MATLAB在求二階系統(tǒng)中階躍響應(yīng)的分析及應(yīng)用

摘要二階系統(tǒng)控制系統(tǒng)按數(shù)學(xué)模型分類時(shí)的一種形式，是用數(shù)學(xué)模型可表示為二階線性常微分方程的系統(tǒng)。二階系統(tǒng)的解的形式，可由對(duì)應(yīng)傳遞函數(shù)W(s)的分母多項(xiàng)式P(s)來(lái)判別和劃分，P(s)的一般形式為變換算子s的二次三項(xiàng)代數(shù)式。代數(shù)方程P(s)=0的根，可能出現(xiàn)四種情況。1.兩個(gè)實(shí)根的情況，對(duì)應(yīng)于兩個(gè)串聯(lián)的一階系統(tǒng)。如果兩個(gè)根都是負(fù)值，就為非周期性收斂的穩(wěn)定情況。2.當(dāng)a1＝0，a2>0，即一對(duì)共軛虛根的情況,將引起頻率固定的等幅振蕩，是系統(tǒng)不穩(wěn)定的一種表現(xiàn)。3.當(dāng)a1<0，a1-4a2<0，即共軛復(fù)根有正實(shí)部的情況，對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)中發(fā)生發(fā)散型的振蕩,也是不穩(wěn)定的一種表現(xiàn)。4.當(dāng)a1>0，a1-4a2<0，即共軛復(fù)根有負(fù)實(shí)部的情況，對(duì)應(yīng)于收斂型振蕩，且實(shí)部和虛部的數(shù)值比例對(duì)輸出過(guò)程有很大的影響。一般以阻尼系數(shù)ζ來(lái)表征，取在0.4~0.8之間為宜。當(dāng)ζ>0.8后，振蕩的作用就不顯著，輸出的速度也比較慢。而ζ<0.4時(shí)，輸出量就帶有明顯的振蕩和較大的超調(diào)量，衰減也較慢，這也是控制系統(tǒng)中所不希望的。當(dāng)激勵(lì)為單位階躍函數(shù)時(shí)，電路的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡(jiǎn)稱階躍響應(yīng)。階躍響應(yīng)g(t)定義為：系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)u(t)的激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。關(guān)鍵詞：二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)MATLAB/SimulinkMATLAB在求二階系統(tǒng)中階躍響應(yīng)的分析及應(yīng)用1訓(xùn)練目的和要求通過(guò)對(duì)MATLAB仿真軟件的語(yǔ)言的學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)在MATLAB中解決《電路原理》、《模擬電子技術(shù)基礎(chǔ)》、《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)》等所學(xué)課本上的問(wèn)題，進(jìn)一步熟悉并掌握MATLAB在電路、信號(hào)與系統(tǒng)、自動(dòng)控制原理、數(shù)字信號(hào)處理等中的應(yīng)用。通過(guò)對(duì)軟件的應(yīng)用，鞏固已學(xué)知識(shí)。以求達(dá)到通過(guò)訓(xùn)練能熟練掌握MATLAB的應(yīng)用，能夠深入到實(shí)際問(wèn)題中。要求通過(guò)理論分析所要求題目并通過(guò)MATLAB仿真比較實(shí)驗(yàn)結(jié)果。2理論分析計(jì)算已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，求其階躍響應(yīng)。并分析變化時(shí)，其階躍響應(yīng)的變化情況。本題要求求解一個(gè)簡(jiǎn)單的二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的階躍響應(yīng)，研究二階系統(tǒng)的特征參數(shù)，當(dāng)無(wú)阻尼自然頻率為1時(shí)阻尼比對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響。了解一下基礎(chǔ)知識(shí)后就可以很自然的解決題目了，我們可以對(duì)二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)進(jìn)行分析后對(duì)無(wú)阻尼自然頻率賦值1來(lái)求解。然后再用MATLAB仿真。二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式：其中，T—為時(shí)間常數(shù)，也稱為無(wú)阻尼自由振蕩周期—自然頻率（或無(wú)阻尼振蕩周期） ζ－阻尼比（相對(duì)阻尼系數(shù)）二階系統(tǒng)的特征方程：特征根為：由題目可知，=1，ζ為一參數(shù)，因此對(duì)于ζ的取值進(jìn)行分類說(shuō)明(1)欠阻尼0<ζ<1將=1帶入，可得到阻尼比在此區(qū)間內(nèi)時(shí)的階躍響應(yīng)。（2）臨界阻尼ζ=1臨界阻尼情況下的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)稱為臨界阻尼響應(yīng)將=1帶入，可得到阻尼比在此區(qū)間內(nèi)時(shí)的階躍響應(yīng)。特點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)上升，無(wú)振蕩，無(wú)超調(diào)，趨近于1，無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。(3)過(guò)阻尼ζ>1 將=1帶入，可得到阻尼比在此區(qū)間內(nèi)時(shí)的階躍響應(yīng)。特點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)上升，無(wú)振蕩，過(guò)度過(guò)程時(shí)間長(zhǎng)，趨近于1，無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。（4）無(wú)阻尼狀態(tài)ζ=0系統(tǒng)有一對(duì)共軛虛根系統(tǒng)在無(wú)阻尼下的單位階躍響應(yīng)為：結(jié)論：二階系統(tǒng)的阻尼比ξ決定了其振蕩特性 ζ<0時(shí)，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；ζ≥1時(shí)，無(wú)振蕩、無(wú)超調(diào)，過(guò)渡過(guò)程長(zhǎng)；0<ζ<1時(shí)，有振蕩，ξ愈小，振蕩愈嚴(yán)重,但響應(yīng)愈快；ζ=0時(shí)，出現(xiàn)等幅振蕩。3MATLAB仿真根據(jù)以上理論分析，用MATLAB編程分析?？梢杂脙煞N方法求解。3.1程序一（用函數(shù)來(lái)求解）由傳遞函數(shù)與階躍響應(yīng)的關(guān)系，編程如下：symss %定義系統(tǒng)參數(shù)ssymsx %定義阻尼比xilaplace((1/(s^3+2*x*s^2+s))) %拉普拉斯逆變換函數(shù)求解ans=1-(cosh(t*(x^2-1)^(1/2))+(x*sinh(t*(x^2-1)^(1/2)))/(x^2-1)^(1/2))/exp(t*x) %帶有阻尼比參數(shù)的階躍響應(yīng)3.2程序二（使用內(nèi)置函數(shù)step）kosai=[0.1:0.1:1.0,2.0];figure(1)holdonfori=kosainum=1;den=[1,2*i,1];step(num,den)endtitle('TheStepResponseofTwoOrderSystem');holdoff結(jié)果如圖3-1所示：圖3-1二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)階躍響應(yīng)4Simulink仿真4.1Simulink簡(jiǎn)介Simulink是MATLAB中的一種可視化仿真工具，是一種基于MATLAB的框圖設(shè)計(jì)環(huán)境，是實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析的一個(gè)軟件包，被廣泛應(yīng)用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、數(shù)字控制及數(shù)字信號(hào)處理的建模和仿真中。Simulink可以用連續(xù)采樣時(shí)間、離散采樣時(shí)間或兩種混合的采樣時(shí)間進(jìn)行建模，它也支持多速率系統(tǒng)，也就是系統(tǒng)中的不同部分具有不同的采樣速率。為了創(chuàng)建動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型，Simulink提供了一個(gè)建立模型方塊圖的圖形用戶接口(GUI)，這個(gè)創(chuàng)建過(guò)程只需單擊和拖動(dòng)鼠標(biāo)操作就能完成，它提供了一種更快捷、直接明了的方式，而且用戶可以立即看到系統(tǒng)的仿真結(jié)果。4.2仿真過(guò)程1.根據(jù)實(shí)驗(yàn)選擇好仿真元件，設(shè)置仿真參數(shù)和選擇解法器2.運(yùn)行仿真3.仿真結(jié)果分析建立仿真界面如圖，輸入幾個(gè)函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。圖4-1ζ=0.1時(shí)仿真圖圖4-2ζ=0.1時(shí)仿真結(jié)果對(duì)ζ取不同值進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果如下：圖4-3ζ=0.3時(shí)仿真結(jié)果圖4-4ζ=1時(shí)仿真結(jié)果圖4-5ζ=0.1時(shí)仿真結(jié)果分析比較可知以上幾種方法結(jié)果一樣。5小結(jié)通過(guò)本次強(qiáng)化訓(xùn)練，我基本了解并掌握了MATLAB在電路原理中的應(yīng)用，知道了如何在MATLAB以及simulink里面處理分析電路方面的問(wèn)題，對(duì)待電子方面知識(shí)學(xué)習(xí)我又了解了一個(gè)強(qiáng)有力的仿真工具，對(duì)以后也會(huì)有很大的幫助。通過(guò)本次實(shí)驗(yàn)了解到，MATLAB是矩陣實(shí)驗(yàn)室（MatrixLaboratory）的簡(jiǎn)稱，是美國(guó)MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語(yǔ)言和交互式環(huán)境，主要包括MATLAB和Simulink兩大部分。MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB來(lái)解算問(wèn)題要比用C，F(xiàn)ORTRAN等語(yǔ)言完成相同的事情簡(jiǎn)捷得多，并且mathwork也吸收了像Maple等軟件的優(yōu)點(diǎn),使MATLAB成為一個(gè)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件。在新的版本中也加入了對(duì)C，F(xiàn)ORTRAN，C++，JAVA的支持?？梢灾苯诱{(diào)用,用戶也可以將自己編寫的實(shí)用程序?qū)氲組ATLAB函數(shù)庫(kù)中方便自己以后調(diào)用。應(yīng)用到自動(dòng)控制方面也很方便。通過(guò)MATLAB在電路原理二階系統(tǒng)求階躍響應(yīng)的分析實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，不僅了解到了MATLAB強(qiáng)大的功能，而且分析起來(lái)非常方便，各種參數(shù)調(diào)整起來(lái)很簡(jiǎn)潔，生成圖像后分析結(jié)果一目了然?？梢苑浅Ｖ庇^的比較分析隨阻尼比參數(shù)變化節(jié)約相應(yīng)的變化，比較可以得出工程中適合的阻尼比范圍。對(duì)以后的學(xué)習(xí)以及工程中的可能應(yīng)用打下了基礎(chǔ)。這次實(shí)驗(yàn)后，深深的被MATLAB強(qiáng)大的計(jì)算分析仿真功能所吸引，決心以后要更加深入的了解并且掌握與運(yùn)用它來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題?？傊芤娣藴\。參考文獻(xiàn)[1]陳曉平等.MATLAB在電路與信號(hào)及控制理論中的應(yīng)用.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社.200