2021年中考數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練：《反比例函數(shù)綜合》（一）

2021年中考數(shù)學(xué)專題培優(yōu)訓(xùn)練:

《反比例函數(shù)綜合》（一）

1.如圖，一次函數(shù)%=4/6的圖象與反比例函數(shù)的=旦的圖象交于力（2,加，BCn,1）

x

兩點，連接外,08.

（1）求這個一次函數(shù)的表達式；

（2）求△048的面積；

（3）問：在直角坐標(biāo)系中，是否存在一點兒使以0,4B,戶為頂點的四邊形是平行四

邊形？若存在，直接寫出點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2.如圖所示，△/8的頂點/在反比例函數(shù)y=K（4>0）的圖象上，直線交y軸于點

x

C,且點C的縱坐標(biāo)為5,過點4、8分別作y軸的垂線力￡BF,垂足分別為點AF,且

AE=\.

（1）若點￡為線段外的中點，求〃的值；

（2）若為等腰直角三角形，/AOB=90。，其面積小于3.

①求證：XOAEUXBOF：

②把I%-%1+1%-力1稱為附（不，必），N（x2,y2）兩點間的"ZJ距離"，記為d（M,

加，求d3,C）+d（4B）的值.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線6c與y軸交于點/1(0,4),與x軸交于點。，點8,

k

C是反比例函數(shù)(x>o)圖象上的點，OB工BC于點、B,40X60；

x

(1)求直線48的解析式；

(2)求反比例函數(shù)的解析式；

(3)若△加8的面積為△80C的面積為的面積為￡,直接寫出6,距

的一個數(shù)量關(guān)系式：

4.如圖，反比例函數(shù)y=區(qū)上(x>0)過點/(3,4),直線為C與x軸交于C(6,0),

x

過點C作x軸的垂線交反比例函數(shù)的圖象于點B.

(1)求反比例函數(shù)和直線AC的表達式；

(2)求△48C的面積.

y.

5.如圖，一次函數(shù)y=-/3的圖象與反比例函數(shù)y=K(k*0)在第一象限的圖象交于力

x

(1,a)和8兩，點,與x軸交于點C.

(1)求反比例函數(shù)的解析式及點8的坐標(biāo)；

(2)若點。為x軸上一點，且滿足h是等腰三角形，請直接寫出符合條件的所有點

戶的坐標(biāo).

19

6.如圖，一次函數(shù)y=k/b(k*0)與反比例函數(shù)，=上■的圖象的一支相交于點4與x

x

軸交于點8(-1,0),與y軸交于點C,已知AC=2BC.

(1)求一次函數(shù)的解析式；

(2)若反比例函數(shù)第一象限上有一點帆垂直于“軸，垂足為“，若△仇加s

X

XMNB、求點力的坐標(biāo).

7.如圖，。為坐標(biāo)原點，點8在“軸的正半軸上，四邊形"第是平行四邊形，%=10,sin

/478=去反比例函數(shù)(〃>0)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點4與8c交于點尸.

(1)求反比例函數(shù)的表達式；

(2)若點尸為固的中點，求尸的面積.

8.如圖，正比例函數(shù)y=Ax(〃右0)的圖象與反比例函數(shù)1-圖■的圖象交于點4(〃，2)

x

和點B.

(1)n=,k=；

(2)點C在y軸正半軸上.ZACB=90。，求點C的坐標(biāo)；

(3)點P(m,0)在x軸上，N4多為銳角，直接寫出"的取值范圍.

1/?

9.如圖，一次函數(shù)必=a/6與反比例函數(shù)力=生■的圖象相交于/(2,8),B(8,2)兩

x

點，連接40,B0,延長力。交反比例函數(shù)圖象于點C.

(1)求一次函數(shù)必的表達式與反比例函數(shù)y2的表達式；

(2)當(dāng)必＜外,時，直接寫出自變量x的取值范圍為；

(3)點戶是x軸上一點，當(dāng)品咖=售5%仍時，請直接寫出點『的坐標(biāo)為_______.

5

10-如圖,正比例函數(shù)廣得、與反比例函數(shù)尸?(＞。)的圖象交于點4將正比例函數(shù)

向上平移6個單位，交y軸于點C,交反比例函數(shù)圖象于點8,已知加=2&?.

(1)求反比例函數(shù)解析式；

(2)作直線將直線向下平移。個單位，恰與反比例函數(shù)圖象有唯一交點，求p

的值.

X

參考答案

1.解：(D???點/(2,加，8(〃，1)在反比例函數(shù)批=2上，

X

??2/77—6,〃=6,

?*-m——3,

?,/(2,3),B(6,1),

?.?點力(2,3),B(6,1)在一次函數(shù)％=〃/6上，

.[2k+b=3

"l6k+b=r

?PH

b=4

???一次函數(shù)的表達式為％=-之/4；

(2)如圖1,記一次函數(shù)必=-/4的圖象與x,y軸的交點為點〃，C,

針對于Xi=--1-A+4,

令x=0,則%=4,

:.C(0,4),

00=6,

令”=0,則-與+4=0,

x=8,

:.D(8,0),

OD=8,

過點A作AELy軸于￡,過點8作BF1.x軸于F,

'：A(2,3),B(6,1),

：.AE^2,BF=1,

,?品/m=品融—S^MC一S&BOD

——OC*OD——OC*AE—^-OD*BF

222

=—X4X8-—X4X2--X8X1

222

=8;

（3）存在，如圖2,

當(dāng)和必為鄰邊時，點5（6,1）先向左平移6個單位再向下平移1個單位到點0（0,

0）,則點A也先向左平移6個單位再向下平移1個單位到點P（2-6,3-1）,即戶（-

4,2）；

當(dāng)）和仍為鄰邊時，點0（0,0）先向右平移2個單位再向上平移3個單位到點A（2,

3）,

則點8也先向右平移2個單位再向上平移3個單位到點?’（6+2,1+3）,即戶‘（8,4）；

當(dāng)48和OA為鄰邊時，點A（2,3）先向右平移4個單位再向下平移2個單位到點B（6,

D,

則點。也先向右平移4個單位再向下平移2個單位到點夕一（0+4,0-2）,即9（4,

-2）;

點。的坐標(biāo)為（-4,2）或（4,-2）或（8,4）.

2.解：（1）.??點￡為線段QC的中點，勿=5,

0E-10C-1,即：￡點坐標(biāo)為（0,y）,

又y軸，羔=1,

?'-k=lX

(2)①在△048為等腰直角三角形中，A0=0B,N加8=90°,

：?2A0&/F0B=9G,

又???8￡Lv軸,

:?/FBSNF0B=M,

ZA0E=NFBO,

在△口IE和△8。尸中，

rZAE0=Z0FB=90o

<ZA0E=ZFB0,

A0=B0

:ZAE仝XBOFkAAS,

②解：設(shè)點4坐標(biāo)為(1,m),

'：△QAEQXBOF、

：.BF=0E=m,0F=AE=l,

B(勿，-1),

設(shè)直線形解析式為：/?y=〃/5,將四兩點代入得:

Jk+5=m

則

1km+5="l

ki=-3&=-2

解得、

IB]=2m2=3

當(dāng)m=2時，0E=2,0A=V5,SAA0B=1-<3,符合；

：.d(/,C)+d(/,8)=AB-CE^(.BF-A￡)+(陽OF)=1+CB0￡-1+0P1=1+循2如

=1+協(xié)?！?1+5+2=8,

當(dāng)加=3時，0E=3、OA=VTO,S"緲=5>3,不符，舍去;

綜上所述：d(4,C)+d(4,8)=8.

3.解：???彳(0,4),

：,0A=4,

VZBOD=60°.

???N408=30°,

YOB工BC于點&

ABO=9G,

D〃=60°,

:3=帆04=4如,

■■D(473,0),

設(shè)直線48的解析式為y=k?b,

k=J

1京+b=0,解得T,

b=4

...直線的的解析式為y=-除”4；

O

(2)；NAOB=3Q°,"=4,

亨爪,

：.AB=^OA=2,OB=04=2

'：^OA'OD=^AD'OB,

.^.OA'OD_4X473

i?/it/r=

OB273

：,BD=AD-AB=6,

???S〃=/X4X4V^=8?，

「?S小田=得乂8^^=2。^,S△胸=[~X取巧=6/§,

oo

設(shè)B(m,ri),

S△被=qOA?m=2?,S△網(wǎng)=/xOD'n=6?,

X4ir=2V3?X4\/3n=6V3,

解得加=y，"=3,

:?B(V3,3),

???點8是反比列函數(shù)y=K(x>0)圖象上的點，

x

?■x3=3A/3?

??.反比例函數(shù)的解析式為尸色巨；

X

■,■C(373.1)，

爪,

^?,=yOD-yc=yX4V3X1=2

.,.%必=6?-2y=4?,

,：S、=2M，$=4?,$3=2?,

?-$[+&=s].

故答案為S|+S3=$.

4.解：（1）把（3,4）代入反比例函數(shù)尸K上,

X

得到4=12,所以反比例函數(shù)解析式為y=」2；

x

設(shè)直線4C的解析式為六=為/仇代入（3,4）和（6,0）,得

(4=3k+b解得■萬,

10=6k+b

b=8

4

所以y=--x+8；

0

（2）過4點作垂直于第延長線于，點,

貝I]446-3=3.

由題意可知8點的橫坐標(biāo)為6,把*=6代入尸士1■9中，可得y=2,

x

所以8點坐標(biāo)為（6,2）.

則CB=2.

△46。的面積為■1?8CX4/=Jx2X3=3.

5.解：(1)把點4(1,a)代入y=-/3,得a=2,

：.A(1,2)

把4(1,2)代入反比例函數(shù)，=上，

X

???仁1X2=2；

...反比例函數(shù)的表達式為y=~,

x

<y=-x+3

(x=l(x=2

解<2得，

y=-Iy=21y=l

X

：.B(2,1)；

(2),；一次函數(shù)y=-A+3的圖象與x軸交于點C,

.'.C(3,0),

■.?A(1,2),

)2+(o-2)2=2后,

過4作為加x軸于。，

：.OD=\,CD=AD=2,

當(dāng)時，PD=CD=2,

：.P(-1,0),

當(dāng)力仁32b時，是等腰三角形，

：.O43-2y或OH3+2近

■■P(3-272,0)或(3+2&,0),

當(dāng)4-Ca時，△4。是等腰三角形，此時點。與。重合，

:.P(1,0),

綜上所述，所有點尸的坐標(biāo)為(-1,0)或(3-2&,0)或(3+2&,0)或(1,0).

過點力作軸于//,

：.AH//OC,

:./XBO叱叢BHA,

.QBBC

"BH"AB'

■：AC^2BC,

._BC_1

"AB-3'

■：B(-1,0),

,J__1

，'BH=r3,

：.BH=3,

：.OH=2、

...點/的橫坐標(biāo)為2,

???點力在反比例函數(shù)y=上的圖象上，

X

?..點彳的縱坐標(biāo)為6,

：-A(2,6),

,f-k+b=0

"l2k+b=6，

,Jk=2

*,lb=2，

???一次函數(shù)的解析式為y=2/2；

(2)由(1)知，直線48的解析式為y=2/2,

(0,2),

：?OC=2,

設(shè)點M(m,12),

m

,??椒」_x軸，

:.N(加,0),

19

:.BN=#1,MN=—,

m

.OBPC

"MN"BN'

1二2

12m+1?

m

：.m=》國(舍)或

22

7.解：(1)如圖，過點4作為“108于//,

4

\'sinZ/4^=—,￡Z4=10,

5

：、AH=8、OH=6,

??"點坐標(biāo)為(6,8),

代入反比例函數(shù)(A>0)可得：々=6X8=48,

反比例函數(shù)解析式：y=—；

X

(2)如圖，過點尸作加x軸于K

.?.四邊形408C是平行四邊形，

/.AO//BC,AO=CB=10,

???4AOB=4FBM,

4

\'s\n^AOB=—,

5

4

??sinNFBM=—,

5

,?,點廠為8c的中點，

:.BF=5,

??FH=8,0H=6.

:,FM=4、BM=3,

??S^BFM—6、

???尸在反比例函數(shù)圖象上,

SXQFL24,

8.解：(1)把4(〃，2)代入反比例函數(shù)y=-3■中，得〃=-4,

X

?,/(-4,2),

把＞4(-4,2)代入正比例函數(shù)y=〃x(AWO)中，得〃=一

故答案為：一4；-^；

(2)過彳作軸于。過8作軸于￡

'：A(-4,2),

???根據(jù)雙曲線與正比例函數(shù)圖象的對稱性得8(4,-2),

設(shè)C(0,b),則勿=6-2,AD=4,BE=4,CE=，1,

?：4ACd/0CB=9G,NOC訃NCBE=9b0,

/.NACO=NCBE,

?：AADC=^CEB=9Q°,

：.?ACDs/\CBE,

.CDADb_24

-.—=—,即An-----=-----,

BECE4b+2

解得，6=2在，或6=-2疾（舍），

.,.C（0,2遍）；

另一解法：（-4,2）,

???根據(jù)雙曲線與正比例函數(shù)圖象的對稱性得8（4,-2）,

=

AB=V64+16WB?

VZACB=9Q°,OA=OB,

???0C-yAB=2V5>

?,.C（o,2加）；

（3）如圖2,過4作軸于〃，過8作以小x軸于小在x軸上原點的兩旁取兩點

P、,P2,使得，眼=。8="=必，

OPj=0P2=0A=742+22=2V5>

???P、（-2娓，0）,P2（2泥，0）,

?：0Py=0P7=0A=OB,

..?四邊形4H明為矢巨形，

：.AP、LP、B,AP^BP2,

?:點P（m,0）在x軸上，NAPB為銳角,

，夕點必在R的左邊或鳥的右邊，

?,?Z-2捉或〃>2捉.

另一解法：在x軸上原點的兩旁取兩點耳，P2,使得N/IH8=N/I88=90°,

貝U0PI=0P24B=2如

.'.Pj(-2V5.0)，P2(2V5?0),

???點戶(m,0)在x軸上，NAPB為銳角,

二戶點必在耳的左邊或外的右邊，

，^<_2泥或0>2泥.

9.解：(1)將4(2,8),B(8,2)代入y=a戶6得產(chǎn)+b=8

I8a+b=2

解得卜二:,

lb=10

，一次函數(shù)為y=-A+10,

將/(2,8)代入%=上得8=馬解得力=16,

...反比例函數(shù)的解析式為y=—；

(2)由圖象可知，當(dāng)％〈力時，自變量*的取值范圍為：x>8或0VxV2,

故答案為x>8或0VxV2；

(3)由題意可知04=0C,

?,S4APL2S4AOP,