2和4，第三邊是方程x2-4x+3=0的解，求這個三角形的周長．【拓展提高】1．如果x2-4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值．2．如果,那么的值為。類型三、公式法【雙基鞏固】條件：公式：,步驟：運用公式法解一元二次方程的一般步驟：首先應(yīng)把原方程化為最簡的一般形式計算-4ac的值當(dāng)-4ac≥0時代入公式即可判別式：用判別式△=b2-4ac判斷一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況①b2-4ac＞0方程有兩個不相等的實數(shù)根；②b2-4ac=0方程有兩個相等的實數(shù)根；③b2-4ac＜0方程沒有實數(shù)根；【典型例題】例1用公式法解下列方程．（1）2x2-4x-1=0（3）（x-2）（3x-5）=0例2、在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）；（2）.⑶說明：①對于二次三項式的因式分解，如果在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解，一般情況要用求根公式，先令=0，求出兩根，再寫成=.②分解結(jié)果是否把二次項系數(shù)乘進(jìn)括號內(nèi)，取決于能否把括號內(nèi)的分母化去.例3若、、是的三邊，且關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷的形狀?！净A(chǔ)過關(guān)】一、選擇題1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）．A．x=B．x=C．x=D．x=2．方程x2+4x+6=0的根是（）．A．x1=，x2=B．x1=6，x2=C．x1=2，x2=D．x1=x2=-3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，則m2-n2的值是（）．A．4B．-2C．4或-2D．-4或24．不解方程，判斷方程的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根D．無法判斷二、填空題1．當(dāng)x=______時，代數(shù)式x2-8x+12的值是-4．2．若關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根為0，則m的值是_____．3．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是。三、解答題1．用公式法解下列方程：（1）（2）2．用公式法解關(guān)于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．4．類型四、因式分解法:【雙基鞏固】定義：利用因式分解使方程化為兩個一次式乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，這種解法叫作法。步驟：因式分解法的目的是運用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：（1）移項，將方程右邊化為（2）將方程左邊分解因式（3）將原方程轉(zhuǎn)化為兩個（或一個）方程（4）解方程，即得原方程的解【典型例題】例1、用因式分解法解下列方程（1）；例2、的根為（） ABCD例3、若，則4x+y的值為。變式2：若，則x+y的值為。變式3：若，，則x+y的值為。例4、方程的解為（）A.B.C.D.例5、已知,則的值為。變式：已知,且,則的值為?！净A(chǔ)過關(guān)】1.解方程2(5x-1)2=3(5x-1)的最適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ牵ǎ〢直接開平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法2.方程的根是A.x=1B.C.D.以上均不對3.若a、b、c為三角形ABC的三邊,且滿足(a-b)(a-c)=0,則△ABC的形狀是（）A.直角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D.等腰三角形或等邊三角形4.一元二次方程x2-3x-1=0與x2-x+3=0的所有實數(shù)根之和為A.2B.-4C.4D.35.方程(x-2)2=2-x的根是；方程(x-5)(x+2)=9的根是。6.當(dāng)x=時,分式?jīng)]有意義。7．已知方程x2-x-m=0有整數(shù)根，則整數(shù)m=(填上一個你認(rèn)為正確的答案)。8．已知3x2y2-xy-2=0，則x與y之積等于9．方程x2=∣x∣的解是。10.選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?(1)(3-x)2+x2=9(2)(2x-1)2+(1-2x)-6=011.解下列關(guān)于x的方程:(1)x2+(1+2)x+3+=0(2)(x-3)2+(x+4)2-(x-5)2=17x+2412.已知等腰三角形兩邊長分別是x2-8x+15=0的兩根，求此等腰三角形的周長。4、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【雙基鞏固】⑴前提：對于而言，當(dāng)滿足①、②時，才能用韋達(dá)定理。⑵主要內(nèi)容：如果方程的根是x和x，那么以x和x為兩根的一元二次方程是：特別地，以為唯一根（即有兩等根）的一元二次方程是：⑶應(yīng)用：整體代入求值?！镜湫屠}】例1、已知方程的一個根是3，求方程的另一個根及c的值。例2、已知方程的根是x和x，求下列式子的值：（1）+（2）例3、如果mx2+2（3-2m）x+3m-2（m≠0）是一個關(guān)于x的完全平方式，求m的值．例4、已知關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由?！净A(chǔ)過關(guān)】1.已知方程的兩個根分別是2與3，則，2．二次三項式是一個完全平方式，則的值是（）A．3B．-3C．3D．以上都不對3．已知反比例函數(shù)，當(dāng)時，隨的增大而增大，則關(guān)于的方程的根的情況是()A．有兩個正根B．有兩個負(fù)根C．有一個正根一個負(fù)根D．沒有實數(shù)根4．已知方程2的兩個根分別是x和x，求下列式子的值：（1）（x+2）（x+2）（2）5．已知關(guān)于的一元二次方程方程（1）若方程有兩個相等的實數(shù)根，求的值（2）若方程的兩根平方和比兩根之積大1，求的值【拓展提高】1．設(shè)關(guān)于的方程的兩個根分別是x和x。當(dāng)為何值時，的值等于14？2．已知關(guān)于x的一元二次方程x2=2（1－m）x－m2的兩實數(shù)根為x1，x2．（1）求m的取值范圍；（2）設(shè)y=