五年級奧數(shù)最大公約數(shù)問題

、最大公約數(shù)專題簡析專題簡析：幾個數(shù)公有的約數(shù)叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)，其中最大的一個叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。我們可以把自然數(shù)a、b的最公約數(shù)記作（a、b），如果（a、b）=1、則a和b互質。求幾個數(shù)的最大公約數(shù)可以用分解質因數(shù)和短除法等方法。例題1例題1一張長方形的紙，長7分米5厘米，寬6分米?，F(xiàn)在要把它裁成一塊塊正方形，而且正方形邊長為整厘米數(shù)，有幾種裁法？如果要使裁得的正方形面積最大，可以裁多少塊？分析7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。因為裁成的正方形的邊長必須能同時整除75和60，所以邊長是75和60的公約數(shù)。75和60的公約數(shù)有1、3、5、15，所以有4種裁法。如果要使正方形面積最大，那么邊長也應該最大，應該取75和60的最大公約數(shù)15作為正方形的邊長，所以可以裁（75÷15）×（60÷15）=20塊。挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我1、把1米3分米5厘米長、1米5厘米寬的長方形紙，裁成同樣大小的正方形，至少能裁多少塊？2、一塊長45厘米、寬30厘米的長方形木板，把它鋸成若干塊正方形而無剩余，所鋸成的正方形的邊長最長是多少厘米？3、將一塊長80米、寬60米的長方形土地劃分成面積相等的小正方形，小正方形的面積最大是多少？例題2例題2一個長方體木塊，長2.7米，寬1.8分米，高1.5分米。要把它切成大小相等的正方體木塊，不許有剩余，正方體的棱長最大是多少分米？分析2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。要把長方體切成大小相等的正方體，不許有剩余，正方體的棱長應該是長、寬、高的公約數(shù)?，F(xiàn)要求正方體的棱長最大，所以棱長就是長、寬、高的最大公約數(shù)。（270，18，15）=3、3厘米=0.3分米挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我1、一個長方體木塊的長是4分米5厘米、寬3分米6厘米、高2分米4厘米。要把它切成大小相等的正方體木塊，不許有剩余，求所切正方體木塊的棱長最長是多少厘米？2、有50個梨，75個橘子和100個蘋果，要把這些水果平均分給幾個小組，并且每個小組分得的三種水果的個數(shù)也相同，最多可以分給幾個小組？3、五年級三個班分別有24人、36人、42人參加體育活動，要把他們分成人數(shù)相等的小組，但各班同學不能打亂，最多每組多少人？每班各可以分幾組？例題3例題3有三根鋼管，它們的長度分別是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它們截成同樣長的小段，每小段最長可以是多少厘米？分析要把三根鋼管截成同樣長的小段，每小段的長度數(shù)應該是240、200和480的公約數(shù)，而每小段要取最長，也就是求240、200和480的最大公約數(shù)。240、200和480的最大公約數(shù)是40，所以每小段最長是40厘米。挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我1、有一個長方體木塊，長60厘米、寬40厘米，高24厘米。如果要切成同樣大小的小正方體，這些正方體的棱長最長是多少厘米？2、用一張長1072毫米、寬469毫米的長方形紙，剪成面積相等的正方形，并且最后沒有剩余，這些正方形的邊長最長是多少？3、工人加工了三批零件，每加工一批零件，除了王師傅比其他工人多加工若干個外，其他工人加工的都同樣多。已知他們第一批共加工2100個，其中王師傅比每個工人多加工7個；第二批加工1800個，其中王師傅比每個工人多加工6個；第三批加工1600個，其中王師傅比每個工人多加工13個。這批工人最多有多少人？例題4例題4一條道路由甲村經過乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米?，F(xiàn)在準備在路邊裁樹，要求相鄰兩棵樹之間距離相等，并在甲、乙兩村和乙、丙兩村的中點都要種上樹，求相鄰兩棵樹之間的距離最多是多少米？分析由于甲乙、乙丙的兩村中點各要種上一棵樹，所要要將360÷2=180米、675÷2=337.5米平均分成若干段，并且使每段的長度最長。因為（675、360）=45，而180=360÷2、337.5=675÷2、所以，45÷2=22.5，即相鄰兩棵樹之間距離最多是22.5米。挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我1、一條公路由A經B到C。已知A、B相距300米，B、C相距215米。現(xiàn)在路邊植樹，要求相鄰兩樹間的距離相等，并在B點及AB、BC的中點上都要植一棵，那么兩樹間的距離最多有多少米？2、有336支鉛筆，252塊橡皮，210個文具盒，用這些文具，最多可以分成多少份同樣的禮物？在每份禮物中，鉛筆、橡皮、文具盒各有多少？3、甲數(shù)是36，甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是288，最大公約數(shù)是4，乙數(shù)是多少？例題5例題5用一張長1072毫米、寬469毫米的長方形紙，剪成面積相等的正方形，并且最后沒有剩余，這些正方形的邊長最長是多少？分析前面的例題已經告訴了我們，解決這道題只要求出長方形長和寬的最大公約數(shù)就行了。但是這題中，長和寬的數(shù)比較大，最大公約數(shù)比較難求出，這里再介紹一種求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的方法。第一步：1072÷469，余134；第二步：469÷134，余67；第三步：134÷67，沒有余數(shù)，所以用67毫米為正方形的邊長來剪，正好能剪（1072÷67）×（469÷67）=112個正方形，即這些正方形的邊長最大