第十一章-第一節(jié)-空間簡單幾何體的結構與三視圖直觀圖

第十一章立體幾何初步考綱分解解讀

1.空間幾何體(1)認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構.(2)能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖.(3)會用平行投影與中心投影兩種方法，畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.(4)會畫某些建筑物的三視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎上，尺寸、線條等不作嚴格要求）.(5)了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）.

2.點、直線、平面之間的位置關系

(1)理解空間直線、平面位置關系的定義，并了解如下可以作為推理依據的公理和定理：

◆公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點在此平面內.

◆公理2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.◆公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

◆公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

◆定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補.(2)以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定定理.

理解以下判定定理：

◆如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.

◆如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行.

◆如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.

◆如果一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直.理解以下性質定理，并能夠證明.

◆如果一條直線與一個平面平行，經過該直線的任一個平面與此平面相交，那么這條直線就和交線平行.

◆如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行.

◆垂直于同一個平面的兩條直線平行.

◆如果兩個平面垂直，那么一個平面內垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直.

(3)能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題.

知識體系構建

備考方略

從命題特點來看，立體幾何題型在高考中一般是一個解答題，2至3個填空或選擇題.選擇題、填空題一般出中等難度的題，解答題也是中檔題.

涉及立體幾何內容的命題形式最為多變，除保留傳統(tǒng)的四選一的選擇題型外，還嘗試開發(fā)了多選填空、完型填空、構造填空等題型，填空題設計成開放性問題和多選題.解答題設計成幾個小問題，此類考題往往以棱柱和棱錐為依托，第一小問考查線線、線面、面面的位置關系，后面幾問考查空間角、空間距離、面積、體積等度量關系，其解題思路也都是作——證——求，強調作圖、證明和計算相結合.

復習備考建議：

立體幾何在復習中應當注意以下四個方面：

1.直線和平面的各種位置關系的判定和性質，這類試題一般難度不大，多為選擇題和填空題.復習中首先要做到相關的概念、判定、性質定理要清楚，其次在否定某些錯誤的判斷時，能舉出適當的反例.另外，能將文字語言、符號語言、圖形語言靈活準確地進行轉化，平時的訓練要注意舉一反三.

2.證明空間線、面平行或垂直.由已知聯(lián)想性質，由求證聯(lián)想判定，尋找證題思路.通過對復雜空間圖形直觀圖的觀察和分解，發(fā)現(xiàn)其中的平面圖形或典型的空間圖形（如正方體、正四面體等），以便聯(lián)想有關的平面幾何或立體幾何知識.培養(yǎng)根據題設條件的性質適當添加輔助線（或面）的能力，掌握平行或垂直的化歸方法.

3.計算角與距離的問題.求角或距離的關鍵是將空間的角或距離靈活轉化為平面上的角或距離，然后將所求量置于一個三角形中，通過解三角形最終求得所需的角或距離.解題原則是一作、二證、三求解（即作圖、證明、求解）.熟練異面直線所成角、線面角、二面角、點面距離的計算方法.

4.簡單的幾何體的面積與體積問題.熟記特殊幾何體的現(xiàn)成的公式.會將側面展開，轉化為求平面圖形的面積問題；要注意解題技巧，如等積變換、割補思想的應用.

第一節(jié)空間簡單幾何體的結構與三視圖、直觀圖及其表面積和體積課前自主學案

知識梳理

1空間簡單幾何體及其結構1（1）柱體

①棱柱：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱；棱柱中兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱為底；其余各面叫做棱柱的側面；相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱；側面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點（如圖a.）底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

②圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱；旋轉軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的底面；無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側面的母線.（如圖b).棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體.（2）錐體

①棱錐：一般的有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐；這個多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側面；各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點；相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱(如圖c).

底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……

②圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；旋轉軸為圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉形成的曲面叫做圓錐的側面(如圖d).棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體.（3）臺體

①棱臺：用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺；原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；棱臺也有側面、側棱、頂點（如圖e）.

②圓臺：用一個平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺的下底面和上底面；圓臺也有側面、母線、軸.（如圖f）.

圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體.

（4）球

以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體叫做球體，簡稱為球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑.（如圖g）.

（5）組合體

由柱、錐、臺、球等幾何體組成的復雜的幾何體叫組合體.（如圖h）.

（6）特殊的棱柱、棱錐、棱臺:

①直棱柱——側棱與底面垂直的棱柱.

②正棱柱——底面是正多邊形的直棱柱.

③正棱錐——底面是正多邊形,棱錐的頂點在底面上的射影是正多邊形的中心.各側面是全等的等腰三角形.

④正棱臺：兩底是正多邊形，且兩底中心連線垂直于底面的棱臺叫做正棱臺.也可以認為它由正棱錐截得的棱臺.正棱臺各側面是全等的等腰梯形.

幾類特殊的多面體及它們之間的關系：三棱錐正三棱錐正四面體四棱柱平行六面體長方體正四棱柱正方體底面是正三角形頂點在底面射影是底面中心所有棱長相等底面是平行四邊形底面是矩形直棱柱底面是正方形高與底面邊長相等（7）柱體(圓柱與棱柱)、臺體(圓臺與棱臺)、錐體(圓錐與棱錐)的聯(lián)系：

柱體臺體錐體上底面等比例縮小上底面縮成一個點2空間幾何體的三視圖與直觀圖（1）有關投影的概念①投影：由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個物體的影子，這種現(xiàn)象叫做把光線叫做，把留下物體影子的屏幕叫做②中心投影：把光由點向外散射形成的投影，叫做；③平行投影：把在一束平行光線照射下形成的投影，叫做平行投影的投影線是.④正投影:在平行投影中．投影線正對著投影面叫做，否則叫做.在平行投影之下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與這個平面圖形的是完全相同的.（2）空間幾何體的三視圖

三視圖是觀測者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形.

它具體包括：

①正視圖（主視圖）：物體前后方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和長度；

②側視圖（左視圖）：物體左右方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和寬度；

③俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的長度和寬度；

（3）三視圖的畫法規(guī)則①能看見的輪廓線和棱用表示；不能看見的輪廓線和棱用表示.②高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊

長對正：主視圖與俯視圖的長應對正

寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應相等

③三視圖的排放順序：先畫，將左視圖畫在主視圖的，將俯視圖畫在主視圖的（如下圖）（4）空間幾何體的直觀圖：在平面中畫出的幾何體的模擬直觀視覺效果圖.它有較強的立體感.畫多面體的直觀圖常用的畫法是斜二測法；旋轉體的直觀圖多采用正等測畫法.

（4）空間幾何體的直觀圖：在平面中畫出的幾何體的模擬直觀視覺效果圖.它有較強的立體感.畫多面體的直觀圖常用的畫法是斜二測法；旋轉體的直觀圖多采用正等測畫法.

（5）斜二測畫法規(guī)則:

①在底面圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸交于O,畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸與y′軸,兩軸交于O′,使,∠x′O′y′=45°(或135°),它們確定的平面表示水平平面；②已知底面圖形中與x軸、y軸平行的線段，在直觀圖中分別畫成與x′軸、y′軸平行的線段；

③已知底面圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原來的長度;而平行于y軸的線段,長度為原來的一半.

④過O′畫一條與y′垂直的直線O′z軸,表示豎直方向,與豎直方向平行的線段,畫成與O′z平行且長度不變.

3空間簡單幾何體的側面展開圖的形狀幾何體名稱

圓柱圓錐圓臺直棱柱正n棱錐正n棱臺側面展開圖矩形扇形扇環(huán)矩形n個全等的等腰三角形n個全等的等腰梯形側面展開圖4空間簡單幾何體的側面積和表面積（1）直棱柱：

、（其中C為底面周長，h是高）；

.（2）正棱錐:

(

)；

.（3）正棱臺：

；(C′、C為上、下底面周長，h′是斜高）

.（4）圓柱：

（其中C為底面周長，r是底面圓的半徑，l是母線長）；（5）圓錐：

（其中C為底面周長，r是底面圓的半徑，l是母線長）；（6）圓臺：

（其中C為底面周長，r′,r分別是上、下底面圓的半徑，l是母線長）；

.（7）球的表面積公式：

(其中R是球的半徑).

5空間簡單幾何體的體積公式（1）柱體體積公式：

；（2）錐體體積公式：

；（3）球的體積公式：

，其中R表示球的半徑.基礎自測

1.（2009年淄博模擬）如圖(1)放置的一個機器零件，若其主視圖如圖(2)，則其俯視圖是選項圖中的（D）2.下列命題中正確的是（D）

A

.棱柱的底面一定是平行四邊形

B

.棱錐的底面一定是三角形

C

.棱臺的底面是兩個相似的正方形

D

.棱臺的側棱延長后必交于一點3.（2009年石門中學第二次檢測）下圖是一個空間幾何體的三視圖，其正視圖、側視圖是邊長為1的正三角形.俯視圖的輪廓為正方形，則它的表面積為3.解析：棱柱、棱錐、棱臺的底面是任意多邊形。解析：由三視圖知此幾何體是正四棱錐，底面是邊長為1的正方形，側面是底邊為1，高為1的等腰三角形，則它的表面積為S表=S側+S底=×1×1×4+1×1=3.

4.(2009年揭陽調研)已知一幾何體的三視圖如下圖，正視圖和側視圖都是矩形，俯視圖為正方形，在該幾何體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點，這些幾何形體是

①③④⑤

（寫出所有正確結論的編號）①矩形；

②不是矩形的平行四邊形；

③有三個面為直角三角形，有一個面為等腰三角形的四面體；④每個面都是等腰三角形的四面體；

⑤每個面都是直角三角形的四面體.課堂互動探究

下列關于簡單幾何體的說法中:

①斜棱柱的側面中不可能有矩形；②有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱；③側面是等腰三角形的棱錐是正棱錐；④圓臺也可看成是圓錐被平行于底面的平面所截得截面與底面之間的部分.正確的個數是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

對簡單幾何體的概念的正確理解分析：解決關于簡單幾何體的概念性的問題時要緊扣簡單幾何體的定義,不可想當然.解析：①斜棱柱的側面中也可能有矩形,想象將側面正對我們的長方體,向前(后)壓斜時,正對我們的側面及其對面可保持是矩形,可見斜棱柱的側面中可能0個,1個或2個矩形,但可以證明不可多于兩個.②棱柱的定義是:有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的多面體叫棱柱.每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，條件不能少，否則就可能不是棱柱(如上圖).③正棱錐的定義中有兩個本質要素:底面是正多邊形,頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心,側面是等腰三角形并不能保證上述兩個條件成立,這樣的反例也好找,比如底面是任意三角形,但三條側棱長都相等的三棱錐.④類似于棱臺與棱錐的關系,圓臺也可看成是圓錐被平行于底面的截面所截得.故只有說法④正確.

答案：B點評：在判斷概念性命題時,要緊扣定義,完全滿足定義要求,才能斷定命題為真，要斷定命題為假時,只需找到一個反例即可.變式探究

1.以下命題：

①以直角三角形的一邊為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺；

③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；

④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．

其中正確命題的個數為（）

A.0

B.1

C.2

D.3

解析：據圓柱、圓錐、圓