《數(shù)值分析》第3講：函數(shù)逼近與計(jì)算

《數(shù)值分析》第三講函數(shù)的逼近與計(jì)算函數(shù)的逼近與計(jì)算§1.1引言1、算例函數(shù)的逼近與計(jì)算2、逼近的思想目標(biāo)函數(shù)集合簡(jiǎn)單函數(shù)集合何為”逼近”?如何逼近？無(wú)窮范數(shù)：平方范數(shù)：函數(shù)的逼近與計(jì)算函數(shù)的逼近與計(jì)算一致逼近平方逼近函數(shù)的逼近與計(jì)算§1.2逼近理論基礎(chǔ)1、一致逼近函數(shù)的存在性Weierstrass定理p46定理3.1▲1834年入波恩大學(xué)學(xué)習(xí)法律和財(cái)政?！?/p>

1842～1856年，中學(xué)教師?！?/p>

1856年柏林科學(xué)院，1864年升為教授?！?/p>

1854年解決了橢圓積分的逆轉(zhuǎn)問(wèn)題，引起數(shù)學(xué)界的重視?！?/p>

1856年解決了橢圓積分的雅可比逆轉(zhuǎn)問(wèn)題，建立了橢圓函數(shù)新結(jié)構(gòu)的定理，一致收斂的解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的解析性的定理，圓環(huán)上解析函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)定理等。函數(shù)的逼近與計(jì)算2、Bernstein逼近函數(shù)p463.1.4且一致成立1912年構(gòu)造優(yōu)點(diǎn)：構(gòu)造性證明，不僅解決了“有”還解決了如何“有”。缺點(diǎn)：收斂速度太慢，收斂依賴與多項(xiàng)式次數(shù)函數(shù)的逼近與計(jì)算3、最佳一致逼近多項(xiàng)式（Chebyshev)所謂最佳是指在中最佳（是一個(gè)在局部找最優(yōu)的思想）令對(duì)找使得則函數(shù)的逼近與計(jì)算1、Chebyshev給出如下概念

設(shè)如果則稱是偏差點(diǎn)。如果則稱是正偏差點(diǎn)。如果則稱是負(fù)偏差點(diǎn)。2、Chebyshev得到如下結(jié)論如果是的最佳一致逼近多項(xiàng)式，則在區(qū)間[a,b]存在個(gè)輪流為正、負(fù)的偏差點(diǎn)。函數(shù)的逼近與計(jì)算4、以最佳一次逼近多項(xiàng)式為例存在使得且不變號(hào),設(shè)令即得由由Chebyshev定理函數(shù)的逼近與計(jì)算得即再由?令唯一所以由Chebyshev定理可知是的極值點(diǎn)令則單調(diào)增（減）不變號(hào)，又函數(shù)的逼近與計(jì)算求函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最佳一致逼近多項(xiàng)式。例3.1（p51）解由得因此即解得函數(shù)的逼近與計(jì)算所求一次最佳逼近多項(xiàng)式為函數(shù)的逼近與計(jì)算Matlab程序x=0:0.1:1;y1=sqrt(1+x.*x);y2=0.414*x+0.955;plot(x,y1);holdonplot(x,y2);函數(shù)的逼近與計(jì)算事實(shí)上在中找滿足是十分困難的函數(shù)的逼近與計(jì)算5、最佳平方逼近定義內(nèi)積設(shè)為區(qū)間[a,b]上的權(quán)函數(shù)記內(nèi)積為函數(shù)的2范數(shù)或Euclid范數(shù)。則稱關(guān)于內(nèi)積、范數(shù)的詳盡內(nèi)容可參見(jiàn)《高等代數(shù)》或《線性代數(shù)》等相關(guān)書(shū)籍。函數(shù)的逼近與計(jì)算設(shè)令其中，稱為簡(jiǎn)單基函數(shù)對(duì)可表示為即函數(shù)的逼近與計(jì)算使得如果存在則稱是在中的最佳平方逼近函數(shù)。令函數(shù)的逼近與計(jì)算則即函數(shù)的逼近與計(jì)算即令得上述表達(dá)式為階線性方程組，稱為法方程。即函數(shù)的逼近與計(jì)算簡(jiǎn)記為則見(jiàn)P56容易證明滿足解法方程得解如果函數(shù)的逼近與計(jì)算則例3.2(P56)已知?jiǎng)t函數(shù)的逼近與計(jì)算由法方程解得

的最佳一次逼近函數(shù)為函數(shù)的逼近與計(jì)算x=0:0.1:1;y1=sqrt(1+x.*x);y2=0.426*x+0.934;plot(x,y1);holdonplot(x,y2);函數(shù)的逼近與計(jì)算函數(shù)的逼近與計(jì)算如果令即則解得從而函數(shù)的逼近與計(jì)算函數(shù)的逼近與計(jì)算思考：P78(17)已知解得所以解（1）由法方程函數(shù)的逼近與計(jì)算解得所以（2）函數(shù)的逼近與計(jì)算函數(shù)的逼近與計(jì)算思考：P78(18)已知解解得所以函數(shù)的逼近與計(jì)算Matlab程序x=-1:0.1:1;y1=abs(x);y2=0.1172+1.6406*x.^2-0.8203*x.^4;plot(x,y1);holdonplot(x,y2);函數(shù)的逼近與計(jì)算通過(guò)實(shí)驗(yàn)、統(tǒng)計(jì)、測(cè)量等得到的數(shù)據(jù)均為近似數(shù)據(jù)，如圖1、擬合的思想§1.3曲線擬合的最小二乘法擬合曲線插值曲線問(wèn)題：究竟哪一條曲線所代表的關(guān)系更能反映事物的本質(zhì)規(guī)律？函數(shù)的逼近與計(jì)算（1）某些情況下，在近似值上做插值不合適，常常不能反映事物的規(guī)律，甚至產(chǎn)生較大偏差，如

Runge現(xiàn)象擬合曲線1插值曲線（2）哪條擬合曲線更好？擬合曲線2函數(shù)的逼近與計(jì)算2、最小二乘法定義誤差最好的擬合曲線應(yīng)使最小為便于處理，令最小函數(shù)的逼近與計(jì)算函數(shù)的2范數(shù)或Euclid范數(shù)。連續(xù)問(wèn)題求積分離散問(wèn)題Σ函數(shù)的2范數(shù)或Euclid范數(shù)。其中，為點(diǎn)上Σ的權(quán)重令函數(shù)的逼近與計(jì)算求