新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章計(jì)數(shù)原理培優(yōu)課兩個(gè)原理的應(yīng)用課件湘教版選擇性必修第一冊(cè)

第4章培優(yōu)課兩個(gè)原理的應(yīng)用重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一組數(shù)問題【例1】用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字,(1)可以組成多少個(gè)三位數(shù)的電話號(hào)碼?(2)可以組成多少個(gè)三位數(shù)?(3)可以組成多少個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?分析

根據(jù)所組數(shù)字的特征,利用兩個(gè)原理求解.解

(1)三位數(shù)字的電話號(hào)碼,百位上的數(shù)字可以是0,數(shù)字也可以重復(fù),每個(gè)位置上的數(shù)字都有5種取法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,可以組成5×5×5=125個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼.(2)三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能為0,但可以有重復(fù)數(shù)字,首先考慮百位上的數(shù)字的取法,除0外共有4種取法,個(gè)位、十位上的數(shù)字可以取0,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,可以組成4×5×5=100個(gè)三位數(shù).(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù),個(gè)位數(shù)字可取0,2,4,因此,可以分兩類,一類是個(gè)位數(shù)字是0,可以組成4×3=12個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù);一類是個(gè)位數(shù)字不是0,則個(gè)位上的數(shù)字有2種取法,即2或4,再考慮百位上的數(shù)字,因?yàn)?不能是百位上的數(shù)字,所以有3種取法,十位有3種取法,因此有2×3×3=18個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).因而有12+18=30(個(gè))三位數(shù),即可以組成30個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).變式探究由本例中的五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)?解

完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事,可以分四步:第1步,定個(gè)位,只能從1,3中任取一個(gè),有2種方法;第2步,定千位,把1,2,3,4中除去用過的一個(gè)數(shù),在剩下的3個(gè)數(shù)中任取一個(gè),有3種方法;第3步,把剩下的包括0在內(nèi)的3個(gè)數(shù)字先排百位,有3種方法;第4步,排十位,有2種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,共能組成2×3×3×2=36個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù).規(guī)律方法

利用兩個(gè)原理求解數(shù)字組數(shù)問題的方法(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字,是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置(或特殊元素)分類,分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成;如果正面分類較多,可采用間接法求解.(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)或兩位以上的數(shù)字的最高位.探究點(diǎn)二涂色問題【例2】如圖所示,將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱的兩端異色,如果只有5種顏色可供使用,求不同的染色方法種數(shù).分析由于5種顏色可用,因此可以按照顏色種類分類,也可以按照四棱錐的5個(gè)字母的順序分布顏色.解

(方法1

先分步再分類)

按S,A,B,C,D的順序分步染色:第一步,S點(diǎn)染色,有5種方法;第二步,A點(diǎn)染色,與S在同一條棱上,有4種方法;第三步,B點(diǎn)染色,與S,A分別在同一條棱上,有3種方法;第四步,C點(diǎn)染色,但考慮到D點(diǎn)與S,A,C分別在同一條棱上,需要針對(duì)A與C是否同色進(jìn)行分類,當(dāng)A與C同色時(shí),D點(diǎn)有3種染色方法;當(dāng)A與C不同色時(shí),因?yàn)镃與S,B也不同色,所以C點(diǎn)有2種染色方法,D點(diǎn)也有2種染色方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理、分類加法計(jì)數(shù)原理,得不同的染色方法種數(shù)為5×4×3×(3×1+2×2)=420.(方法2

先分類再分步)

按所用顏色種類分類:第一類,5種顏色全用,共有5×4×3×2×1=120種不同的方法;第二類,只有4種顏色,則必有某兩個(gè)頂點(diǎn)同色(A與C或B與D),共有2×5×4×3×2=240種不同的方法;第三類,只有3種顏色,則A與C,B與D必定同色,共有5×4×3=60種不同的方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理,得不同的染色方法種數(shù)為120+240+60=420.規(guī)律方法

求解涂色問題一般常用方法涂色問題一般是綜合利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解,有幾種常用方法:(1)按區(qū)域的不同,以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù),用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析.(2)以顏色為主分類討論,適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”等問題,用分類加法計(jì)數(shù)原理分析.(3)將空間問題平面化,轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題.種植問題按種植的順序分步進(jìn)行,用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)或按種植品種恰當(dāng)選取情況分類,用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù).變式訓(xùn)練一個(gè)同心圓形花壇,分為兩部分,中間小圓部分種植草坪和綠色灌木,周圍的圓環(huán)分為n(n≥3,n∈N+)等份,種植紅、黃、藍(lán)三種顏色不同的花,要求相鄰兩部分種植不同顏色的花.(1)如圖1,圓環(huán)分成3等份,分別為a1,a2,a3,則有多少種不同的種植方法?(2)如圖2,圓環(huán)分成4等份,分別為a1,a2,a3,a4,則有多少種不同的種植方法?解

(1)分兩步.第一步,先種植a1部分,有3種不同的種植方法;第二步,再種植a2,a3部分.因?yàn)閍2,a3與a1的顏色不同,a2,a3的顏色也不同,則a2有2種不同的種植方法,a3有1種不同的種植方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同的種植方法有3×2×1=6種.(2)分兩類.第一類,當(dāng)a1,a3不同色時(shí),有3×2×1×1=6種種植方法;第二類,當(dāng)a1,a3同色時(shí),有3×2×1×2=12種種植方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理得,共有6+12=18種種植方法.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)123451.從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中,任取兩個(gè)不同數(shù)字相加,其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)有(

)A.30種

B.20種

C.10種

D.6種D解析

從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中,任取兩個(gè)不同數(shù)字相加和為偶數(shù)可分為兩類.第一類,取出的兩數(shù)都是偶數(shù),共有3種取法;第二類,取出的兩數(shù)都是奇數(shù),共有3種取法.由分類加法計(jì)數(shù)原理得,共有N=3+3=6種不同取法.故選D.123452.由2,3,5,0組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是

,三位奇數(shù)的個(gè)數(shù)是

.

108解析

數(shù)按照末位數(shù)字分兩類進(jìn)行:第一類,個(gè)位是0時(shí),百位有3種選法,十位有2種選法,共有3×2=6個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù);第二類,當(dāng)末位是2時(shí),百位只能從3,5中選1個(gè),有2種選法;十位有2種選法,共有2×2=4個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù).由分類加法計(jì)數(shù)原理可知,共有6+4=10個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).奇數(shù)的末位數(shù)可以從3,5中選1個(gè),首位從3,5中剩余的一個(gè)與2中選1個(gè),有2種方法,同理第二位也有2種方法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,共有2×2×2=8個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù).13453.如圖,用2種不同的顏色涂所給圖形中的四個(gè)區(qū)域,要求相鄰區(qū)域的顏色不能相同,則不同的涂色方法有

種.

2213454.

如圖所示,在某高中校園內(nèi)有一個(gè)標(biāo)志性圖標(biāo),該圖標(biāo)是由一個(gè)圓、一個(gè)三角形和一個(gè)長方形構(gòu)成,現(xiàn)用紅、藍(lán)兩種顏色為其涂色,每個(gè)圖形只能涂一種顏色,則三個(gè)圖形顏色不全相同的情形有

種.

2613452解析

個(gè)圓、一個(gè)三角形和一個(gè)長方形分別涂紅色或藍(lán)色,所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下:所以三個(gè)圖形顏色不全相同的情形有6種.13455.

用紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色給圖中的A,B,C三個(gè)區(qū)域涂色,要求每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色.(1)顏色不能重復(fù)使用,有多少種不同的涂色方法?(2)相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色,有多少種不同的涂色方法?2解

(1)依題意,分3步進(jìn)行:第一步,考慮A區(qū)域,有4種顏色可選擇;第二步,考慮B區(qū)域,不能選A區(qū)域的顏色,有3種顏色可選擇;第三步,考慮C區(qū)域,不能選A,B區(qū)域的顏色,有2種顏色可選擇.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知