《數(shù)值分析》課程設(shè)計報告

課程設(shè)計報告課程設(shè)計題目：牛頓迭代法求解非線性方程組學(xué)生姓名：專業(yè)：班級：指導(dǎo)教師：題目：在化學(xué)工程中常常研究在一個封閉系統(tǒng)中同時進行的兩種可逆反應(yīng)其中A，B，C和D代表不同的物質(zhì)。反應(yīng)達到平衡是有如下的平衡關(guān)系：其中稱為平衡常數(shù)，代表平衡狀態(tài)時該物質(zhì)的濃度。假定反應(yīng)開始時各種物質(zhì)的濃度為：而且反應(yīng)達到平衡時，由第一和第二種反應(yīng)生成的C物質(zhì)濃度分別為，于是平衡時滿足的方程為：用數(shù)值方法求解上述方程。所涉及的知識——非線性方程組解法。一、摘要在matlab環(huán)境下運用編程語言通過牛頓迭代法求解非線性方程組的理論基礎(chǔ)對非線性方程組求根，編寫牛頓迭代法的程序，在運行完程序后對運行結(jié)果做出各方面的分析和比較，最后對此方法做出評估。二、設(shè)計目的用Matlab7.1軟件求出二元非線性方程組；了解如何用牛頓迭代法求解非線性方程組；掌握牛頓迭代法求解非線性方程組的原理；提高我們運用數(shù)學(xué)軟件編程解決問題的能力。三、理論基礎(chǔ)牛頓迭代法：非線性方程組寫成向量形式F（x）=0,這里，。求解問題，即是求，使?jié)M足F()=0，為了求F(x)=0的解，等價形式為，其中，的不動點，就是F(x)=0的解。適當(dāng)選取初始向量，作迭代，若的每個分量對變量是連續(xù)的，則當(dāng)｛｝收斂時，其極限就是的不動點。取，那么當(dāng)為非奇異矩陣，則與F(x)=0等價。當(dāng)取A(x)=A，detA0時，迭代。若充分接近，則迭代收斂于。取，其中為F(x)的Jacobi矩陣。此時，F(xiàn)(x)=0的等價形式為，而在F(x)=0的解x=處，有=0，只要充分接近，迭代收斂于，上述迭代式稱為牛頓迭代法。四、程序代碼及運算結(jié)果程序代碼：Jacobi矩陣：symsx1x2;y1=0.0004*(50-2*x1)^2*(20-x1)-5-x1-x2;y2=0.037*(50-x2)*(10-x2)-5-x2-x1;y=[diff(y1,x1)diff(y1,x2);diff(y2,x1)diff(y2,x2)]運行結(jié)果：y=[-1/625*(50-2*x1)*(20-x1)-1/2500*(50-2*x1)^2-1,-1][-1,-161/50+37/500*x2]主程序代碼：functiony=fc(x)y(1)=0.0004*(50-2*x(1))^2*(20-x(1))-5-x(1)-x(2);y(2)=0.037*(50-x(2))*(10-x(2))-5-x(2)-x(1);y=[y(1)y(2)];functiony=df2(x)y=[-1/625*(50-2*x(1))*(20-x(1))-1/2500*(50-2*x(1))^2-1-1;-1-161/50+37/500*x(2)];symsx1;x0=[12]x1=x0-fc(x0)*inv(df2(x0));n=1;while(norm(x1-x0)>=1.0e-4)&&(n<=1000)x0=x1;x1=x0-fc(x0)*inv(df2(x0));n=n+1;endx1n運行結(jié)果：x1=3.68973.1615n=1x0=33x1=3.68973.1615n=3x0=12x1=3.68973.1615n=4用Matlab內(nèi)部函數(shù)編寫程序：functionf=group(x)f=[0.0016*x(1)^3-0.112*x(1)^2+3.6*x(1)+x(2)-15;0.037*x(2)^2-3.22*x(2)-x(1)+13.5];[x,fval]=fsolve('group',[22])運行結(jié)果：x=3.68973.1615fval=1.0e-009*-0.12190.0045用Matlab畫出非線性方程組解的圖形：ezplot('0.0004*(50-2*x1)^2*(20-x1)-5-x1-x2')holdonezplot('0.037*(50-x2)*(10-x2)-5-x2-x1')text(0,-2,'0.0004*(50-2*x1)^2*(20-x1)-5-x1-x2')text(-4,4,'0.037*(50-x2)*(10-x2)-5-x2-x1')title('非線性方程組的解')運行結(jié)果：圖1非線性方程組解的圖形五、結(jié)果分析根據(jù)牛頓迭代法求非線性方程組的原理將所求的非線性方程組先化為一般的標準形式，求出它的Jacobi矩陣，然后再用牛頓迭代公式計算出我們所要求的函數(shù)值。牛頓迭代法是求解非線性方程組的一個重要的方法之一，其最大的有點是收斂速度快，具有平方收斂，常常能快速的求出其他方法求不出或很難求出的解。根據(jù)本文的分析，利用牛頓迭代法求解非線性方程組，代入接近精確解的初值，其每次收斂到精確解的次數(shù)都很少，可見其收斂速度較快。使用牛頓迭代法時要計算它的Jacobi矩陣，顯然有時候工作量會很大，并且要求它的Jacobi矩陣非奇異，如果奇異或者病態(tài)，會導(dǎo)致解非線性方程組失敗或產(chǎn)生的數(shù)值不穩(wěn)定。對于本文用的牛頓迭代法求解非線性方程組的過程，其迭代次數(shù)少，所求出的結(jié)果誤差也比較小。六、設(shè)計心得七、參考文獻[1]孫祥，徐流美，吳清.Matlabl7.0基礎(chǔ)教程[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.[2]奚梅成.數(shù)值分析方法.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2003.[3]丁麗娟，程杞元.數(shù)值計算方法[M].北京：北