《利用解直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題》教學(xué)設(shè)計(jì)(山東省縣級(jí)優(yōu)課)-九年級(jí)數(shù)學(xué)教案

2.4解直角三角形（3）教學(xué)設(shè)計(jì)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)（一）知識(shí)與技能：能夠應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)解決有關(guān)的非直角三角形問(wèn)題。過(guò)程與方法：通過(guò)添加輔助線-----作三角形一邊上的高，把的求斜三角形邊或角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣和求知欲望。教學(xué)重點(diǎn)：利用解直角三角形的知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)和能力。教學(xué)難點(diǎn)：通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，發(fā)展“轉(zhuǎn)化”的思想。四、教學(xué)過(guò)程一、情境導(dǎo)入師：三角板是我們學(xué)習(xí)上的重要工具，下面我們就利用三角板解決一些新問(wèn)題。前兩節(jié)課學(xué)習(xí)了解直角三角形，請(qǐng)大家用解直角三角形的方法求這兩個(gè)三角板的邊長(zhǎng)1.如圖，在Rt?ADC中，∠ADC=90°，∠A=60°，AC=12，求AD和CD的長(zhǎng).生：在Rt?ADC中，∠ADC=90°∵sinA=∴CD=AC×sinA=12×=∵cosA=∴AD=AC×cosA=12×=62.如圖，在Rt?BDC中，∠BDC=90°，∠B=45°，CD=，求BD的長(zhǎng).生：在Rt?BDC中，∠BDC=90°∵tanB=∴BD===師：現(xiàn)在老師將其中一個(gè)三角板平移，拼成一個(gè)大三角形。如圖，∠A=60°，∠B=45°，AC=12，CD⊥AB于點(diǎn)D,你能迅速說(shuō)出AB的長(zhǎng)嗎？生：AB=AD+BD=6+師：請(qǐng)同學(xué)們觀察一下，此時(shí)?ABC是直角三角形嗎？這樣的三角形我們稱(chēng)它為斜三角形.這節(jié)課我們就來(lái)研究解直角三角形第三課時(shí)——解斜三角形.【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)知識(shí)是環(huán)環(huán)相扣的，復(fù)習(xí)解直角三角形能讓學(xué)生為接下來(lái)的學(xué)習(xí)作很好的鋪墊和自然的過(guò)渡。熟練掌握解直角三角形的基礎(chǔ)上，去探索解斜三角形的方法，激發(fā)了他們研究的興趣和探究的激情.二、探究新知BACD例：如圖，?ABC中，∠A=60°，∠B=45°，ACBACD解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D點(diǎn).在Rt?ADC中，=12，∠=60°∴CD=AC×sinA=12sin60°=12×=AD=AC×cosA=12cos60°=12×=6在Rt?BDC中，∠B=45°∴BD===∴AB=AD+BD=6+變式一CBA如圖，?ABC中，∠A=105°，∠B=45°，AC=12，求CBA師：思考：如何構(gòu)造直角三角形？（教師演示用一副三角板圖形）生：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D點(diǎn)師：你能說(shuō)出這個(gè)題的解題思路嗎？生:解兩個(gè)直角三角形?ABD和?ACD師：這個(gè)斜三角形還有別的方法構(gòu)造直角三角形嗎？生：過(guò)點(diǎn)B或點(diǎn)C垂直，構(gòu)造直角三角形。師：這樣構(gòu)造直角三角形能解決問(wèn)題嗎？如果不能，為什么？生：不能，直角三角形中沒(méi)有特殊角，不能解。師：說(shuō)的非常好.所以同學(xué)們我們?cè)谧鲞@類(lèi)問(wèn)題時(shí)應(yīng)該從非特殊角的頂點(diǎn)作垂線，這樣就不能破壞特殊角.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生初步體會(huì)解斜三角形的含義、步驟及解題過(guò)程。通過(guò)展示他們的思路讓他們更好的體會(huì)將斜三角形轉(zhuǎn)化解直角三角形。CBCBA如圖，?ABC中，∠C=105°，∠B=45°，AC=12，求AB的長(zhǎng).變式二ABC如圖，?ABC中，∠B=45°，sinC=ABC變式三ABC如圖，?ABC中，∠B=45ABC師：是不是所有的斜三角形，都是在三角形內(nèi)部作垂線構(gòu)造直角三角形呢？請(qǐng)大家再看一個(gè)鈍角三角形.【設(shè)計(jì)意圖】（1）轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型解決.（2）鞏固解斜三角形，構(gòu)造直角三角形后可以運(yùn)用特殊角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)求三角形的邊長(zhǎng).三、歸納總結(jié)師：如何將斜三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直角三角形問(wèn)題？生：通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，從而解決問(wèn)題.師：（出示兩種基本圖形）怎樣作輔助線構(gòu)造直角三角形？生：可以在三角形內(nèi)部作高，也可以在三角形外部.生：銳角三角形高作在三角形內(nèi)部，鈍角三角形的高可以作在內(nèi)部，也可以作在外部.【設(shè)計(jì)意圖】這是這節(jié)課的重點(diǎn)，讓學(xué)生歸納和討論，總結(jié)通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，將求斜三角形邊或角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解直角三角形問(wèn)題的方法。給學(xué)生展示的平臺(tái)，增強(qiáng)學(xué)生的興趣及自信心.師：歸納的非常全面。請(qǐng)完成以下問(wèn)題，看看你有幾種做法？每種做法需要提供哪些數(shù)據(jù)？變式四CBA如圖，在?ABC中，∠B=47°，∠ACB=15CBA生1：如果已知15°和47°角的正弦值，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D點(diǎn).解直角三角形?ABD和?ACD.生2：如果已知62°的正弦和余弦，47°的正切，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.解直角三角形?ABD和?ACD.師：兩個(gè)同學(xué)說(shuō)的非常棒！鈍角三角形的高可以作在內(nèi)部，也可以作在外部.需要根據(jù)已知條件確定.請(qǐng)同學(xué)們老師給出的這些條件，完成這個(gè)題.（學(xué)生練習(xí)，找同學(xué)板書(shū)）師：兩個(gè)同學(xué)配合默契.希望大家認(rèn)真計(jì)算。學(xué)習(xí)了解斜三角形，我們利用轉(zhuǎn)化的思想化斜為直，將求三角形的邊角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題。我們?cè)僖黄鹂纯此倪呅蔚拿娣e怎樣求？【設(shè)計(jì)意圖】體會(huì)一般三角形在構(gòu)造直角三角形時(shí)方法往往不止一種，要根據(jù)已知條件確定如何構(gòu)造.進(jìn)而利用解直角三角形的知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題，鞏固解斜三角形.四、拓展提高DCBA（出示題目）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=，CD=DCBA師：先獨(dú)立思考，再小組交流?？纯茨膫€(gè)小組想到的方法多。生1：我們組想到兩種方法.一種是分別延長(zhǎng)BA、DC交于點(diǎn)E.解?ADE，?BCE。第二種方法是分別過(guò)點(diǎn)A、D作AE⊥BC，DF⊥AE.解?ABE，?ADF生2：和剛才的小組一樣，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AD，EF⊥AB.解?CDE，?BEF.師：相比較這三種方法哪種方法更簡(jiǎn)單？在導(dǎo)學(xué)案上整理.【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生鞏固利用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題，考察建立數(shù)學(xué)模型的能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想在學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。以及在學(xué)習(xí)中還存在哪些問(wèn)題，及時(shí)反饋矯正.五、談收獲師：這節(jié)課你有什么收獲？師：我們學(xué)習(xí)了解斜三角形，就是解直角三角形的應(yīng)用。運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想，通過(guò)作高將斜三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形，再運(yùn)用三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)來(lái)解決，建立直角三角形模型.【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生回顧本堂課的收獲，體會(huì)如何通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題.六、課后作業(yè)必做：習(xí)題1、2選