oepliz算子和小hankel算子的刻畫

oepliz算子和小hankel算子的刻畫

1toeplitch算子請(qǐng)注意，d是復(fù)平面c上的一個(gè)開放單位圓，da（z）=1dxy，d是標(biāo)準(zhǔn)化的lebesgue，其表示為sobolev空間的lp，1（1p）是相關(guān)的。Sobolev空間L∞,1定義為其范數(shù)可表示為Dirichlet空間Dp是Lp,1中解析函數(shù)構(gòu)成的閉子空間.令P表示從Lp,1到Dp的投影.P為積分算子,它可表示為其中Kw(z)=K(z,w)是Dp的再生核.直接計(jì)算得若φ∈Lp,1,Dp上以φ為符號(hào)的Toeplitz算子Tφ稠密定義為小Hankel算子Γφ稠密定義為其中U是Lp,1(D)上的酉算子(Uf)(z)=f(z);Hankel算子Hφ稠密定義為其中f為多項(xiàng)式,參見文獻(xiàn).為了方便,下文用Tub表示Bergman空間Lap上以u(píng)為符號(hào)的Toeplitz算子.若T∈B(D)(由Dirichlet空間D上的全體有界線性算子構(gòu)成的Banach代數(shù),下文均用D表示D2),T的Berezin型變換是D上的復(fù)值函數(shù)本文討論Dirichlet空間D上的Toeplitz算子和小Hankel算子.利用Berezin型變換討論了Toeplitz算子的不變子空間問題,具有Berezin型符號(hào)的Toeplitz算子的漸進(jìn)可乘性以及Toeplitz算子的Riccati方程的可解性.應(yīng)用Berezin變換得到了Toeplitz算子和小Hankel算子可逆的充分條件此外,還利用Hankel算子和Berezin變換刻畫了算子2Tuv-TuTv-TvTu的緊性,其中函數(shù)u,v∈L2,12toeplitch算子Hardy空間和Bergman空間上Toeplitz算子的不變子空間的存在性仍然是一個(gè)公開問題,參見[2–4].Peller部分地解決了此問題.G¨urdal和S¨ohret給出了該問題的一些必要條件.本節(jié)將給出Toeplitz算子和小Hankel算子存在不變子空間的必要條件.若T∈B(H),其中H是Hilbert空間,PM是H的閉子空間M上的投影,則M∈Lat(T)(M是T的不變子空間:TM?M)當(dāng)且僅當(dāng)TPM=PMTPM,詳見文獻(xiàn).定理1設(shè)u是L2+?,1中的調(diào)和函數(shù),其中?是任意正數(shù),Tu是D上符號(hào)為u的Toeplitz算子.若F是D的閉子空間,令Kw1,F=PFKw1(z),其中.若TuF?F,則當(dāng)w沿非切線方向幾乎處處趨于T=?D時(shí),其中是Tub的Berezin變換.證明若F∈Lat(Tu),即F是算子Tu的不變子空間.令PF是D到F上的投影,則于是對(duì)任意w∈D,有即因此,注意到∥kw1(z)∥L2,1=1且w→T時(shí),kw1(z)在D中弱收斂到0,則w→T時(shí)可得由于因?yàn)橛成銵2+?,1→L∞是連續(xù)的且由中定理5知,當(dāng)w→T時(shí)I→0,于是當(dāng)w→T時(shí),故結(jié)論成立.實(shí)際上,定理1中u是調(diào)和的條件不是必需的.由Sobolev定理,若u∈L2,1,則u|T∈L2(T).于是對(duì)k∈Z,定義下面的定理粗略說明D上的Toeplitz算子僅依賴于符號(hào)的邊界值.定理2令φ∈L2,1,則對(duì)任意n∈Z+,證明參見中的命題2.定理3設(shè)u在L2+?,1中,其中?為任意正數(shù),在Dirichlet空間D上Toeplitz算子Tu=TU,其中U是u|T的調(diào)和擴(kuò)張.證明用定理2即可得證.因此我們可以去掉定理1中調(diào)和的條件.定理4設(shè)u是L2+?,1中的函數(shù),其中?是任意正數(shù),Tu是D上符號(hào)為u的Toeplitz算子.若F是D的閉子空間,令Kw1,F=PFKw1(z),其中.若TuF?F,則當(dāng)w沿非切線方向幾乎處處趨于T=?D時(shí),其中是Tub的Berezin變換.3線性算子的建立本節(jié)將證明:若φ∈L2+?,1,Tφ是Dirichlet空間D上的Toeplitz算子,S是D上的任意有界線性算子,則定理5設(shè)φ是L2+?,1中的調(diào)和函數(shù),其中?為任意正數(shù),S:D→D是有界線性算子,則函數(shù)在T上的非切向極限幾乎處處為0.證明注意到且由中定理5,當(dāng)|z|→1時(shí),有定理6設(shè)φ是L2+?,1中的函數(shù),其中?為任意正數(shù),S:D(D)→D(D)是有界線性算子,則函數(shù)在T上的非切線極限幾乎處處為0.證明用定理2即可得證.4算子的ricctori方程的可解性Toeplitz代數(shù)T是由{Tg:g∈H∞,1}生成的B(D)的C*-子代數(shù),其中H∞,1是由L∞,1中解析函數(shù)構(gòu)成的子空間.本節(jié)主要討論代數(shù)T上Riccati方程的可解性.Riccati方程形式如下:其中A,B,C和D是Dirichlet空間D上的有界線性算子.Toeplitz算子的Riccati方程的可解性是算子理論的重要問題之一.如,若PH表示從Hilbert空間H到它的閉子空間上的正交投影集,A∈B(H),則Riccati方程在PH中非平凡解的存在性等價(jià)于Hilbert空間H中的不變子空間問題.引理7若u是L∞,1中的調(diào)和函數(shù),則在T上的非切線極限幾乎處處為0.證明注意到由kz1(w)在D中弱收斂到0和Sobolev定理知在T上的非切線極限幾乎處處為0.再由文獻(xiàn),可得在?D上的非切線極限幾乎處處為0.定理8令B=(Tu)*,C=Tv是D上的算子,其中u,v∈H∞,1,令A(yù),D是Dirichlet空間D上的有界線性算子,令Tφ∈B(D)是Toeplitz代數(shù)T中的Toeplitz算子.(1)若Tφ是Riccati方程(4.1)的解,則函數(shù)在T上的非切線極限幾乎處處為0.如果Tφ滿足Riccati方程(4.1),那么對(duì)幾乎處處ζ∈T,證明(1)如果Tφ∈B(D)是方程(4.1)的解,那么對(duì)任意z∈D,有5．dirc藥函數(shù)的可逆定理本節(jié)討論Toeplitz算子Tu的可逆性.通過Berezin變換給出Dirichlet空間D上的Toeplitz算子Tu可逆的一個(gè)充分條件.讓我們回顧一下Karaev的可逆定理.引理9令L=L(X)是由定義在非空集X上的復(fù)值函數(shù)構(gòu)成的Hilbert空間,正交基為{en(z)}∞n=1,令T是L上的有界線性算子滿足:(ii)存在序列W={wn}∞n=1?X使得其中是Hilbert空間L上算子T的Berezin變換.如果δ>max{δTW,δTW*},那么T可逆且由上述引理,我們可以得到Dirichlet空間D上的Toeplitz算子Tu可逆的一個(gè)充分條件.是Dirichlet空間D的正規(guī)化再生核,在D中存在點(diǎn)列W={wn}∞n=1使得類似可得6tuv-tutv-tvtu在[11,引理4.2]中,作者討論了兩個(gè)調(diào)和函數(shù)的積何時(shí)也是調(diào)和函數(shù)的問題.他們利用了Bergman空間La2上的算子2Tuv-TuTw-TvTu的緊性(見[11,定理4.5]).特別地,在這里我們給出了Dirichlet空間上算子2Tuv-TuTv-TvTu緊性的判斷條件.給定u∈L2,1,符號(hào)為u的對(duì)偶Toeplitz算子Su(D⊥→D⊥)和符號(hào)為u的對(duì)偶Hankel算子Ru(D⊥→D)分別定義如下:定理12設(shè)u和v是L2,1中的調(diào)和函數(shù),Tu和Tv是Dirichlet空間D上的有界Toeplitz算子.則2Tuv-TuTv-TvTu是緊的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每一酉算子U:D→D,當(dāng)w沿非切線方向趨于T時(shí)幾乎處處有證明由Toeplitz算子,Hankel算子與對(duì)偶Hankel算子的定義,對(duì)f,g∈D,有于是Tuv-TuTv=RuHv.同理可得Tuv-TvTu=RvHu.故考慮到,w∈D在D中弱收斂到0(D是文獻(xiàn)中的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)Hilbert空間),再由Nordgren和Rosenthal的結(jié)論知,2Tuv-TuTv-TvTu是緊的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每一酉算子U:D→D,當(dāng)w沿非切線方向趨于T時(shí),幾乎處處有定理13設(shè)u和v是L1,1中的函數(shù),Tu和Tv是Dirichlet空間D上的有界Toeplitz算子.那么2Tuv-TuTv-TvTu是緊的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每一酉算子U:D→D,當(dāng)w沿非切線方向趨于T時(shí),幾乎處處有證明由定理3和12可得證.因?yàn)閷?duì)每一解析函數(shù)u,Hu=0,所以由定理12易得以下推論.推論14令u,v是L1,1中的解析函數(shù),Tu與Tv有界,則TuTv-TvTu緊當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每一酉算子U:D→D,幾乎處處有考慮I,II,III,IV,可得注意到其中K1是D上的緊算子,參見,因此其中K2是D上的緊算子,參見;由可知,如果以下極限存在則由k1z(w)在D中弱收