2024屆高三物理復(fù)習(xí)小練習(xí)(十五)　萬有引力定律　相對論（解析版）

2024屆高三一輪復(fù)習(xí)小練(十五)萬有引力定律相對論1．(選自教科版新教材)火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運(yùn)行，根據(jù)開普勒行星運(yùn)動定律可知()A．太陽位于木星運(yùn)行軌道的中心B．火星和木星繞太陽運(yùn)行速度的大小始終相等C．火星與木星公轉(zhuǎn)周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方D．相同時間內(nèi)，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積解析：選C太陽位于木星運(yùn)行軌道的一個焦點(diǎn)上，A錯誤；不同的行星對應(yīng)不同的運(yùn)行軌道，運(yùn)行速度大小也不相同，B錯誤；同一行星與太陽連線在相等時間內(nèi)掃過的面積才能相同，D錯誤；由開普勒第三定律得eq\f(r火3,T火2)＝eq\f(r木3,T木2)，故eq\f(T火2,T木2)＝eq\f(r火3,r木3)，C正確。2．(多選)質(zhì)量為m的小物塊靜止在赤道處，下列關(guān)于小物塊所受引力和重力的說法正確的是()A．小物塊所受重力的方向一定指向地心B．小物塊所受引力的方向一定指向地心C．若地球自轉(zhuǎn)加快，小物塊所受重力變小D．若地球自轉(zhuǎn)加快，小物塊所受引力變小解析：選ABC在赤道處重力及萬有引力方向均指向地心，A、B正確；對赤道位置的物體分析可知，所受萬有引力產(chǎn)生兩分力效果，一是重力，二是自轉(zhuǎn)向心力，且三者的方向都指向地心，滿足：Geq\f(Mm,R2)＝mω2R＋mg赤，則自轉(zhuǎn)加快即角速度ω增大，所需向心力變大，而引力不變，故重力變小，C正確；物體所受萬有引力大小Geq\f(Mm,R2)，與自轉(zhuǎn)快慢無關(guān)，則地球自轉(zhuǎn)加快時小物塊所受的引力不變，D錯誤。3．我國自主研發(fā)的“北斗三號”衛(wèi)星系統(tǒng)由30顆衛(wèi)星組成，其中某顆中圓軌道衛(wèi)星在軌運(yùn)行時到地面的距離是地球半徑的a倍，繞地球做勻速圓周運(yùn)動的周期為T，地球表面的重力加速度為g，忽略地球的自轉(zhuǎn)。則地球半徑可表示為()A.eq\f(2gT2,π2a2) B.eq\f(gT2,4π2a3)C.eq\f(4gT2,π2a＋12) D.eq\f(gT2,4π2a＋13)解析：選D衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動的向心力由萬有引力提供，所以有Geq\f(Mm,[a＋1R]2)＝mω2(a＋1)R＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2(a＋1)R，地面附近萬有引力等于重力，所以有Geq\f(Mm,R2)＝mg，聯(lián)立解得，地球半徑可表示為R＝eq\f(gT2,4π2a＋13)，故D正確，A、B、C錯誤。4．天文學(xué)家宣布恒星系統(tǒng)Trappist-1的行星可能存在支持生命的水。該系統(tǒng)的中央恒星是一顆超低溫紅矮星，其質(zhì)量約為太陽質(zhì)量的8%，半徑約為太陽半徑的11%，表面溫度約為2550K，中央恒星與最近行星的距離是日地距離的1%，則該行星公轉(zhuǎn)周期約為()A．1.3天B．2.4天C．4.5天 D．73天解析：選A行星做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，故：Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，解得：T＝2πeq\r(\f(R3,GM))∝eq\r(\f(R3,M))，故未知行星與地球的公轉(zhuǎn)周期之比為：eq\f(T1,T2)＝eq\f(\r(\f(0.01R3,0.08M)),\r(\f(R3,M)))＝0.0035，故T1＝0.0035T2≈1.3天，故A正確。5．如圖為人造地球衛(wèi)星的軌道示意圖，LEO是近地軌道，MEO是中地球軌道，GEO是地球同步軌道，GTO是地球同步轉(zhuǎn)移軌道。已知地球的半徑R＝6400km，該圖中MEO衛(wèi)星的周期約為(圖中數(shù)據(jù)為衛(wèi)星近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的高度)()A．3hB．8hC．15h D．20h解析：選A根據(jù)題圖中MEO衛(wèi)星距離地面高度為4200km，可知軌道半徑約為R1＝10600km，同步軌道上GEO衛(wèi)星距離地面高度為36000km，可知軌道半徑約為R2＝42400km，為MEO衛(wèi)星軌道半徑的4倍，即R2＝4R1。地球同步衛(wèi)星的周期為T2＝24h，運(yùn)用開普勒第三定律，eq\f(R13,R23)＝eq\f(T12,T22)，解得T1＝3h，A正確。6．一位愛好天文的同學(xué)結(jié)合自己所學(xué)設(shè)計了如下實驗：在月球表面附近高h(yuǎn)處以初速度v0水平拋出一個物體，然后測量該平拋物體的水平位移為x，通過查閱資料知道月球的半徑為R，引力常量為G，若物體只受月球引力的作用，則月球的質(zhì)量是()A.eq\f(2hR2v02,Gx2)B.eq\f(2hR2v02,Gx)C.eq\f(hR2v02,Gx2)D.eq\f(2hR3v02,Gx2)解析：選A依題意可知，月球表面的物體做平拋運(yùn)動，則在水平方向：x＝v0t，豎直方向：h＝eq\f(1,2)gt2，故月球表面的重力加速度：g＝eq\f(2hv02,x2)。由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得月球質(zhì)量：M＝eq\f(2hv02R2,Gx2)。故A正確。7．質(zhì)量為m的著陸器在著陸火星前，會在火星表面附近經(jīng)歷一個時長為t0、速度由v0減速到零的過程。已知火星的質(zhì)量約為地球的p倍，半徑約為地球的q倍，地球表面的重力加速度大小為g，忽略火星大氣阻力。若該減速過程可視為一個豎直向下的勻減速直線運(yùn)動，此過程中著陸器受到的制動力大小約為()A．meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,q2)g＋\f(v0,t0))) B．meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,q2)g－\f(v0,t0)))C．meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(q2,p)g＋\f(v0,t0))) D．meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(q2,p)g－\f(v0,t0)))解析：選A根據(jù)萬有引力提供重力有Geq\f(Mm,R2)＝mg′，解得g′＝eq\f(GM,R2)，所以火星表面的重力加速度為g火＝eq\f(p,q2)g，著陸器受到的制動力大小F，則有F－mg火＝ma，v0＝at0，聯(lián)立解得F＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,q2)g＋\f(v0,t0)))，所以A正確，B、C、D錯誤。8.如圖所示，將一個半徑為R、質(zhì)量為M的均勻大球，沿直徑挖去兩個半徑分別為大球一半的小球，并把其中一個放在球外與大球靠在一起，挖去小球的球心、球外小球球心、大球球心在一條直線上，則大球中剩余部分與球外小球的萬有引力大小約為(已知引力常量為G)()A．0.01eq\f(GM2,R2) B．0.02eq\f(GM2,R2)C．0.05eq\f(GM2,R2) D．0.04eq\f(GM2,R2)解析：選D由題意知，所挖出小球的半徑為eq\f(R,2)，質(zhì)量為eq\f(M,8)，則未挖出小球前大球?qū)η蛲庑∏虻娜f有引力大小為F＝Geq\f(M×\f(M,8),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋\f(R,2)))2)＝eq\f(GM2,18R2)，將所挖出的其中一個小球填在原位置，則填入左側(cè)原位置小球?qū)η蛲庑∏虻娜f有引力為F1＝Geq\f(\f(M,8)×\f(M,8),2R2)＝eq\f(GM2,256R2)，填入右側(cè)原位置小球?qū)η蛲庑∏虻娜f有引力為F2＝Geq\f(\f(M,8)×\f(M,8),R2)＝eq\f(GM2,64R2)，大球中剩余部分對球外小球的萬有引力大小為F3＝F－F1－F2≈0.04eq\f(GM2,R2)，D正確。9．一宇航員乘坐自動航天飛行器到達(dá)一類似地球的星球表面進(jìn)行科學(xué)考察，科考任務(wù)結(jié)束后，他將星球的自轉(zhuǎn)周期為18小時、同一物塊在星球兩極時的重力為在星球赤道時重力的eq\f(27,26)倍的兩個數(shù)據(jù)輸入飛行器的航程自動儀中，飛行器自動生成運(yùn)行軌道，并按此軌道由星球表面P點(diǎn)返回到同步軌道，其中P點(diǎn)和Q點(diǎn)為切點(diǎn)，請問飛行器從橢圓軌道上的P點(diǎn)到Q點(diǎn)需要多長時間？解析：設(shè)該星球的半徑為R，質(zhì)量為M，同步衛(wèi)星的周期為T，軌道半徑為r，飛行器的周期為T′。在星球的兩極有eq\f(GMm,R2)＝mg，在星球的赤道有eq\f(GMm,R2)＝mg′＋meq\f(4π2,T2)R，由題有mg′＝eq\f(27,26)mg，聯(lián)立以上三式可得eq\f(1,27)eq\f(GMm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，對同步衛(wèi)星eq\f(GMm′,r2)＝m′eq\f(