河南省周口市川匯區(qū)周口恒大中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)10月考試卷數(shù)學(xué)試題試卷考試時間：120分鐘滿分：150第I卷（選擇題）單項選擇題（每小題5分，共40分）1．拋物線上兩點、到焦點的距離分別是，，若，則線段的中點到軸的距離為（

）A． B．5 C． D．12．已知直線：與直線：交于點，為坐標(biāo)原點，則直線的方程為（

）A． B．C． D．3．已知，則的最小值與最小正周期分別是（）A．， B．， C．， D．，4．如果一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為，上底為1，腰為的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是A． B． C． D．5．已知向量，對任意的，恒有，則（

）A． B．C． D．6．已知，那么（

）A． B． C． D．7．給定四個函數(shù)：①；②；③；④，其中是奇函數(shù)的有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．下列函數(shù)中，偶函數(shù)是（

）A． B． C． D．二、多項選擇題（每小題5分，共20分，有多項符合要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分）9．已知定義域為R的函數(shù)，且函數(shù)的圖象如圖，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．當(dāng)時，函數(shù)取得極小值D．當(dāng)時，函數(shù)取得極小值10．給出下列四個關(guān)于圓錐曲線的命題，真命題的有（

）A．設(shè)為兩個定點，為非零常數(shù)，，則動點的軌跡為雙曲線B．過定圓上一定點作圓的動弦，則弦的中點的軌跡為橢圓C．方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率D．雙曲線與橢圓有相同的焦點11．已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．復(fù)數(shù) B．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限 D．復(fù)數(shù)的模為12．下列函數(shù)既是偶函數(shù)，在上又是減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．第II卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共20分）13．已知函數(shù)滿足，則曲線在點處的切線斜率為．14．已知拋物線：，則拋物線的焦點坐標(biāo)為．15．展開式中的系數(shù)為.16．在數(shù)列中，，．若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．四、解答題（共6小題，共計70分.第17題10分，第18---22題，每題12分）17．某高校共有50名志愿者被選中參加某志愿服務(wù)活動，暑假期間，該校欲從這50名志愿者中選取8人組成志愿服務(wù)小組，請用抽簽法設(shè)計抽樣方案．18．的內(nèi)角的對邊分別為，已知（1）求；（2）若，且的面積等于求的值.19．已知直線過點，根據(jù)下列條件分別求直線的方程：（1）直線的傾斜角為45°；（2）直線在軸?軸上的截距相等.20．某校高一、高二年級的全體學(xué)生都參加了體質(zhì)健康測試，測試成績滿分為100分，規(guī)定測試成績在之間為“體質(zhì)優(yōu)秀”，在之間為“體質(zhì)良好”，在之間為“體質(zhì)合格”，在之間為“體質(zhì)不合格”現(xiàn)從兩個年級中各隨機(jī)抽取8名學(xué)生，測試成績?nèi)缦拢簩W(xué)生編號12345678高一年級6085558065909075高二年級758565907560ab其中a，b是正整數(shù)．（1）若該校高一年級有200名學(xué)生，試估計高一年級“體質(zhì)優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)；（2）從高一年級抽取的學(xué)生中再隨機(jī)選取3人，求這3人中，恰有1人“體質(zhì)良好”的概率；（3）設(shè)兩個年級被抽取學(xué)生的測試成績的平均數(shù)相等，當(dāng)高二年級被抽取學(xué)生的測試成績的方差最小時，寫出a，b的值結(jié)論不要求證明21．如圖，在三棱錐中，平面平面ABC，且是正三角形，O是AC的中點，D是AB的中點.求證：(1)平面SBC；(2).22．已知：函數(shù).（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求的值；（2）試用定義判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.參考答案：1．C【分析】先設(shè)、，根據(jù)題中條件，由拋物線的定義得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)、，因為拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，又拋物線上兩點、到焦點的距離分別是，，所以，，因為，所以，因此線段的中點到軸的距離為.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解本題的關(guān)鍵在于利用拋物線的定義，根據(jù)題中條件，求出、兩點的橫坐標(biāo)之和，根據(jù)線段中點到軸的距離即為點橫坐標(biāo)，即可求解.2．A【分析】將兩直線的一般式中的常數(shù)項均變?yōu)?，驗證，的坐標(biāo)是否均滿足該直線的方程即可判斷.【詳解】直線：，直線：，兩式相減可得.因為點，的坐標(biāo)都滿足該直線的方程，故點，都在該直線上.所以直線的方程為.故選：.【點睛】本題考查了求過兩點的直線方程，同時還需要求解兩條直線的交點坐標(biāo)，考查了轉(zhuǎn)化思想和分析問題，解決問題的能力.3．A【分析】利用二倍角公式化簡，由正弦型函數(shù)最值和最小正周期的求法可求得結(jié)果.【詳解】，，最小正周期.故選：A.4．C【分析】先計算出該梯形的斜二測直觀圖的面積，再根據(jù)直觀圖的面積與原圖的面積之比為，求得原圖的面積．【詳解】

依題意，四邊形是一個底角為，上底為，腰為的等腰梯形過，分別做，則和為斜邊長為的等腰直角三角形，又，梯形的面積：在斜二測畫直觀圖時，直觀圖的面積與原圖的面積之比為：即：

本題正確選項：【點睛】本題考查了斜二測直觀圖的面積與原圖面積的關(guān)系，可以還原圖形求原圖的面積，也可以根據(jù)直觀圖與原圖的面積比求原圖的面積．屬于基礎(chǔ)題．5．C【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求得，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】由可得，又，令則上式等價于，對任意的恒成立，故，解得，解得，即；對A：由，故不成立，A錯誤；對B：，不確定其結(jié)果，故不一定成立，B錯誤；對C：，故，C正確；對D：，不確定其結(jié)果，故不一定成立，D錯誤.故選：C.6．D【分析】利用誘導(dǎo)公式求解.【詳解】因為，所以，故選：D7．B【分析】利用奇函數(shù)的定義，對每個函數(shù)進(jìn)行驗證，可得結(jié)論．【詳解】①，是奇函數(shù)；②，不是奇函數(shù)；③，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)；④，是奇函數(shù)．故選B．【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的判定，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．D【解析】根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷．【詳解】A．函數(shù)定義域不關(guān)于原點對稱，不是偶函數(shù)，BCD中函數(shù)定義域都是．B．時，，不是偶函數(shù)；C．，，不是偶函數(shù)；D．，是偶函數(shù)．故選：D．9．AD【分析】根據(jù)題圖判斷原函數(shù)的函數(shù)符號，進(jìn)而確定在對應(yīng)區(qū)間上的符號，判斷區(qū)間單調(diào)性、極值.【詳解】由圖知：，即，A對；由上，故，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，B錯；和上，和上，所以、上，、上，故在、上遞增，、上遞減，則為極大值，為極小值，C錯，D對.故選：AD10．CD【解析】選項A根據(jù)雙曲線的定義可判斷，選項B,是的中點，根據(jù)垂徑定理,,可得在以為直徑的圓上運(yùn)動，選項C方程的兩根分別為和；選項D直接求出雙曲線和橢圓的焦點坐標(biāo)可判斷.【詳解】A不正確；若動點的軌跡為雙曲線，則要小于兩個定點間的距離，當(dāng)點在的延長線上時，，顯然這種曲線是射線，而非雙曲線；B不正確；是的中點，根據(jù)垂徑定理，圓心與弦的中點連線垂直于這條弦，圓心為，那么有即恒為直角，由于是圓的半徑，是定長，而恒為直角，也就是說，在以CA為直徑的圓上運(yùn)動，所以點的軌跡是一個圓.C正確；方程的兩根分別為和可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，D正確，雙曲線與橢圓焦點坐標(biāo)都是，故選:CD11．ABC【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可求得，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)、純虛數(shù)定義可知AB正確；由復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)和模長的求法可知CD正誤.【詳解】；對于A，由共軛復(fù)數(shù)定義知：，A正確；對于B，，為純虛數(shù)，B正確；對于C，對應(yīng)的點為，位于第一象限，C正確；對于D，，D錯誤.故選：ABC.12．BC【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性判斷．【詳解】，A不是偶函數(shù)，，，，BCD全是偶函數(shù)，在上，是減函數(shù)，是減函數(shù)，由對勾函數(shù)性質(zhì)知在上遞減，在上遞增，因此在上遞減，在上遞增，在上不是減函數(shù)，所以BC正確，D錯誤.故選：BC．13．3【分析】根據(jù)極限形式和求導(dǎo)公式得，進(jìn)而得，計算得解.【詳解】由，可得．因為，所以，即，則，所以，．故答案為：3.14．/【分析】把拋物線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再寫出焦點坐標(biāo)即可.【詳解】拋物線：，即，所以拋物線的焦點坐標(biāo)為.故答案為：15．【分析】寫出展開式通項，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項即可得解.【詳解】因為的展開式通項為，的展開式通項為，所以，的展開式通項為，令，可得，所以，或，因此，故的系數(shù).故答案為：.16．【分析】由已知得，運(yùn)用累加法求得，代入不等式，由恒成立思想可得答案.【詳解】解：∵時，，即，∴．又時，也符合上式，∴．不等式化為，∵，∴．故答案為：.17．答案見解析【分析】根據(jù)抽簽法的步驟即可求解.【詳解】(1)將50名志愿者編號，號碼分別是1，2，…，50.(2)將號碼分別寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片上作為號簽．(3)將小紙片放入一個不透明的盒子里，充分?jǐn)噭颍?4)從盒子中不放回地逐個抽取8個號簽，使與號簽上編號對應(yīng)的志愿者進(jìn)入樣本，組成志愿服務(wù)小組．18．（1）；（2）.【分析】（1）先利用正弦定理及和差角公式求出，即可求出A.（2）由已知條件及面積公式求出，利用余弦定理求出，即可求出的值.【詳解】（1）因為，由正弦定理得：，因為，所以，所以，可得：，因為，所以，所以，可得：.（2）因為的面積為，所以.又，由余弦定理得：，配方得：整理化簡得：，所以.19．（1）；（2）或.【解析】（1）由直線的傾斜角為45°，求得斜率，再利用直線的點斜式求解.（2）設(shè)直線在軸、軸上的截距分別為，，分和若兩種情況，將代入求解.【詳解】（1）設(shè)直線的斜率為，由題意得.又直線過點，由直線的點斜式方程可得.即直線的方程為.（2）設(shè)直線在軸?軸上的截距分別為，，由題意得.①若，則直線過點，，可得直線的方程為；②若，則直線的方程為，將代入，得，即，所以直線的方程為.綜上，直線的方程為或.20．（1）75；（2）；（3），【分析】（1）由統(tǒng)計表能估計高一年級“體質(zhì)優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)．（2）高一年級被抽取的8名學(xué)生中，“優(yōu)質(zhì)良好”的有2人，從高一年級抽取的學(xué)生中再隨機(jī)選取3人，利用古典概型能求出這3人中，恰有1人“體質(zhì)良好”的概率．（3），．【詳解】1該校高一年級有200名學(xué)生，則估計高一年級“體質(zhì)優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)為：．2高一年級被抽取的8名學(xué)生中，“優(yōu)質(zhì)良好”的有2人，從高一年級抽取的學(xué)生中再隨機(jī)選取3人，這3人中，恰有1人“體質(zhì)良好”的概率．3，．【點睛】本題考查頻數(shù)、概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．21．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）易證得，再由線面平行的判定定理即可證明；（2）由面面垂直的性質(zhì)定理可證得平面ABC，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可證明.【詳解】（1）因為O是AC的中點，D是AB的中點，所以.又平面SBC，平面SBC，所以平面SBC.（2）因為是正三角形，O是A