《函數(shù)的奇偶性》教學(xué)設(shè)計(jì)

《函數(shù)的奇偶性》教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1．內(nèi)容函數(shù)的奇偶性．2．內(nèi)容解析函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，從“形”的角度，函數(shù)的奇偶性揭示了函數(shù)的整體圖象與函數(shù)在y軸右側(cè)的局部圖象之間的關(guān)系；從“數(shù)”的角度，函數(shù)的奇偶性刻畫了函數(shù)自變量與函數(shù)值之間存在的一種特殊的數(shù)量規(guī)律．用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)圖象的對(duì)稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．從研究方法上看，它延續(xù)了函數(shù)單調(diào)性的研究思想和方法：用數(shù)量關(guān)系刻畫函數(shù)的圖象性質(zhì)，這也為后續(xù)進(jìn)一步研究具體函數(shù)的性質(zhì)提供研究的方法與角度．從知識(shí)結(jié)構(gòu)看，它既是函數(shù)概念的拓展和深化，又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的基礎(chǔ)．因此，本節(jié)課起著承上啟下的重要作用．這一節(jié)利用函數(shù)圖象來研究函數(shù)性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合思想將貫穿于我們整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中．從方法論的角度來看，本節(jié)教學(xué)過程中還滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想方法．奇偶性的教學(xué)無論是在知識(shí)還是在能力方面對(duì)學(xué)生的教育起著非常重要的作用，因此本節(jié)課充滿著數(shù)學(xué)方法論的滲透教育，同時(shí)又是數(shù)學(xué)美的集中體現(xiàn)．奇偶性是函數(shù)的“整體性質(zhì)”，是某些函數(shù)的特殊性質(zhì)．奇偶性是把函數(shù)圖象的對(duì)稱性（幾何特性）轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，并用嚴(yán)格的符號(hào)語言表示，溝通了形與數(shù)，實(shí)現(xiàn)了從定性到定量的轉(zhuǎn)化．基于以上分析，本單元的教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)奇偶性概念的形成和函數(shù)奇偶性的判斷．二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1．目標(biāo)（1）借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)奇偶性的概念及幾何意義；（2）會(huì)運(yùn)用概念判斷函數(shù)的奇偶性；（3）在抽象函數(shù)奇偶性的過程中感悟數(shù)學(xué)概念的抽象過程及符號(hào)表示的作用．2．目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）知道函數(shù)奇偶性是把函數(shù)圖象的對(duì)稱性（幾何特性）轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，并用嚴(yán)格的符號(hào)語言表示，溝通了形與數(shù)，實(shí)現(xiàn)了從定性到定量的轉(zhuǎn)化．（2）會(huì)用函數(shù)奇偶性的定義，按一定的步驟證明函數(shù)的奇偶性．（3）初中階段學(xué)生對(duì)于函數(shù)的學(xué)習(xí)側(cè)重于直觀形象和定性討論，而高中階段研究函數(shù)，側(cè)重于數(shù)形結(jié)合和符號(hào)邏輯語言結(jié)合，用精確的量化（符號(hào)）語言、形式推理來刻畫變量之間關(guān)系和規(guī)律，即通過形式化、符號(hào)化來使函數(shù)性質(zhì)數(shù)學(xué)化，在數(shù)學(xué)化的過程中培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、抽象概況等思維能力和素養(yǎng)，感受數(shù)學(xué)符號(hào)語言的魅力．三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形以及它們的性質(zhì)，對(duì)二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性也非常熟悉．對(duì)于具體函數(shù)，能夠觀察函數(shù)圖象，描述圖象的對(duì)稱性，能從數(shù)量關(guān)系上對(duì)函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行初步刻畫，但學(xué)生并不明確數(shù)與形轉(zhuǎn)化的過程，即為什么對(duì)于定義域內(nèi)任意，當(dāng)滿足時(shí)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．通過函數(shù)單調(diào)性的理解和學(xué)習(xí)，學(xué)生初步積累了研究函數(shù)的基本方法與初步經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生接觸到了由形象到具體，然后再由具體到一般的科學(xué)處理方法，這些對(duì)本節(jié)內(nèi)容剛開始的引入和概念形成起到了很好的鋪墊作用．但是學(xué)生的分析歸納能力和用數(shù)學(xué)規(guī)范語言表達(dá)的能力還比較弱，我們必須引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面來加深對(duì)函數(shù)奇偶性本質(zhì)的認(rèn)識(shí)．從學(xué)生的思維發(fā)展看，高一學(xué)生思維能力正在由形象經(jīng)驗(yàn)型向抽象理論型轉(zhuǎn)變，能夠用假設(shè)、推理來思考和解決問題．但分析、歸納、抽象的思維能力還是比較薄弱，通過恰當(dāng)?shù)呐囵B(yǎng)和引導(dǎo)能夠使得學(xué)生的分析歸納能力得到提高．根據(jù)以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)關(guān)系式（或）的理解．四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)(一)情景導(dǎo)入我們知道函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，函數(shù)性質(zhì)是“變化中的規(guī)律性，變化中的不變性”．上一節(jié)課，我們共同學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲?，用符號(hào)語言準(zhǔn)確地描述了函數(shù)圖象在定義域的某個(gè)區(qū)間上“上升”（或“下降”）的性質(zhì)，本節(jié)課，我們繼續(xù)研究函數(shù)的其他性質(zhì)．（二）概念的形成問題1：平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)關(guān)于x軸、y軸、坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q、R、S的坐標(biāo)．追問：一般地，若兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，它們的坐標(biāo)之間有何關(guān)系？若關(guān)于y軸對(duì)稱呢？關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱呢？設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生已學(xué)知識(shí)復(fù)習(xí)導(dǎo)入，通過具體的點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生感受對(duì)稱與坐標(biāo)的關(guān)系，為后續(xù)奇偶性定義中的任意性做一些鋪墊．問題2：畫出并觀察函數(shù)和的圖象，你能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？師生活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立思考，教師利用PPT展示函數(shù)圖象．學(xué)生觀察后，不難發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)函數(shù)的圖象都關(guān)于y軸對(duì)稱．那么，如何使用符號(hào)語言精準(zhǔn)地描述“函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”這一特征？所以，教師繼續(xù)追問．追問：對(duì)于上述兩個(gè)函數(shù)，與，與，與，與有什么關(guān)系？師生活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立思考，教師積極地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值相等．追問：對(duì)于定義域內(nèi)任意的一個(gè)x，都有成立嗎？如何驗(yàn)證我們的猜想呢？師生活動(dòng)：以為例，其定義域?yàn)镽．對(duì)于定義域R內(nèi)任意的一個(gè)x，都有，與均有意義．因?yàn)椋允浅闪⒌模瑯拥?，?yàn)證函數(shù)，結(jié)論依然成立．設(shè)計(jì)意圖：通過觀察函數(shù)的圖象，思考問題，提高學(xué)生分析問題、總結(jié)問題的能力．從多個(gè)具體的實(shí)例中抽象概括出共同特征，形成較為抽象的數(shù)學(xué)語言，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)性和簡(jiǎn)潔性，教師給出嚴(yán)格的定義表述．定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，如果，都有，且，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)．問題3：從偶函數(shù)的定義出發(fā)，如何證明函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．師生活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立思考完成，再組織全班交流．教師積極地引導(dǎo)學(xué)生嘗試探索，在充分交流的基礎(chǔ)上，教師給出嚴(yán)格的定義表述．充分性：設(shè)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，則．因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)圖象上，即．所以對(duì)任意的x，都有，所以函數(shù)是偶函數(shù)．必要性：設(shè)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，則．記點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，則．因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，即，所以點(diǎn)Q在函數(shù)圖象上，所以函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．問題4：畫出并觀察函數(shù)和的圖象，你能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？師生活動(dòng)：教師利用PPT展示函數(shù)圖象，學(xué)生觀察圖象后回答問題．不難發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)函數(shù)的圖象都關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形．那么，如何使用符號(hào)語言精準(zhǔn)地描述“函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱”這一特征？所以，教師繼續(xù)追問．追問：對(duì)于上述兩個(gè)函數(shù)，與，與，與，與有什么關(guān)系？師生活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立思考完成，再組織全班交流．教師積極地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值與也是一對(duì)相反數(shù)．追問：對(duì)于定義域內(nèi)任意的一個(gè)x，都有成立嗎？如何驗(yàn)證我們的猜想呢？師生活動(dòng)：以為例，定義域?yàn)镽．對(duì)于定義域R內(nèi)任意的一個(gè)x，，與均有意義．因?yàn)椋允浅闪⒌模瑯拥?，?yàn)證函數(shù)，結(jié)論依然成立．設(shè)計(jì)意圖：通過觀察函數(shù)的圖象，思考問題，提高學(xué)生分析問題、總結(jié)問題的能力．從多個(gè)具體的實(shí)例中抽象概括出共同特征，形成較為抽象的數(shù)學(xué)語言，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)性和簡(jiǎn)潔性，教師給出嚴(yán)格的定義表述．定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，如果，都有，且，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)．當(dāng)函數(shù)是偶函數(shù)或奇函數(shù)時(shí)，稱具有奇偶性．問題5：從奇函數(shù)的定義出發(fā)，如何證明函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．師生活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立思考完成，再組織全班交流．教師積極地引導(dǎo)學(xué)生嘗試探索，在充分交流的基礎(chǔ)上，教師給出嚴(yán)格的定義表述．該問題類比問題2的證明過程．充分性：設(shè)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，則．因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為也在函數(shù)圖象上，即．所以對(duì)任意的x，都有，所以函數(shù)是奇函數(shù)．必要性：設(shè)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，則．記點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q，則．因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，即，所以點(diǎn)Q在函數(shù)圖象上，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．（三）概念的辨析問題6：判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2），；（3），；（4），．師生活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立思考，教師再組織全班交流．答案：（1）偶函數(shù)；（2）非奇非偶函數(shù)；（3）非奇非偶函數(shù)；（4）奇函數(shù)．設(shè)計(jì)意圖：從同一個(gè)函數(shù)出發(fā)，學(xué)生更為容易進(jìn)行探究活動(dòng)，得出結(jié)論．我們不難發(fā)現(xiàn)，（1）、（4）中每一個(gè)x、x同時(shí)屬于定義域，所以與都有意義．而（2）、（3）中則無法滿足每一個(gè)x、x同時(shí)屬于定義域，所以與無法滿足都有意義．師生共同得出結(jié)論：函數(shù)具有奇偶性的前提是函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如不對(duì)稱，則可直接判斷其為非奇非偶函數(shù)．追問：奇函數(shù)若在處有定義，師生活動(dòng)：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，，．（四）概念的深化例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．師生活動(dòng)：本例由學(xué)生獨(dú)立思考、小組討論，可讓幾個(gè)學(xué)生進(jìn)行板書，完成后再進(jìn)行點(diǎn)評(píng)完善．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽．因?yàn)椋加?，且，所以，函?shù)為偶函數(shù)．（2）函數(shù)的定義域?yàn)镽．因?yàn)椋加?，且，所以，函?shù)為奇函數(shù)．（3）函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，都有，且，所以，函?shù)為奇函數(shù)．（4）函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，都有，且，所以，函?shù)為偶函數(shù)．（5）函數(shù)的定義域?yàn)镽．因?yàn)?，都有，且，所以，函?shù)為非奇非偶函數(shù)．另解：函數(shù)為初中階段所學(xué)的二次函數(shù)，顯然，其對(duì)稱軸為．函數(shù)圖象如下：故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．（6）由函數(shù)解析式可得定義域?yàn)椋驗(yàn)椋加?，且，所以，函?shù)為奇函數(shù)．另解：函數(shù)圖象如下：從圖可知，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故是奇函數(shù)．追問：你能總結(jié)例題的解題過程，歸納一下利用定義判斷函數(shù)奇偶性的基本步驟嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過追問，師生共同總結(jié)利用定義判斷函數(shù)奇偶性的基本步驟，教師給出解答示范． 第一步，首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；第二步，確定與的關(guān)系；第三步，作出相應(yīng)結(jié)論：若或，則是偶函數(shù)；若或，則是奇函數(shù)．通過具體的函數(shù)，深化學(xué)生對(duì)判斷函數(shù)奇偶性的基本步驟的理解，尤其是“首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”；三是通過例題讓學(xué)生能夠了解有些函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．例2（1）判斷函數(shù)的奇偶性．（2）如右圖，是函數(shù)圖象的一部分，你能根據(jù)的奇偶性畫出它在y軸左邊的圖象嗎？（3）一般地，如果知道為偶（奇）函數(shù)，那么我們可以怎樣簡(jiǎn)化對(duì)它的研究？師生活動(dòng)：本例由學(xué)生獨(dú)立思考，完成后教師再進(jìn)行點(diǎn)評(píng)完善．（1）奇函數(shù)；（2）圖象如下設(shè)計(jì)意圖：通過思考，讓學(xué)生根據(jù)奇（偶）函數(shù)的圖象的對(duì)稱性畫函數(shù)的圖象，進(jìn)一步理解函數(shù)的奇偶性。所以，我們?cè)谘芯亢瘮?shù)性質(zhì)時(shí)，只需要研究定義域的一半部分．知一半則可知全部，即縮小研究的范圍，從而達(dá)到“事半功倍”的效果，提高解題效率．（五）概念的鞏固應(yīng)用1．下列圖象表示的函數(shù)具有奇偶性的是（）解析：B選項(xiàng)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以該函數(shù)是偶函數(shù)．其他選項(xiàng)的函數(shù)圖象都不具有奇偶性．答案：B設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生直觀地通過函數(shù)圖象的對(duì)稱性判斷偶（奇）函數(shù)．2．判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）．答案：（1）偶函數(shù)；（2）奇函數(shù)；（3）偶函數(shù)；（4）偶函數(shù)．設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)判斷函數(shù)奇偶性的理解，提高學(xué)生的解題能力．3．函數(shù)，是奇函數(shù)，則a等于（）A．B．C．D．無法確定解：∵奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，∴．設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)奇函數(shù)定義域的理解．（