數(shù)學(xué)05級計算方法試題A答案

本文格式為Word版，下載可任意編輯——數(shù)學(xué)05級計算方法試題A答案姓名：學(xué)號：院系：

班級：授課教師：張宏偉大連理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系

數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2023級試A卷答案

課程名稱：計算方法授課院(系)：應(yīng)用數(shù)學(xué)系考試日期：2023年11月日試卷共6頁

一二三四五六七八九十總分81515155////100標(biāo)準(zhǔn)分42得分一、填空（每一空2分，共42分）

16x5?17x4?18x3?14x2?13x?11．為了減少運(yùn)算次數(shù)，應(yīng)將表達(dá)式.42x?16x?8x?1裝改寫為

????16x?17?x?18?x?14?x?13?x?1；

???x?0?x?16?x?8?x?12．給定3個求積節(jié)點(diǎn)：x0?0，x1?0.5和x2?1，則用復(fù)化梯形公式計算積分?e?xdx求得的近似值為

01211?2e?0.5?e?1，4??訂用Simpson公式求得的近似值為

11?4e?0.5?e?1。6??1．設(shè)函數(shù)s(x)?S3??1,0,1?，若當(dāng)x??1時，滿足s(x)?0，則其可表示

3為s(x)?c1?x?1???c2x??c3?x?1??。

33線4．已知f(0)?0,f(1)?6,f(2)?12,則f[0,1]?6,f[0,1,2]?0，迫近f(x)的Newton插值多項(xiàng)式為6x。

5．用于求f?x??ex?1?x?0的根x?0的具有平方收斂的Newton迭代

exk?1?xk公式為：xk?1?xk?2?。

exk?1?000??000??010???????6．已知A??-101?，則A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型是?001?或?000?；

?000??000??000???????

-1-

7．設(shè)A是n階正規(guī)矩陣，則A2???A?；

8．求解一階常微分方程初值問題u?(t)?(t2?1)u?t，u(t0)?u0的向后（隱式）

Euler法的顯式化的格式為：un?1?

9．設(shè)a?211.00112為x的近似值，且x?a?0.5?10?2，則a至少有5位有效數(shù)字；

un?htn?1。21?h1?tn?1???3?TT10．將x??3,4?，化為y??5,0?的Householder矩陣為：?54???511．?k?0?4??5?；3???5??0.50??20???10?????31??；????k12．用二分法求方程f(x)?2x3?5x?1?0在區(qū)間[1,3]內(nèi)的根，進(jìn)行一步后根所在區(qū)間為?1,2?，進(jìn)行二步后根所在區(qū)間為?1.5,2?。

13．若

n?f?x?dx??Af?x??n?2?為

0kkk?01nNewton-Cotes求積公式，則

n114，若為Gauss型求積公式，則。Ax?Ax???kkkk25k?0k?0114．設(shè)A?1????1H2?R?A?URU，則在Schur分解中，可取為??0?5?2?1??0???1????10?或??01??。???01??1t?deAt?01?At15．設(shè)A???00??，則e???01??,dt???00??。

??????二、（8分）已知近似值a1?1.21，a2?3.65，a3?9.81均為有效數(shù)字，試估計算術(shù)運(yùn)算a3?

a1?a2的相對誤差界。a3-2-

解：由已知，

x1?a1?令

1111?10k?n??10?2；x2?a2??10?2；x3?a3??10?2。2222f?x1,x2,x3??x1?x2a?a?x3，f?a1,a2,a3??12?a3，x3a3由函數(shù)運(yùn)算的誤差估計式

f?x1,x2,x3??f?a1,a2,a3??

fx?1?a1,a2,a3??x1?a1?+fx?2?a1,a2,a3??x2?a2?+fx?3?a1,a2,a3??x3?a3??a1?a2?a2a1?x3?a3???x1?a1???x2?a2???1?2???a3a3a3??從而，相對誤差可寫成

f?x1,x2,x3??f?a1,a2,a3??f?a1,a2,a3?a2aa?ax1?a1?1x2?a2?1?122x3?a3a3a3a3a1?a2?a3a3﹟

三、（15分）設(shè)線性方程組：

?x1??3x1?2x?1?3x2?x2?x2?4?4?4x3?7（1）列主元消元法求出上述方程組的解，并利用得到的上三角矩陣計算出det(A)（要有換元、消元過程）；

（2）試問用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程組是否收斂？

（3）請給出可求出上述方程組解的收斂的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并說明其收斂性。

解：（1）

???1304??3104??3????3104?1304??????0?2147??2147????????0???104??388??0??033??113???04?33?104?88??033?044??-3-

3108T故，x??1,1,1?，det(A)?(?1)?00??32。

3004（2）由于Gauss-Seidel迭代法的特征值滿足：

?30det???D?L??U??3??0?4?3?36?2?4?2???9??0，則

2??4???BG-S??0,0,9，故??BG-S??9?1，從而Gauss-Seidel迭代法發(fā)散。

又由于Jacobi迭代法的迭代矩陣為：

?0?BJ???3?1???2?301?40??0?，det??I?BJ???0???3123?1400??3?9????2?9，則

?????BJ??0,3,?3，故??BJ??3?1，從而Jacobi迭代法發(fā)散。

（3）將上述方程組的第一個方程與其次個方程對調(diào)后，新的方程組的系

?3104??~?數(shù)矩陣為：A??1304?是嚴(yán)格對角占有的，故Jacobi和Gauss-Seidel

?2147???迭代法均收斂。且新的方程組與原方程組同解。

Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式分別為：?(k?1)1?(k?1)1(k)(k)???x?4?xx1??4?x22?1?33???(k?1)1?(k?1)1(k)(k?)??x?4?x和?2?x2??4?x1?133??11(k?1)(k)(k?1)(k?1)?x3?x3????7?2x1(k)?x2??7?2x1(k?1)?x2??44??

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四、（15分）對于如下求解一階常微分方程初值問題u?(t)?f(t,u)，

u(t0)?u0的數(shù)值方法

11hun?2?un?1?un??3fn?2?8fn?1?fn?

228①證明其收斂性；求出它的局部截斷誤差主項(xiàng)及絕對穩(wěn)定區(qū)間；②要用此方法解u???20u，u(0)?1。為使方法絕對穩(wěn)定，求出步長h的

-4-

取值范圍并以u0?1，u1?1初值，h?0.01為步長，求出u(0.02)的近似值u2。

1113解：（1）注意，?0??,?1??,?2?1,?0?,?1?1,?2?，從而

228811?C????1?0?022?113?C1?2??(?1?)?0288??C?1(?1?4)?(1?2?3)?0?2228?1113?C3?(??23)?(1?22?)?06228??1113143C?(??2)?(1?2?)???44!23!848?故此為線性隱式二步三階法，其局部截斷誤差主項(xiàng)為：?14(4)hu(tn)。481111??（2）令，?(?)??2???????1??????0，得?1?1，?2??，

2222??滿足根條件；又方法階p?3?1，故此差分格式收斂。

（3）又對于模型問題：u???u(??0),取h??h

?1??13??h???h???3??1??11?????28??0?(?)?h?(?)??1?h??2???h??????h??2??2?1?3h??1?3h??8??2??28?????8??8??而要使得??1

的充要條件為：

111?h?h28?1?4?h?22?1?338?3h1?h1?h88而1?4?h4?8h4?4h?2自然成立?，F(xiàn)在再由