中考相似三角形專題

中考中的相似三角形第一部分知識梳理一、相似的性質(zhì)1、對應(yīng)角相等，對應(yīng)變成比例2、對應(yīng)邊上的中線、高之比，對應(yīng)角平分線之比等于相似比3、周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方。二、相似三角形的鑒定1、平行于三角形一邊的直線，截三角形兩邊或延長線，所得三角形與原三角形相似2、兩角對應(yīng)性等的兩三角形相似3、兩邊對應(yīng)成比例，且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似4、三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似第二部分中考鏈接一、相似三角形的性質(zhì)1．（?重慶）制作一塊3m×2m長方形廣告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相似的狀況下，若將此廣告牌的四邊都擴大為原來的3倍，那么擴大后長方形廣告牌的成本是（）A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元2．（?玉林）兩三角形的相似比是2：3，則其面積之比是（）A．： B．2：3 C．4：9 D．8：273．（?重慶）要制作兩個形狀相似的三角形框架，其中一種三角形的三邊長分別為5cm，6cm和9cm，另一種三角形的最短邊長為2.5cm，則它的最長邊為（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm4．（?內(nèi)江）已知△ABC與△A1B1C1相似，且相似比為1：3，則△ABC與△A1B1C1的面積比為（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：95．（?銅仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比為2，且△ABC的面積為16，則△DEF的面積為（）A．32 B．8 C．4 D．166．（?重慶）已知△ABC∽△DEF，且相似比為1：2，則△ABC與△DEF的面積比為（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：17．（?廣東）在△ABC中，點D、E分別為邊AB、AC的中點，則△ADE與△ABC的面積之比為（）A． B． C． D．8．（?自貢）如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若△ADE的面積為4，則△ABC的面積為（）A．8 B．12 C．14 D．168題圖 11題圖 12題圖9．（?常州）若△ABC～△A′B'C′，相似比為1∶2，則△ABC與△A'B′C'的周長的比為()A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶410．（?蘭州）已知△ABC∽△A'B'C'，AB=8，A'B'=6，則=（）A．2B． C．3D．11．（?重慶）如圖，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，則AB的長是（）A．2 B．3C．4 D．512．（?常德）如圖，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，圖中全部三角形均相似，其中最小的三角形面積為1，△ABC的面積為42，則四邊形DBCE的面積是（）A．20 B．22 C．24 D．26二、相似三角形的鑒定（一）運用平行線證三角形相似1．（?棗莊）如圖，在矩形ABCD中，點E是邊BC的中點，AE⊥BD，垂足為F，則tan∠BDE的值是（）A． B．C． D．1題圖 2題圖 3題圖2．（?棗莊）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F．若AC=3，AB=5，則CE的長為（）A． B． C．D．3．（?東營）如圖所示，已知△ABC中，BC=12，BC邊上的高h=6，D為BC上一點，EF∥BC，交AB于點E，交AC于點F，設(shè)點E到邊BC的距離為x．則△DEF的面積y有關(guān)x的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．4．（?崇明縣一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊DC上，DE：EC=3：1，連接AE交BD于點F，則△DEF的面積與△BAF的面積之比為（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：14題圖 5題圖 6題圖 7題圖5．（?隨州）如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成面積相等的兩部分，則的值為（）A．1 B． C．1 D．6．（?哈爾濱）如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，連接AD，點G在線段AD上，GE∥BD，且交AB于點E，GF∥AC，且交CD于點F，則下列結(jié)論一定對的的是（）A．= B．= C．= D．=7．（?遵義）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，連接AC、BD，以BD為直徑的圓交AC于點E．若DE=3，則AD的長為（）A．5 B．4C．3D．28．（?貴港）如圖，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四邊形BCFE=16，則S△ABC=（）A．16 B．18 C．20 D．248題圖 9題圖 10題圖 11題圖9．（?瀘州）如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點G，若AE=3ED，DF=CF，則的值是（）A． B． C． D．10．（?臨安區(qū)）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別與AB，AC相交于點D，E，若AD=4，DB=2，則DE：BC的值為（）A． B． C． D．11、（?恩施州）如圖所示，在正方形ABCD中，G為CD邊中點，連接AG并延長交BC邊的延長線于E點，對角線BD交AG于F點．已知FG=2，則線段AE的長度為（）A．6 B．8 C．10 D．1212．（?香坊區(qū)）如圖，點D、E、F分別是△ABC的邊AB、AC、BC上的點，若DE∥BC，EF∥AB，則下列比例式一定成立的是（）A．= B．= C．= D．=13．（?荊門）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E、F為CD邊的兩個三等分點，連接AF、BE交于點G，則S△EFG：S△ABG=（）A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：112題圖 13題圖 14題圖 15題圖14．（?達州）如圖，E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點，AE=CF=AC．連接DE，DF并延長，分別交AB，BC于點G，H，連接GH，則的值為（）A． B． C． D．115．（?臨沂）如圖．運用標桿BE測量建筑物的高度．已知標桿BE高1.2m，測得AB=1.6m．BC=12.4m．則建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m16．（?杭州）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB和AC上，DE∥BC，M為BC邊上一點（不與點B，C重疊），連接AM交DE于點N，則（）A． B．C． D．16題圖17題圖 18題圖 19題圖17．（?涼山州）如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中點，連接AO并延長交BC于E，則BE∶EC=（）A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶318．（?玉林）如圖，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF與AC交于點G，則是相似三角形共有（）A．3對 B．5對 C．6對 D．8對19．（?濟寧）如圖，點A是反比例函數(shù)y=（x＞0）圖象上一點，直線y=kx+b過點A并且與兩坐標軸分別交于點B，C，過點A作AD⊥x軸，垂足為D，連接DC，若△BOC的面積是4，則△DOC的面積是．20．（?邵陽）如圖所示，點E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點，連接AE，交CD于點F，連接BF．寫出圖中任意一對相似三角形：．20題圖21題圖22題圖 23題圖 24題圖21．（?北京）如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點，連接DE交對角線AC于點F，若AB=4，AD=3，則CF的長為．22．（?包頭）如圖，在?ABCD中，AC是一條對角線，EF∥BC，且EF與AB相交于點E，與AC相交于點F，3AE=2EB，連接DF．若S△AEF=1，則S△ADF的值為．23．（?資陽）已知：如圖，△ABC的面積為12，點D、E分別是邊AB、AC的中點，則四邊形BCED的面積為．24．（?淮安）如圖，l1∥l2∥l3，直線a、b與l1、l2、l3分別相交于點A、B、C和點D、E、F．若AB=3，DE=2，BC=6，則EF=__________25．（鎮(zhèn)江）如圖1，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，點P在邊AD上運動，以P為圓心，PA為半徑的⊙P與對角線AC交于A，E兩點．（1）如圖2，當⊙P與邊CD相切于點F時，求AP的長；（2）不難發(fā)現(xiàn)，當⊙P與邊CD相切時，⊙P與平行四邊形ABCD的邊有三個公共點，隨著AP的變化，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數(shù)也在變化，若公共點的個數(shù)為4，直接寫出相對應(yīng)的AP的值的取值范疇．27．（?菏澤）如圖，BC是⊙O的直徑，CE是⊙O的弦，過點E作⊙O的切線，交CB的延長線于點G，過點B作BF⊥GE于點F，交CE的延長線于點A．（1）求證：∠ABG＝2∠C；（2）若GF＝3，GB＝6，求⊙O的半徑．（二）兩角對應(yīng)相等兩三角形相似1．（?聊城）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OA，OC分別在x軸和y軸上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使點A正好落在BC邊上的A1處，則點C的對應(yīng)點C1的坐標為（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）2．（?永州）如圖，在△ABC中，點D是邊AB上的一點，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，則邊AC的長為（）A．2 B．4 C．6 D．81題圖 2題圖 3題圖 4題圖3．（?淄博）如圖，在△ABC中，AC=2，BC=4，D為BC邊上的一點，且∠CAD=∠B．若△ADC的面積為a，則△ABD的面積為（）A．2a B．a(chǎn) C．3a D．a(chǎn)4．（?赤峰）如圖，D、E分別是△ABC邊AB，AC上的點，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，則AE的長是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（濱州）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點E、F分別在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，則AF的長為．5題圖． 6題圖7題圖 8題圖6.(鹽城)如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分別為邊BC、AB上的兩個動點，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，則AQ=________．7．（?南京）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線MN交AB于點D，CD平分∠ACB．若AD=2，BD=3，則AC的長__________．8．（?宜賓）如圖，已知直角△ABC中，CD是斜邊AB上的高，AC=4，BC=3，則AD=__________．9．（?濟寧）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，連接DF，過點E作EH⊥DF，垂足為H，EH的延長線交DC于點G．（1）猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）過點H作MN∥CD，分別交AD，BC于點M，N，若正方形ABCD的邊長為10，點P是MN上一點，求△PDC周長的最小值．10．（?杭州）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的中線，DE⊥AB于點E．（1）求證：△BDE∽△CAD．（2）若AB=13，BC=10，求線段DE的長．11．（鎮(zhèn)江）如圖，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與x軸，y軸分別交于A（﹣9，0），B（0，6）兩點，過點C（2，0）作直線l與BC垂直，點E在直線l位于x軸上方的部分．（1）求一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的體現(xiàn)式；（2）若△ACE的面積為11，求點E的坐標；（3）當∠CBE=∠ABO時，點E的坐標為．12．（?濱州）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，AD⊥CD于點D，且AC平分∠DAB，求證：（1）直線DC是⊙O的切線；（2）AC2=2AD?AO．13．（日照）如圖所示，⊙O的半徑為4，點A是⊙O上一點，直線l過點A；P是⊙O上的一種動點（不與點A重疊），過點P作PB⊥l于點B，交⊙O于點E，直徑PD延長線交直線l于點F，點A是的中點．（1）求證：直線l是⊙O的切線；（2）若PA=6，求PB的長．14．（?東營）如圖，CD是⊙O的切線，點C在直徑AB的延長線上．（1）求證：∠CAD=∠BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的長．15.（黃岡）如圖，AD是⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，OP⊥AD，OP與AB的延長線交于點P，過B點的切線交OP于點C.（1）求證：∠CBP=∠ADB.（2）若OA=2，AB=1，求線段BP的長.16．（?張家界）如圖，點P是⊙O的直徑AB延長線上一點，且AB=4，點M為上一種動點（不與A，B重疊），射線PM與⊙O交于點N（不與M重疊）（1）當M在什么位置時，△MAB的面積最大，并求岀這個最大值；（2）求證：△PAN∽△PMB．17、（?淄博）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，點E在AC上，以AE為直徑的⊙O通過點D．（1）求證：①BC是⊙O的切線；②CD2＝CE?CA；（2）若點F是劣弧AD的中點，且CE＝3，試求陰影部分的面積．18、（?濟寧）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，D是的中點，E為OD延長線上一點，且∠CAE＝2∠C，AC與BD交于點H，與OE交于點F．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）若DH＝9，tanC＝，求直徑AB的長．19．（?濱州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為點F．（1）求證：直線DF是⊙O的切線；（2）求證：BC2＝4CF?AC；（3）若⊙O的半徑為4，∠CDF＝15°，求陰影部分的面積．20．（?聊城）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，作OD⊥AB交AC于點D，延長BC，OD交于點F，過點C作⊙O的切線CE，交OF于點E．（1）求證：EC＝ED；（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的長．（三）、三邊對應(yīng)成比例1．（?臨安區(qū)）如圖，小正方形的邊長均為1，則下圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．2．（?連云港）在如圖所示的象棋盤（各個小正方形的邊長均相等）中，根據(jù)“馬走日”的規(guī)則，“馬”應(yīng)落在下列哪個位置處，能使“馬”、“車”、“炮”所在位置的格點構(gòu)成的三角形與“帥”、“相”、“兵”所在位置的格點構(gòu)成的三角形相似（）A．①處 B．②處 C．③處 D．④處（四）、兩邊成比例，夾角相等1、（徐州）如圖，AB為⊙O的直徑，AB=4，C為半圓AB的中點，P為上一動點，延長BP至點Q，使BP?BQ=AB2．若點P由A運動到C，則點Q運動的途徑長為．2．（宿遷）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的圖象與x軸交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點D，過其頂點C作直線CP⊥x軸，垂足為點P，連接AD、BC．（1）求點A、B、D的坐標；（2）若△AOD與△BPC相似，求a的值；（3）點D、O、C、B能否在同一種圓上？若能，求出a的值；若不能，請闡明理由．三、相似三角形的應(yīng)用1．（?長春）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書于約一千五百年前，其中有首歌謠：今有竿不知其長，量得影長一丈五尺，立一標桿，長一尺五寸，影長五寸，問竿長幾何？意即：有一根竹竿不懂得有多長，量出它在太陽下的影子長一丈五尺，同時立一根一尺五寸的小標桿，它的影長五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），則竹竿的長為（）A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺2．（?紹興）學(xué)校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置BD繞O點旋轉(zhuǎn)到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為（）A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m1題圖 2題圖 3題圖 4題圖 5題圖3．（?泰安）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一種問題：“今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步面見木？”用今天的話說，大意是：如圖，DEFG是一座邊長為200步（“步”是古代的長度單位）的正方形小城，東門H位于GD的中點，南門K位于ED的中點，出東門15步的A處有一樹木，求出南門多少步正好看到位于A處的樹木（即點D在直線AC上）？請你計算KC的長為步．4．（?岳陽）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其意思為：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為5步，股（長直角邊）長為12步，問該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少步？”該問題的答案是步．5．（?吉林）如圖是測量河寬的示意圖，AE與BC相交于點D，∠B=∠C=90°，測得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河寬AB=m．6．（?吉林）在某一時刻，測得一根高為1.8m的竹竿的影長為3m，同時同地測得一棟樓的影長為90m，則這棟樓的高度為__________m．7．（?荊門）如圖，為了測量一棟樓的高度OE，小明同窗先在操場上A處放一面鏡子，向后退到B處，正好在鏡子中看到樓的頂部E；再將鏡子放到C處，然后后退到D處，正好再次在鏡子中看到樓的頂部E（O，A，B，C，D在同一條直線上），測得AC=2m，BD=2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG為1.6m，試擬定樓的高度OE．四、綜合題1．（?揚州）如圖，點A在線段BD上，在BD的同側(cè)作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD與BE、AE分別交于點P，M．對于下列結(jié)論：①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CB2=CP?CM．其中對的的是（）A．①②③ B．① C．①② D．②③1題圖 2題圖 3題圖2．（?孝感）如圖，△ABC是等邊三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于點E，連CD分別交AE，AB于點F，G，過點A作AH⊥CD交BD于點H．則下列結(jié)論：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中對的結(jié)論的個數(shù)為（）A．5 B．4 C．3 D．23．（?南充）如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為CD的中點，連結(jié)AP，過點B作BE⊥AP于點E，延長CE交AD于點F，過點C作CH⊥BE于點G，交AB于點H，連接HF．下列結(jié)論對的的是（）A．CE= B．EF= C．cos∠CEP= D．HF2=EF?CF4．（?安徽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，點D在邊BC上，點E在線段AD上，EF⊥AC于點F，EG⊥EF交AB于點G．若EF=EG，則CD的長為（）A．3.6 B．4C．4.8 D．54題圖 5題圖5．（常州）如圖，在△ABC紙板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一點，過點P沿直線剪下一種與△ABC相似的小三角形紙板，如果有4種不同的剪法，那么AP長的取值范疇是．6、(鹽城)如圖，在以線段AB為直徑的⊙O上取一點，連接AC、BC.將△ABC沿AB翻折后得到△ABD.（1）試闡明點D在⊙O上；（2）在線段AD的延長線上取一點E，使AB2=AC.求證：BE為⊙O的切線；（3）在（2）的條件下，分別延長線段AE、CB相交于點F，若BC=2，AC=4，求線段EF的長.7．（?涼山州）如圖，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，過點B作BM∥CD交AD于M．連接CM交DB于N．（1）求證：BD2=AD·CD；（2）若CD=6，AD=8，求MN的長．8．（?安徽）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P為△ABC內(nèi)部一點，且∠APB=∠BPC=135°．（1）求證：△PAB∽△PBC；（2）求證：PA=2PC；（3）若點P到三角形的邊AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，求證h12=h2·h3．五、位似1．（?邵陽）如圖，以點O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A′B′C′，下列說法中錯誤的是（）A．△ABC∽△A′B′C′ B．點C、點O、點C′三點在同始終線上 C．AO∶AA′=1∶2 D．AB∥A′B′1題圖 2題圖 3題圖2.（菏澤）如圖，與是以點為位似中心的位似圖形，相似比為，，，若點的坐標是，則點的坐標是3、（?煙臺）如圖，在直角坐標系中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABO的頂點坐標分別為A（-2，-1），B（-2，-3），O（0，0），△A1B1O1的頂點坐標分別為A1（1，-1），B1（1，-5），O1（5，1），△ABO與△A1B1O1是以點P為位似中心的位似圖形，則P點的坐標為__________．4．（?河池）如圖，以點O為位似中心，將△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，則=__________．5．（?本溪）在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別是A（4，2），B（5，0），以點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，得到△A1B1O，則點A的對應(yīng)點A1的坐標為__________．6．（?巴中）△ABC在邊長為1的正方形網(wǎng)格中如圖所示．①以點C為位似中心，作出△ABC的位似圖形△A1B1C，使其位似比為1∶2．且△A1B1C位于點C的異側(cè)，并表達出A1的坐標．②作出△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A2B2C．③在②的條件下