河南省南陽市宛城區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

第第頁河南省南陽市宛城區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題（含解析）南陽一中2022年秋期高二年級第二次月考

數(shù)學(xué)學(xué)科試題

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

1.已知點，，若，則直線的傾斜角的取值范圍為（）

A.B.或

C.或D.或

2.已知橢圓的離心率是，則橢圓的焦距為（）

A.或B.或C.D.

3.直線，，則“”是“”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程為（）

A.B.C.D.

5.雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則（）

A.1B.2C.D.

6.已知雙曲線的兩個焦點為，，為雙曲線右支上一點.若，則的面積為（）

A.48B.24C.12D.6

7.已知橢圓的右焦點為，為橢圓上一動點，定點，則的最小值為（）

A.1B.C.D.

8.若圓上到直線的距離等于1的點恰有3個，則（）

A.B.C.D.

9.已知橢圓的左，右焦點分別為，，，兩點都在上，且，關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，下列說法錯誤的是（）

A.的最大值為B.為定值

C.的焦距是短軸長的2倍D.存在點，使得

10.經(jīng)過直線與圓的兩個交點，且面積最小的圓的方程是（）

A.B.

C.D.

11.若是直線上一動點，過作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形面積的最小值為（）

A.B.C.D.

12.已知橢圓，直線，若橢圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，則的取值范圍是（）

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.若圓與圓相內(nèi)切，則________.

14.已知點、，在直線上，則的最小值等于________.

15.已知點為橢圓上任意一點，是圓上兩點，且，則的最大值是________.

16.如圖，過雙曲線的左焦點引圓的切線，切點為，延長交雙曲線右支于點，為線段的中點，為坐標(biāo)原點，若，則雙曲線的離心率為________.

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分10分）已知直線過點.

（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；

（2）若直線在兩坐標(biāo)軸的截距互為相反數(shù)，求直線的方程.

18.（本小題滿分12分）已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點.

（1）求圓的方程；

（2）直線過點且與圓相交，所得弦長為4，求直線的方程.

19.（本小題滿分12分）已知直線，，，動點滿足，動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）證明：直線與曲線總有兩個交點.

20.（本小題滿分12分）已知雙曲線C與有相同的漸近線，且經(jīng)過點.

（1）求雙曲線的方程，并寫出其離心率與漸近線方程；

（2）已知直線與雙曲線交于不同的兩點A，B，且線段的中點在圓上，求實數(shù)的值.

21.（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，該橢圓經(jīng)過點，離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與橢圓相交A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo).

22.（本小題滿分12分）已知橢圓，直線與橢圓交于，兩點，且點位于第一象限.

（1）若點是橢圓的右頂點，當(dāng)時，證明：直線和的斜率之積為定值；

（2）當(dāng)直線過橢圓的右焦點時，軸上是否存在定點，使點到直線的距離與點到直線的距離相等？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

南陽一中2022年秋期高二年級第二次月考

數(shù)學(xué)學(xué)科試題答案

1.B【解析】根據(jù)題意，直線的斜率，由，得的取值范圍為，即的取值范圍為.

又，則或.

2.A【解析】若，則，解得，則，所以焦距是；若，則，解得，則，所以焦距是.

3.B【解析】的充要條件是，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件.

4.A【解析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得，即，因為雙曲線的焦點與橢圓的焦點相同，所以雙曲線中，半焦距，又因為雙曲線滿足，即，又由，即，解得，可得，所以的方程為.

5.C【解析】因為雙曲線的方程為，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，又雙曲線的兩條漸近線互相垂直，所以，所以.

6.B【解析】由雙曲線的定義可得，解得，故，又，由勾股定理可知：三角形為直角三角形，因此.

7.A【解析】設(shè)粗圓的左焦點為，則，可得，

所以，如圖所示，

當(dāng)且僅當(dāng)，，三點共線（點在線段上）時，此時取得最小值，

又由橢圓，可得且，所以，所以的最小值為1.

8.A將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得，故圓的圓心坐標(biāo)為，半徑.由圓上到直線的距離等于1的點恰有3個，知圓心到直線的距離，解得.

9.C【解析】解：由題意，，，，

所以，，，，，所以A正確，C錯誤；

由橢圓的對稱性知，，所以B正確；

當(dāng)在軸上時，，則為針角，所以存在點，使得，所以D正確.

10.D【解析】由題可知，當(dāng)所求圓的直徑就是已知圓與直線相交的弦時，所求圓的面積最小.圓配方可得，可得圓心坐標(biāo)為，半徑為2，弦心距，弦長為，過圓的圓心和直線垂直的直線方程為，即.

最小的圓的圓心為與直線的交點，解方程組可得，則所求面積最小的圓方程為：.

11.C【解析】由題意可得圓心為，半徑為2，因為，與圓相切，所以四邊形面積等于，的最小值為圓心到直線的距離，所以四邊形面積的最小值為

12.C【解析】設(shè)，是橢圓上關(guān)于對稱的兩點，的中點為，則，，.又因為，在橢圓上，所以，，兩式相減可得，即.又點在上，故，解得，.因為點在橢圓內(nèi)部，所以，解得.

13.1【解析】圓的圓心為，半徑為2；圓的圓心為，半徑為1.所以兩圓圓心間的距離為，由兩圓相內(nèi)切得，解得：.由于，所以.

14.12【解析】設(shè)關(guān)于的對稱點為

則，.

，則，所以的最小值是12.

15.24【解析】設(shè)圓的圓心為，易知是圓的一條直徑，因此

，因為點是橢圓的右焦點，點在橢圓上，所以，所以，即，所以的最大值為24.

16.【解析】設(shè)雙曲線的右焦點，連接，.

則中，，，則，

由直線與圓相切，可得.

又雙曲線中，，

則，

又，則，整理得，

兩邊平方整理得，則雙曲線的離心率.

17.【解析】（1）因為直線與直線垂直，

所以，設(shè)直線的方程為，

因為直線過點，所以，

解得，所以直線的方程為.

（2）當(dāng)直線過原點時，斜率為，由點斜式求得直線的方程是，即.

當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，

把點代入方程得，

所以直線的方程是.

綜上，所求直線的方程為或.

18.【解析】（1）解：過點且與直線垂直的直線的方程為，

由題意可知，圓心即為直線與直線的交點，

聯(lián)立，解得，故圓的半徑為，

因此，圓的方程為

（2）解：由勾股定理可知，圓心到直線的距離為，

當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，圓心到直線的距離為1，滿足條件；

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，

由題意可得，解得，

此時，直線的方程為

，即.

綜上所述，直線的方程為或

19.【解析】（1）解：設(shè)，因為，

所以.

兩邊平方得，

整理得，即曲線的方程為.

（2）證明：直線的方程可化為，

令解得即直線經(jīng)過定點.

由（1）可知，曲線是圓心坐標(biāo)為，半徑為的圓.

因為，所以點在圓內(nèi)部，

故直線與曲線總有兩個交點.

20.【解析】（1）因為雙曲線與有相同的漸近線，

所以可設(shè)雙曲線的方程為，

代入，得，得，故雙曲線的方程為，

所以，，，故離心率，漸近線方程為.

（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得，

整理得，.

設(shè)，，則的中點坐標(biāo)為，

由根與系數(shù)的關(guān)系得，，，

所以的中點坐標(biāo)為，

又點在圓上，所以，所以.

21.【解析】（1）設(shè)橢圓方程為：，焦距為，

由，得：，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；

（2）由得：，

則，整理可得：；

設(shè)，，則，

；

以為直徑的圓過橢圓的右頂點，設(shè)其右頂點為，則，

，

即

，

或，

解得：或，滿足；

當(dāng)時，，恒過定點，

與A，B不是左右頂點矛盾，不合題意；

當(dāng)時，，恒過定點，滿足題意；

綜上所述：直線恒過定點.

22.【解析】（1）證明：因為，所以直線，

聯(lián)立直線方程和橢圓方程：，

得，設(shè)，，

則有，