級數單元復習

性質1:級數的每一項同乘一個不為零的常數,斂散性不變.性質2:收斂級數可以逐項相加與逐項相減.性質3:在級數前面加上、去掉或改變有限項不影響級數的斂散性.性質4:收斂級數加括弧后所成的級數仍然收斂于原來的和.性質5:級數收斂的必要條件:收斂級數的基本性質1、常數項級數一、主要內容定義2、正項級數及其判別法判別法(1)比較判別法的各種形式(3)比值判別法(達朗貝爾D’Alembert判別法)

(4)根值判別法(柯西判別法)(2)積分判別法3、交錯級數及其判別法4、任意項級數及其判別法(1)收斂域與和函數5、函數項級數(2)一致收斂的定義與充要條件(3)一致收斂的判別條件(4)一致收斂級數的性質(1)收斂半徑與收斂區(qū)間6、冪級數b.和函數的分析運算性質a.代數運算性質(2)冪級數的運算(1)直接法(泰勒級數法)步驟:(2)間接法根據唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導,逐項積分等方法,求展開式.6、冪級數展開式解

（C)[按定義]例1(1)(A)發(fā)散(B)絕對收斂(C)條件收斂(D)收斂性不能判定注：是交錯級數，但不是萊布尼茨級數(?)二、例題解

(B)例1(2)

(3)

數項級數的和

－1+cos1+ln2.

例２解即原級數非絕對收斂．由萊布尼茨定理：例3證

(1)例3(2)例4解知識點：極限存在準則+極限保號性+數項級數判別法例6解知識點：冪級數收斂區(qū)間+冪級數求和例8解例8解例9解例9解課堂練習解例10證例11證例12證例12證三、應用1、處處連續(xù)處處不可導的函數下圖顯示不同參數所對應的Weierstrass函數的圖像2、用多項式逼近連續(xù)函數數學家伯恩斯坦（Bernstein,SergiNatanovich）（1880—1968）

“在概率論方面伯恩斯坦最早提出并發(fā)展了概率論的公理化結構，建立了關于獨立隨機變量之和的中心極限定理.”──摘自《中國大百科全書》（數學卷）

伯恩斯坦是原蘇聯數學家.1880年3月6日生于敖德薩；1968年10月26日卒于莫斯科.

伯恩斯坦1893年畢業(yè)于法國巴黎大學，1901年又畢業(yè)于巴黎綜合工科學校.1904年在巴黎獲數學博士學位，1907年成為教授.1914年在哈爾科夫又獲純粹數學博士學位.

1907─1933

年在哈爾科夫大學任教，1933─1941年在列寧格勒綜合技術學院和列寧格勒大學工作，1935年以后在原蘇聯科學院數學研究所工作.

1925年當選為烏克蘭科學院院士，1929年當選為原蘇聯科學院院士.他還是巴黎科學院的外國院士.伯恩斯坦曾獲得許多國家的榮譽稱號和獎勵.

伯恩斯坦對偏微分方程，函數構造論和多項式逼近理論，概率論都作出了貢獻.

在偏微分方程方面，他以解決希爾伯特第19問題（正則變分問題的解是否一定解析，1904年伯恩斯坦證明了一個變元的解析非線性橢圓型方程其解必定解析）和1908年試解希爾伯特第20問題（一般邊值問題）而聞名于世.他創(chuàng)立了一種求解二階偏微分方程邊值問題的新方法（伯恩斯坦法），他還將普拉托問題解的存在性，當作所舉橢圓型偏微分方程的第一邊值問題來加以探討.他的工作推動了偏微分方程的發(fā)展.

在函數構造論和多項式逼近理論方面，他1912年發(fā)表的《論連續(xù)函數借助于具有固定次數的多項式的最佳逼近》的論文，奠定了函數構造論的基礎.他引進了伯恩斯坦多項式、三角多項式導數的伯恩斯坦不等式等.開創(chuàng)了不少函數構造的研究方向，如多項式逼近定理，確定單連通域多項式的逼近的準確近似度等.

在概率論方面，他最早（1917年）提出了一些公理來作為概率論的前提，促進了概率論公理化的建立.他與萊維共同開創(chuàng)了相關隨機變量之和依法則收斂問題的研究.1917年他們得到了相當于獨立隨機變量之和的中心極限定理，其特點是把獨立性換為漸近獨立性.從1922起，他又著手研究一些應用的實例，諸如馬爾可夫單鏈成果的推廣等.他與萊維在研究一維布朗擴散運動時，曾嘗試用概率論方式研究所謂隨機微分方程，并可將它推廣到多維擴散過程的研究.

伯恩斯坦對變分法、泛函分析等也有貢獻.

在數學中以他命名的有：伯恩斯坦定理、伯恩斯坦多項式、伯恩斯坦不等式、伯恩斯坦插值法、伯恩斯坦擬解析類、伯恩斯坦求和法、伯