2021年中考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)：矩形、菱形

2021中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：矩形、菱形

一、選擇題

1.（2019?上海）下列命題中，假命題是（）

A.矩形的對(duì)角線相等B.矩形對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等

C.矩形的對(duì)角線互相平D.矩形對(duì)角線交點(diǎn)到四條邊的距離相等

2.（202。貴陽(yáng)）菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是6和8,則此菱形的周長(zhǎng)是（）

A.5B.20C.24D.32

3.（2020.綏化）如圖，四邊形A8CO是菱形，E、尸分別是8C、CO兩邊上的點(diǎn)，

不熊保證ZXABE和△A。尸一定全等的條件是（）

A.ZBAF=ZDAEB.EC=FCC.AE=AFD.BE=DF

4.如圖，把一張矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，，AB'

與DC相交于點(diǎn)E,則下列結(jié)論一定正確的是（）

B'

A.NDAB'=ZCABf

B.ZACD=ZBrCD

C.AD=AE

D.AE=CE

5.（2020.濱州）下列命題是假命題的是（）

A.對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形B.對(duì)角線互相垂直的矩

形是正方形

C.對(duì)角線相等的菱形是正方形D.對(duì)

角線互相垂直且平分的四邊形是正方形

6.如圖I,把一張矩形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)A落在CD邊上的點(diǎn)A，處,

點(diǎn)B落在點(diǎn)B，處.若/2=40。，則圖中N1的度數(shù)為（）

A.115°B.120°C.130°D,140°

7.（2020湖州）四邊形具有不穩(wěn)定性，對(duì)于四條邊長(zhǎng)確定的四邊形.當(dāng)內(nèi)角度

數(shù)發(fā)生變化時(shí)，其形狀也會(huì)隨之改變.如圖，改變正方形ABCD的內(nèi)角，正方

形ABCD變?yōu)榱庑蜛BCD'.若N=30。,則菱形ABCD'的面積與正方形ABC。

的面積之比是（）

DC

D'C

B

A.1B.jC.烏D.冬

4//

8.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E,F在對(duì)角線BD.請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得結(jié)論

“AE=CF”成立，并加以證明.

二、填空題

9.已知一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為2,較長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)為24，則這個(gè)菱形的面積

是.

10.如圖，將兩張長(zhǎng)為4,寬為1的矩形紙條交叉并旋轉(zhuǎn)，使重疊部分成為一個(gè)

菱形.旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)兩張紙條垂直時(shí)，菱形周長(zhǎng)的最小值是4,那么菱形周長(zhǎng)的

最大值是.

11.如圖，正方形ABCO的頂點(diǎn)C,A分別在x軸,y軸上，BC是菱形BDCE

的對(duì)角線，若ND=60。，BC=2,則點(diǎn)D的坐標(biāo)是一

12.（2020?四川甘孜州）如圖，有一張長(zhǎng)方形紙片ABC。，AB=Scm,BC=Wcm,

點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，將紙片沿AE折疊，BC的對(duì)應(yīng)邊8c恰好經(jīng)過點(diǎn)D,則線

段DE的長(zhǎng)為cm.

3，

13.（2020,荷澤）如圖，矩形A3CO中，4?=5,12,點(diǎn)尸在對(duì)角線BO上,

且BP=BA,連接AP并延長(zhǎng)，交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,連接3Q,則3。的長(zhǎng)為

14.如圖，在△ABC中，AC=BC=2,AB=l,將它沿A8翻折得到△A3。，則四邊

形ADBC的形狀是形，點(diǎn)P,E,尸分別為線段A3,AD,上的任意

一點(diǎn)，則PE+PF的最小值是.

C.!\

15.如圖，已知在矩形ABCZ）中，點(diǎn)E在邊8C上，BE=2CE,將矩形沿著過點(diǎn)

E的直線翻折后，點(diǎn)C、。分別落在邊下方的點(diǎn)C、。處，且點(diǎn)C、。、B

在同一條直線上，折痕與邊AO交于點(diǎn)RDF與BE交于點(diǎn)G.設(shè)AB=t,那么

XEFG的周長(zhǎng)為（用含t的代數(shù)式表示）.

16.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=10.點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿

BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將^ABG沿BG折疊,

點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處.有下列結(jié)論：

3

①NEBG=45。；②△DEFS^ABG；?SAABG=^SAFGH;④AG+DF=FG.

其中正確的是.（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上）

三、解答題

17.如圖，在菱形A3CO中，AC為對(duì)角線，點(diǎn)E,尸分別在AB,上，BE=DF,

連接EE

（1）求證:

（2）延長(zhǎng)交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接8。交AC于點(diǎn)0,若8。=4,tanG=；,

求A。的長(zhǎng).

18.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,ZABC：ZBAD=1：2,

BE〃AC,CE〃BD.

(1)求相”NDBC的值；

(2)求證：四邊形0BEC是矩形.

19.如圖，已知△ABC中，AB=AC,把△ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到

△ADE,連接BD、CE交于點(diǎn)F.

⑴求證：△AEC^AADB；

(2)若AB=2,NBAC=45。，當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí)，求BF的長(zhǎng).

20.如圖，將矩形紙片ABCD(AD>AB)折疊，使點(diǎn)C剛好落在線段AD上，且折

痕分別與邊BC,AD相交.設(shè)折疊后點(diǎn)C,D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G,H,折痕分

別與邊BC,AD相交于點(diǎn)E,F.

⑴判斷四邊形CEGF的形狀，并證明你的結(jié)論；

(2)若AB=3,BC=9,求線段CE的取值范圍.

21.如圖，。。的直徑AB=4,C為。。上一點(diǎn)，AC=2.過點(diǎn)C作。。的切線。C,

P點(diǎn)為優(yōu)弧圍A上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、C重合).

(1)求NAPC與NACD的度數(shù)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到劣弧的的中點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形08PC是菱形;

(3)當(dāng)PC為。。的直徑時(shí)，求證：△APC與AABC全等.

2021中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：矩形、菱形?答案

一、選擇題

1.【答案】D

【解析】矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)到每一組對(duì)邊的距離相等，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，是假

命題.

2.【答案】B.

3.【答案】C

【解析】由菱形的性質(zhì)可知AB=AD,ZB=ZD,因此4ABE與4ADF已具備

了一邊一角相等.當(dāng)選項(xiàng)A做條件時(shí)可用“ASA”判定全等；當(dāng)選項(xiàng)B或選項(xiàng)D

做條件時(shí)，可用“SAS”判定全等.選項(xiàng)C做條件時(shí)是“邊、邊、角”，不能判定兩

個(gè)三角形全等.故選C.

4.【答案】D【解析】?.?四邊形A8CO為矩形，.?.A3〃CD,...NAC0=N84C,

由折疊的性質(zhì)可得/84C=ZEAC,：.ZACD=ZEAC,：.AE=CE.

5.【答案】D

【解析】本題考查了正方形的判定，對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方

形、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形、對(duì)角線相等的菱形是正方形是真命題，對(duì)

角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，即對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是正方

形是假命題，因此本題選D.

6.【答案】A【解析】由折疊的性質(zhì)知N￡A0=NA=90。，?；N2=40。，.?./夕4c

=50°,：.ZEA'。=40°,/DEA'=50°,AZAEA'=130°,AZAEF=AFEA'

=^ZAEA'=65°,'：AD//BC,AZ1=180°-65°=115°.

7.【答案】解：根據(jù)題意可知菱形ABCD，的高等于AB的一半，.?.菱形ABCD，

的面積為;AB2,正方形ABCD的面積為AB2....菱形ABCTT的面積與正方形

ABCD的面積之比是;.故選：B.

【分析】根據(jù)30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可知菱形ABCD，的高等于AB

的一半，再根據(jù)正方形的面積公式和平行四邊形的面積公式即可得解.

8.【答案】添加的條件是BE=DF（答案不唯一）.

證明：?..四邊形ABCD是矩形，

/.AB/7CD,AB=CD,

.,.ZABD=ZBDC,

又?.?BE=DF（添加），

.,.△ABE^ACDF（SAS）,

.\AE=CF.

二、填空題

9.【答案】［解析了.?菱形兩對(duì)角線互相垂直且平分，較長(zhǎng)對(duì)角線的一半為6,

二菱形較短對(duì)角線的一半為后荷=1.根據(jù)菱形面積等于兩對(duì)角線長(zhǎng)乘積的

一半得:;x2gx2=2小.

10.【答案［解析了如圖，當(dāng)兩矩形紙條有一條對(duì)角線互相重合時(shí)，菱形的周

長(zhǎng)最大，

設(shè)菱形的邊長(zhǎng)AC=x,則AB=4-x,

在RSABC中，AC2=AB2+BC2,

17

即X2=(4-X)2+12,解得x=w，

菱形的最大周長(zhǎng)=^x4=y.

n.【答案】（由+2,7）【解析】如解圖，過點(diǎn)D作DG_LBC于G,DF，x軸

于F,?.?在菱形BDCE中，BD=CD,ZBDC=60°,，4BCD是等邊三角形,

.*.DF=CG=1BC=1,CF=DG=小，/.OF=V3+2,，D（S+2,1）.

12.［答案］5

【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理.

?長(zhǎng)方形紙片ABC。,A5=8,3c=10,：.AB'=S,AD=IO,8c=10.

在RrAWS中，由勾股定理，得08=6.：,DC=4.

設(shè)貝ijCE=CE=8—x.

在中，由勾股定理，得OE2=EC2+￡>C2

即x2=(8—x)2+42.

，x=5.即線段OE的長(zhǎng)為5c〃z.

13.【答案】3折

【解析】由于已知的長(zhǎng)，故可設(shè)想在Rr^BC。中利用勾股定理求解，則需

求CQ的長(zhǎng)，這可通過求OQ的長(zhǎng)得到，結(jié)合已知條件BP=BA=5,易知OQ=

DP,顯然。P可求，思路溝通.

在矩形A3CD中，ZBAD=90°,AB=5,AD=12,：.BD=yjAB2+AD2=13,

又?：BP=BA=5,二。P=13—5=8,ZBAP=ZBPA.'：AB//DQ,：.ZBAP=

ZPQD,：.ZPQD=ZBR\=ZDPQ,：.DQ=DP=S,：.Cg=8-5=3.在Rf

△3CQ中，BC=12,CQ=3,ABQ=V122+32=3A/17.

14.【答案】菱申［解析「〃?？?。，.?.△ABC是等腰三角形.

將^ABC沿AB翻折得到^ABD,：.AC=BC=AD=BD,：.四邊形ADBC是菱形.

,.，△ABC沿AB翻折得到^ABD,：.△ABC與4A3。關(guān)于AB成軸對(duì)稱.

如圖所示，作點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)/，連接P￡,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知AB垂

直平分印，：.PE=PE',

：.PE+PF=PE'+PF,

當(dāng)E',P,E三點(diǎn)共線，且EFLAC時(shí)，PE+尸產(chǎn)有最小值，該最小值即為平行線

AC與80間的距離.

作CM_LA3于M,3GLA。于G,由題知AC=BC=2,AB=l,NCAB=NBAD,

LAG1

cosZCAB=cosZBAD,即令了，二?AG,，

2

在RQABG中，BG=^AB2-AG2=Jl-

由對(duì)稱性可知BG長(zhǎng)即為平行線AC,BD間的距離，

：.PE+PF的最小值=卓

15.【答案】2后.思路如下：如圖，等邊三角形EFG的高=AB=f,計(jì)算得邊長(zhǎng)

為生

16.【答案】*④【解析】由折疊的性質(zhì)得，ZCBE=ZFBE,NABG=/FBG,

AZEBG=ZFBE+ZFBG=1x90°=45°,故①正確；由折疊的性質(zhì)得，BF=BC

=10,BA=BH=6,/.HF=BF-BH=4,AF=^BF2-BA2=^/102-62=8,設(shè)

GH=x,則GF=8—x,在HfaGHF中，x2+42=(8-x)2,/.x=3,/.GF=5,

oinFf)

；.AG=3,同理在放4FDE中，由FD2=EF2—ED?,得ED=a，EF=《~,.?.礪

jjrL)

黑=2,.,.△DEF與△ABG不相似，故②不正確；SAABG=1X3X6=9,SAFGH

1SAABG93../~.

=5X3X4=6,------=N=5，故③正確；VAG=3,DF=AD—AF=2,AFG

LSAFGH0L

=5,，AG+DF=FG=5,故④正確.綜上，答案是①③④.

三、解答題

17.【答案】

解:(1)證明:四邊形ABCD為菱形，

：.AB=AD,AC平分NBAD

BE=DF,：.AB-BE=AD-DF,

：.AE=AF,

...△AEF是等腰三角形，

YAC平分NBA。，：.AC±EF.

(2)..?四邊形ABC。為菱形，

C.CG//AB,B0=；BD=2,

易知EF//BD,

四邊形EBDG為平行四邊形，

/.ZG=ZABD,tanZABZ)=tanZG=^,

.,AOAO1

..tanZ.ABD=^=—=^,..AO=1.

18.【答案】

(1)【思路分析】根據(jù)四邊形ABCD是菱形，NABC：ZBAD=1:2,可求出NDBC

的度數(shù)，其正切值可求出.

解：???四邊形ABCD是菱形，

，AD〃BC,ZDBC=|ZABC,

ZABC+ZBAD=180°,

XVZABC：ZBAD=1：2,

AZABC=60°,(2分)

.,.ZDBC=|ZABC=3O°,

：.tanZDBC=tan30°=手.(3分)

(2)【思路分析】由BE〃AC,CE〃BD可知四邊形BOCE是平行四邊形，再結(jié)

合菱形對(duì)角線垂直的性質(zhì)即可證明四邊形BOCE是矩形.

證明：?.?四邊形ABCD是菱形，

AAClBD,即ABOC=90。,（4分）

VBE/7AC,CE〃BD,

，BE〃OC,CE〃OB,

，四邊形OBEC是平行四邊形，且NBOC=90。，

二四邊形OBEC是矩形.（5分）

方法指導(dǎo)|（1）要求一個(gè)角的正切值,可通過相關(guān)計(jì)算先求得角的度數(shù)，再求其正

切值，這種情況往往所求角度為特殊值；或者將該角置于直角三角形中，通過求

直角三角形邊長(zhǎng)來，求其正切值.（2）矩形的判定：①平行四邊形+有一個(gè)角是

直角；②平行四邊形十對(duì)角線相等；③四邊形的三個(gè)角是直角.

19.【答案】

（1）證明：；4人口￡是由△ABC繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得，

，AD=AB,AE=AC,ZBAC=ZDAE,（1分）

VAB=AC,

，AD=AB=AE=AC,NEAC=NDAB,

在^AEC和^ADB中

（AD=AE

ZEAC=ZDAB,

IAB=AC

.,.△AEC^AADB（5A5）.（3分）

（2）解：當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí)，AC=DF,AC〃DF,

.,.ZBAC=ZABD,

又?.?NBAC=45°,

AZABD=45°,（5分）

又?1△ADE是由△ABC繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得，

；.AD=AB,

AZDAB=90°,（6分）

又TAB=2,

由勾股定理可得：BD=^AD2+AB2=V2AB=2V2,

在菱形ADFC中，DF=AD=AB=2,

，BF=BD—DF=2啦一2.（8分）

20.【答案】

解：（1）四邊形CEGF是菱形