中考專題：求平面幾何陰影部分的面積

求陰影部分圖形面積近年來(lái)的中考數(shù)學(xué)試卷中，圍繞圖形面積的知識(shí)，出現(xiàn)了一批考查應(yīng)用與創(chuàng)新能力的新題型，歸納起來(lái)主要有：一、規(guī)律探究型例1宏遠(yuǎn)廣告公司要為某企業(yè)的一種產(chǎn)品設(shè)計(jì)商標(biāo)圖案，給出了如下幾種初步方案，供繼續(xù)設(shè)計(jì)選用（設(shè)圖中圓的半徑均為r）．（1）如圖1，分別以線段O1O2的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，以這條線段的長(zhǎng)為半徑作出兩個(gè)互相交錯(cuò)的圓的圖案，試求兩圓相交部分的面積．（2）如圖2，分別以等邊△O1O2O3的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑，作出三個(gè)兩兩相交的相同的圓，這時(shí)，這三個(gè)圓相交部分的面積又是多少呢？（3）如圖3，分別以正方形O1O2O3O4的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑作四個(gè)相同的圓，則這四個(gè)圓的相交部分的面積又是多少呢？（2005年黃岡市中考題）分析（1）利用“S陰=S菱形AO1BO2=4S弓形”即可；（2）利用“S陰=S△O1O2O3+3S弓”即可；（3）直接求解比較困難，可利用求補(bǔ)法，即“S陰=S正方形O1O2O3O4-S空白”，考慮到四個(gè)圓半徑相同，若延長(zhǎng)O2O1交⊙O1于A，則S空白=4SO1AB，由（1）根據(jù)對(duì)稱性可求SO1BO4，再由“SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4”，這樣S空白解答（1）設(shè)兩圓交于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)O1A，O2A，O1B，O則S陰=S菱形AO1BO2+4S弓．∵S菱形=2S△AO1O2，△O1O2A∴S△AO1O2=r2，S弓=-r2=-r2．∴S陰=2×r2+4（r2-r2）=r2-r2．（2）圖2陰影部分的面積為S陰=S△O1O2O3+3S弓．∵△O1O2O3為正△，邊長(zhǎng)為r．∴S△O1O2O3=r2，S弓=-r2．∴S陰=r2+3（-r2）=r2-r2．（3）延長(zhǎng)O2O1與⊙O1交于點(diǎn)A，設(shè)⊙O1與⊙O4交于點(diǎn)B，由（1）知，SO1BO4=（r2-r2）．∵SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4=-（r2=r2）=-r2+r2．則S陰=S正方形O1O2O3O4-4SO1AB=r2-4（-r2+r2）=r2+r2-r2=（+1-）r2．二、方案設(shè)計(jì)型例2在一塊長(zhǎng)16m，寬12m的矩形荒地上，要建造一個(gè)花園，要求花園所占面積為荒地面積的一半．下面分別是小明和小穎的設(shè)計(jì)方案．小明的設(shè)計(jì)方案：如圖1，其中花園四周小路的寬度相等，經(jīng)過(guò)解方程，我得到路的寬為2m或12m．小穎的設(shè)計(jì)方案：如圖2，其中花園中每個(gè)角上的扇形都相同．（1）你認(rèn)為小明的結(jié)果對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）請(qǐng)你幫助小穎求出圖中的x（精確到0．1m）（3）你還有其它的設(shè)計(jì)方案嗎？請(qǐng)?jiān)谟疫叺木匦沃挟嫵瞿愕脑O(shè)計(jì)草圖，并加以說(shuō)明．（2004年新疆建設(shè)兵團(tuán)中考題）分析（1）由小明的設(shè)計(jì)知，小路的寬應(yīng)小于矩形荒地寬的一半，由此判斷即可；（2）可由“花園面積為矩形面積一半”列方程求x；（3）可由圖形對(duì)稱性來(lái)設(shè)計(jì)．解（1）小明的結(jié)果不對(duì)．設(shè)小路寬xm，則得方程（16-2x）（12-2x）=×16×12解得：x1=2，x2=12．而荒地的寬為12m，若小路寬為12m，不符合實(shí)際情況，故x2=12m不合題意．（2）由題意，4×=×16×12x2=，x≈5.5m．（3）方案有多種，下面提供5種供參考：三、網(wǎng)格求值型例3圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形．（1）直接寫出單位正三角形的高與面積；（2）圖1中的ABCD含有多少個(gè)單位正三角形？ABCD的面積是多少？（3）求出圖1中線段AC的長(zhǎng)（可作輔助線）；（4）求出圖2中四邊形EFGH的面積．（2005年吉林省中考題）分析（1）由正三角形邊角關(guān)系來(lái)求；（2）仔細(xì)觀察圖1便可找到答案；（3）考慮到圖1中AB=3，BC=4，∠B=60°，可作△ABC的高AK，構(gòu)造直角三角形，再利用解直角三角形知識(shí)即可求得；（4）可利用網(wǎng)格構(gòu)造特殊格點(diǎn)圖形，再由求補(bǔ)法計(jì)算四邊形EFGH面積．解：（1）單位正三角形的角為，面積為，（2）ABCD含有24個(gè)單位正三角形，故其面積為24×=6．（3）如圖1，過(guò)A作AK⊥BC于K，在Rt△ACK中，AK=，KC=．∴AC===．（4）如圖3，構(gòu)造EQSR，過(guò)F作FT⊥QG于T，則S△FQG=FT·QG=××4=3．同理可求S△GSH=，S△EHR=6，SEQSR=18．∴S四邊形EFGH=SEQSR-S△FQG-S△GSH-S△EHR=18-3--6=8．四、圖形對(duì)稱型例4如圖，半圓A和半圓B均與y軸相切于點(diǎn)O，其直徑CD、EF均和x軸垂直，以O(shè)為頂點(diǎn)的兩條拋物線分別經(jīng)過(guò)C、E和D、F，則圖中陰影部分的面積是_________．（2005年河南省中考題）分析由題意知，圖中兩半圓和兩拋物線組成的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，故y軸左側(cè)陰影部分面積等于半圓B中的空白面積，所以所求陰影部分面積為半圓B的面積，即S陰=·12=．解答：．五、圖形變換型例5如圖，矩形ABCD的長(zhǎng)與寬分別是2cm和1cm，AB在直線L上，依次為B、C′、D″，依次為B、C′、D″為中心將矩形ABCD按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°．這樣點(diǎn)A走過(guò)的曲線依次為、、，其中交CD于點(diǎn)P．（1）求矩形A′BC′D′的對(duì)角線A′C′的長(zhǎng)；（2）求的長(zhǎng)；（3）求圖中部分的面積S；（4）求圖中部分的面積T．（2005年吉林省中考題）分析（1）要求A′C′，因長(zhǎng)寬分別為2和1，利用勾股定理即可；（2）要求，因所對(duì)圓心角為∠ABA′=90°，半徑AB=2，利用弧長(zhǎng)公式即可；（3）因△A′C′D′≌△A″C′D″，故S=S扇形A`C``A``；（4）連PB，則PB=AB=2，又BC=1，故∠PBC=60°，∠ABP=30°，欲求T，由“T=S扇形ABP+S△BCP”即可．解答（1）A′C′==（cm）．（2）=×2=（cm）．（3）S=S扇形A`CA``==（cm）（4）連結(jié)BP，在Rt△BCP中，BC=1，BP=2，∴∠BPC=30°，CP=，∴∠ABP=30°，∴T=S扇形ABP+S△PBC=×22+=（+）cm2．六、實(shí)際應(yīng)用型例6在栽植農(nóng)作物時(shí)，一個(gè)很重要的問(wèn)題是“合理密植”．如圖是栽植一種蔬菜時(shí)的兩種方法，A、B、C、D四珠順次連結(jié)成為一個(gè)菱形，且AB=BD；A′、B′、C′、D′四株連結(jié)成一個(gè)正方形，這兩種圖形的面積為四株作物所占的面積，兩行作物間的距離為行距；一行中相鄰兩株作物的距離為株距；設(shè)這兩種蔬菜充分生長(zhǎng)后，每株在地面上的影子近似成一個(gè)圓面（相鄰兩圓如圖相切），其中陰影部分的面積表示生長(zhǎng)后空隙地面積．在株距都為a，其他客觀因素也相同的條件下，請(qǐng)從栽植的行距，蔬菜所占的面積，充分生長(zhǎng)后空隙地面積三個(gè)方面比較兩種栽植方法．哪種方法能更充分地利用土地．分析：本題立意很新，要合理密植，充分利用土地，只需分別計(jì)算并比較兩種方案的行距、陰影面積以及S和S．對(duì)應(yīng)值小的即為合理密植．解連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O．在菱形ABCD中，有AB=AD，AC⊥BD，BO=BD．∵AB=BD=a，∴BO=OD=a．在Rt△AOD中，AO==a．∴S菱形ABCD=2×BD·AO=a2，S正方形A`B`C`D`=a2．設(shè)方法（1）中空隙地面積為S1，方法（2）中空隙地面積為S2．則S1=S菱形ABCD-S☉A=a2-a2，S2=S正方形A`B`C`D`-S☉A`=a2-a2．∵<1，∴AO<A′B′，S菱形ABCD<S正方形A`B`C`D`，S1<S2．∴栽植方法（1）比栽植方法（2）能更充分地利用土地．運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想巧求陰影面積“轉(zhuǎn)化思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種重要的數(shù)學(xué)思想,將未知轉(zhuǎn)化為已知,將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單,.通過(guò)轉(zhuǎn)化,會(huì)使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn),化難為易,思路清淅,演算簡(jiǎn)單.而在求與圓有關(guān)的陰影部分的面積時(shí),通常是將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為圓、扇形、三角形面積的和或差.現(xiàn)就2008年中考題精選幾例解析如下，供同學(xué)們參考：例1(2008廣西桂林)兩同心圓，大圓半徑為３，小圓半徑為１，則陰影部分面積為分析本例涉及到同心圓的概念、圓環(huán)面積的計(jì)算方法.求出圓環(huán)的面積，即大圓的面積減去小圓的面積，.將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為圓環(huán)面積的一半.解ABC例2(2008湖北孝感)中，，，，ABC兩等圓⊙A,⊙B外切，那么圖中兩個(gè)扇形（即陰影部分）的面積之和為（）A． B． C． D．分析此例綜合考查了圓、扇形面積、勾股定理的知識(shí)以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.由勾股定理可求得AB=10，則兩圓的半徑為5，∠A+∠B=900,從而陰影部分的面積可轉(zhuǎn)化為半徑為5,圓心角為90°的扇形的面積.解A例3(2008四川自貢)如圖所示，草地上一根長(zhǎng)5米的繩子，一端拴在墻角的木樁上，另一端栓著一只小羊R.那么，小羊在草地上的最大活動(dòng)區(qū)域的面積是（）A．B．C．D．分析小羊在草地上的最大活動(dòng)區(qū)域的面積可轉(zhuǎn)化為1個(gè)半徑為5米,圓心角為90°的扇形半徑為1米,圓心角為90°的扇形的面積之和(即圖中)陰影部分的面積).解B例4(2008廣西南寧)如圖，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分別以AB、BC、AC為直徑作三個(gè)半圓，那么陰影部分的面積為（平方單位）分析陰影部分的面積可轉(zhuǎn)化成以AC、BC為直徑的兩個(gè)半圓的面積加上Rt△ABC的面積再減去以AB為直徑的半圓的面積，即====解24點(diǎn)評(píng)由勾股定理可得例5(2008吉林長(zhǎng)春)如圖，在△ABC中，BC=4，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的⊙A與BC相切于點(diǎn)D，交AB于E，交AC于F，點(diǎn)P是⊙A上一點(diǎn)，且∠EPF=40°，則圖中陰影部分的面積是()A．B．C．D．分析∠EPF=40°，則∠EAF=80°，連AD,則AD⊥BC,且AD=2陰影部分的面積可轉(zhuǎn)化為△ABC與扇形AEF的面積之差.解BCCBAOFDE例6(2008江西