2024屆江西省穩(wěn)派聯(lián)考高三上學(xué)期10月統(tǒng)一調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat16頁2024屆江西省穩(wěn)派聯(lián)考高三上學(xué)期10月統(tǒng)一調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到，再求即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：B．2．（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式與特殊角的三角函數(shù)值求解即可.【詳解】，故選：D．3．已知向量，，若，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量垂直及數(shù)量積的運(yùn)算律列方程得，再應(yīng)用向量夾角的坐標(biāo)表示求夾角余弦值.【詳解】因?yàn)?，所以，得，所以，所?故選：A4．已知，若為純虛數(shù)，則a的值為（

）．A．1 B．3 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)純虛數(shù)的概念列方程即可得所求.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，所以.故選：B．5．函數(shù)的大致圖象可能是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】利用排除法依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，由可得的圖象過原點(diǎn)，排除A；對(duì)選項(xiàng)C，，，有2個(gè)極值點(diǎn)，排除C；對(duì)選項(xiàng)D，存在t，當(dāng)時(shí)恒有，在上單調(diào)遞增，排除D故選：B6．已知函數(shù)，，則（

）．A．的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱【答案】D【分析】可直接利用函數(shù)奇偶性定義，結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡證明；可先由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)變形整理，再利用函數(shù)奇偶性定義證明即可.【詳解】任意，，且，故的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；任意，，則，故是偶函數(shù)，的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.故選：D．7．將三角形的3個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條角三分線相交得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的3個(gè)交點(diǎn)的連線構(gòu)成正三角形，該定理稱為莫利定理，其中的正三角形稱為該三角形的莫利三角形．如圖，在中，，，則的莫利三角形的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)莫利三角形得定義結(jié)合正弦定理即可得.【詳解】由題意可得，，在中，，，，由正弦定理得，同理可得，，，所以，所以的面積為.故選：C．8．若，，，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)c,b進(jìn)行估值，根據(jù)a式的形式，平方后進(jìn)行估值，中值法比較大小.【詳解】因?yàn)?，，所以，排除BC，因?yàn)?，所以，所以，排除D，故選：A二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）．A． B．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C．的虛部為 D．z是方程的根【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長、幾何意義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)與方程的根逐項(xiàng)判斷關(guān)系即可.【詳解】因?yàn)?，所以，A正確；z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，B錯(cuò)誤；，虛部為，C正確；由得，即，所以z是方程的根，D正確.故選：ACD．10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．若，則B．把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象C．若，則是的整數(shù)倍D．若在上單調(diào)遞增，則【答案】BCD【分析】根據(jù)正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，在上單調(diào)遞增，所以，所以，A錯(cuò)誤；的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，B正確；若，則是最小正周期的整數(shù)倍，又的最小正周期，C正確；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，D正確，故選：BCD11．下列各式的值是方程的根的為（

）．A． B．C． D．【答案】BCD【分析】解方程求根，應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及三角恒等變換化簡求值，判斷各項(xiàng)是否為方程的根即可.【詳解】方程的根為2或，，A錯(cuò)誤；，B正確；，C正確；，D正確.故選：BCD12．已知定義城為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（

）．A．若，且，則B．C．圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率恒大于1D．若對(duì)，，則【答案】AC【分析】由知函數(shù)單調(diào)遞增判斷A；根據(jù)，并構(gòu)造并確定單調(diào)性判斷B；由，構(gòu)造并研究其單調(diào)性判斷符號(hào)，得到的單調(diào)性，結(jié)合斜率公式判斷C；由，根據(jù)分析有，即且，再構(gòu)造、依次研究單調(diào)性判斷D.【詳解】定義域?yàn)?，且，在上單調(diào)遞增，A正確；因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，B錯(cuò)誤；設(shè)，是圖象上任意兩點(diǎn)，而，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，所以，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，表示A，B兩點(diǎn)連線的斜率，C正確；由得，又在上單調(diào)遞增，則，即，且，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，設(shè)，則，在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以，D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件，結(jié)合各項(xiàng)描述構(gòu)造對(duì)應(yīng)函數(shù)，并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性比較大小、求參數(shù)范圍即可.三、填空題13．中，點(diǎn)D在邊上，若，則．【答案】/1.5【分析】根據(jù)平面向量的共線定理與線性運(yùn)算即可得所求.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊上，若，所以，，所以，所以，，所以．故答案為：.14．已知命題p：“，”，則p為真命題的一個(gè)必要不充分條件是．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)已知命題為真求對(duì)應(yīng)參數(shù)a的范圍，再結(jié)合充分、必要性定義寫出一個(gè)必要不充分條件.【詳解】由得：，所以p為真命題的充要條件是，故一個(gè)必要不充分條件是．故答案為：（答案不唯一）15．若函數(shù)'的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】分和兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間的值域，再根據(jù)題意列出不等式，從而可得出答案.【詳解】若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的值域不是R；若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由的值域?yàn)镽，得，解得．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2).故答案為：.16．折紙是一種玩具，也是一項(xiàng)思維活動(dòng)．如圖，把一個(gè)足夠長的長方形紙條打好一個(gè)結(jié)，然后拉緊壓平，再截去伸出的部分，就得到一個(gè)正五邊形，若，把該正五邊形折紙展開，得到一個(gè)紙條，記該紙條的周長為，則．

【答案】2【分析】由已知條件利用三角函數(shù)的概念求出，，的長度，進(jìn)而得到紙條周長，再根據(jù)二倍角公式和誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】由題意可得在等腰梯形中，，，，，展開后的紙條如下圖，

該紙條的周長，所以，故答案為：2四、解答題17．已知函數(shù)的圖象上相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是．(1)求在上的值域；(2)求的圖象在處的切線l的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）圖象上相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于半周期，從而可得，再用三角函數(shù)的單調(diào)性求值域.（2）先求，再求切點(diǎn)的縱坐標(biāo)和斜率，從而求切線方程.【詳解】（1）因?yàn)閳D象上相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是，所以，，，因?yàn)椋?，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，，所以，，所以在上的值域?yàn)椋?）（2）因?yàn)?，所以，所以，，所以切線l的方程為，即．18．已知向量，，且．(1)求的值；(2)若且，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求在方向上的投影數(shù)量．【答案】(1)(2)【分析】（1）先由向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合二倍角公式和余弦的兩角和公式求解即可；（2）利用向量數(shù)量積和投影向量公式及坐標(biāo)運(yùn)算直接求解即可.【詳解】（1）由兩邊平方可得，解得，又因?yàn)橄蛄浚?，所以，整理得，所以．?）因?yàn)榍遥?，所以，，所以，，，所以在方向上的投影?shù)量為．19．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且時(shí)．(1)求時(shí)的解析式；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，n滿足，且在上的值域是，若存在，求出m，n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在；，【分析】（1）由對(duì)稱性可得，從而即可求解.（2）根據(jù)題意，假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，n，從的最大值確定n的取值范圍，進(jìn)而即可求解.【詳解】（1）因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，當(dāng)時(shí)，，所以．（2）假設(shè)存在m，n滿足，且在上的值域是，易得時(shí)，由對(duì)稱性可得時(shí)，所以，，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，，即m，n是的兩個(gè)根，所以，．綜上所述，存在實(shí)數(shù)m，n，即，．20．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求B；(2)若，，從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，求的最小值．①點(diǎn)M，N分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），且；②點(diǎn)M，N是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)且），且．注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)；(2)①；②.【分析】（1）應(yīng)用正余弦邊角關(guān)系化簡已知條件得，即可求角的大?。唬?）由（1）及題設(shè)求得，選①設(shè)，，利用余弦定理可得，結(jié)合基本不等式求最小值，注意取值條件；選②設(shè)，應(yīng)用余弦定理用表示出，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求最小值.【詳解】（1）由正弦邊角關(guān)系得，所以，由余弦定理得，即，所以，又，則．（2）由（1）及題設(shè)，則，選①，此時(shí)，設(shè)，，由余弦定理得，即，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．選②，此時(shí)，，設(shè)，因?yàn)椋瑒t，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．21．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，按的不同取值范圍討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可求解；（2）將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，結(jié)合（1）中單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由，得或，當(dāng)即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，或時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減；或時(shí)，，在上單調(diào)遞增．綜上可得，時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．（2）由題可得，所以，由（1）得當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則時(shí)，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)在上單調(diào)遞減，時(shí)，，滿足題意，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由時(shí)，恒成立，則，即，因?yàn)?，，所以，綜上得實(shí)數(shù)的取值范圍為．22．已知函數(shù)．(1)證明：；(2)若，判斷方程的實(shí)根個(gè)數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)有唯一實(shí)根【分析】（1）不等式變形為，引入函數(shù)，求導(dǎo)確定單調(diào)性后得出即證；（2）引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在