2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊(cè) 　第六章 1-2　乘法公式與事件的獨(dú)立性 學(xué)案

1.2乘法公式與事件的獨(dú)立性[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.結(jié)合古典概型，會(huì)用乘法公式計(jì)算概率.2.理解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念.3.理解事件的獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系．導(dǎo)語(yǔ)常言道：“三個(gè)臭皮匠能抵諸葛亮．”怎樣從數(shù)學(xué)上來(lái)解釋呢？將問(wèn)題具體化：假如對(duì)某事件諸葛亮想出計(jì)謀的概率為0.88，三個(gè)臭皮匠甲、乙、丙想出計(jì)謀的概率各為0.6,0.5,0.5.問(wèn)這三個(gè)臭皮匠能勝過(guò)諸葛亮嗎？一、概率的乘法公式問(wèn)題1小明在登錄郵箱時(shí)發(fā)現(xiàn)忘了密碼的最后一位，只記得是數(shù)字0～9中的任意一個(gè)．那么他在嘗試登陸時(shí)，第一次失敗，第二次成功的概率是多少？提示eq\f(9,10)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,10).知識(shí)梳理乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)(其中P(A)>0)，P(AB)＝P(B)P(A|B)(其中P(B)>0)．例1一個(gè)盒子中有6個(gè)白球、4個(gè)黑球，從中不放回地每次任取1個(gè)，連取2次．求：(1)第一次取得白球的概率；(2)兩次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．解設(shè)事件A表示“第一次取得白球”，事件B表示“第二次取得白球”，則事件eq\x\to(A)表示“第一次取得黑球”，由題意得，(1)P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq\f(6,10)×eq\f(5,9)＝eq\f(1,3).(3)P(eq\x\to(A)B)＝P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(4,10)×eq\f(6,9)＝eq\f(4,15).反思感悟概率的乘法公式(1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想．(2)該概率公式可以推廣為P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0.跟蹤訓(xùn)練1已知某品牌的手機(jī)從1m高的地方掉落時(shí)，屏幕第一次未碎掉的概率為0.5，當(dāng)?shù)谝淮挝此榈魰r(shí)第二次也未碎掉的概率為0.3，試求這樣的手機(jī)從1m高的地方掉落兩次后屏幕仍未碎掉的概率．解設(shè)事件Ai表示“第i次掉落手機(jī)屏幕沒(méi)有碎掉”，i＝1,2，則由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15.即這樣的手機(jī)從1m高的地方掉落兩次后屏幕仍未碎掉的概率為0.15.二、條件概率與相互獨(dú)立事件的關(guān)系問(wèn)題2三張獎(jiǎng)券中只有一張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)分別由三名同學(xué)有放回地抽取，事件A為“第一名同學(xué)沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”，事件B為“最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”．事件A的發(fā)生會(huì)影響事件B發(fā)生的概率嗎？提示有放回地抽取獎(jiǎng)券時(shí)，最后一名同學(xué)也是從原來(lái)的三張獎(jiǎng)券中任抽一張，因此第一名同學(xué)的抽獎(jiǎng)結(jié)果對(duì)最后一名同學(xué)的抽獎(jiǎng)結(jié)果沒(méi)有影響，即事件A的發(fā)生不會(huì)影響事件B發(fā)生的概率．于是P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)．知識(shí)梳理1．如果事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒(méi)有影響，這樣的兩個(gè)事件就叫作相互獨(dú)立事件．2．兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于這兩個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(AB)＝P(A)P(B)．注意點(diǎn)：如果A與B相互獨(dú)立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨(dú)立．例2判斷下列事件是否相互獨(dú)立：(1)甲組有3名男生，2名女生；乙組有2名男生，3名女生．現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；(2)容器內(nèi)盛有5個(gè)白乒乓球和3個(gè)黃乒乓球，“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”與“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的還是白球”．解(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對(duì)“從乙組中選出1名女生”這一事件是否發(fā)生沒(méi)有影響，所以?xún)蓚€(gè)事件相互獨(dú)立．(2)“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”的概率為eq\f(5,8)，若這一事件發(fā)生了，則“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的仍是白球”的概率為eq\f(4,7)；若前一事件沒(méi)有發(fā)生，則后一事件發(fā)生的概率為eq\f(5,7)，可見(jiàn)，前一事件是否發(fā)生，對(duì)后一事件發(fā)生的概率有影響，所以二者不相互獨(dú)立．反思感悟兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的判斷(1)直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判斷兩個(gè)事件的發(fā)生是否相互影響．(2)定義法：當(dāng)P(AB)＝P(A)P(B)時(shí)，事件A，B相互獨(dú)立．(3)條件概率法：當(dāng)P(A)>0時(shí)，可用P(B|A)＝P(B)判斷．跟蹤訓(xùn)練2設(shè)袋中有5個(gè)紅球，3個(gè)黑球，2個(gè)白球，試按：(1)有放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率；(2)不放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率．解設(shè)事件A表示“第一次未摸到白球”，事件B表示“第二次未摸到白球”，事件C表示“第三次摸到白球”，則事件“第三次才摸到白球”可表示為ABC.(1)有放回時(shí)，P(A)＝eq\f(8,10)，P(B|A)＝eq\f(8,10)，P(C|AB)＝eq\f(2,10)，P(ABC)＝P(C|AB)P(B|A)P(A)＝eq\f(2,10)×eq\f(8,10)×eq\f(8,10)＝eq\f(16,125).(2)不放回時(shí)，P(A)＝eq\f(8,10)，P(B|A)＝eq\f(7,9)，P(C|AB)＝eq\f(2,8)，P(ABC)＝P(C|AB)P(B|A)P(A)＝eq\f(2,8)×eq\f(7,9)×eq\f(8,10)＝eq\f(7,45).三、相互獨(dú)立事件發(fā)生的概率例3根據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，某市車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)的概率為0.6，購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)與購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)相互獨(dú)立．(1)求一位車(chē)主同時(shí)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)的概率；(2)求一位車(chē)主購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率．解記事件A表示“購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)”，事件B表示“購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)”，則由題意得A與B，A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(B)與eq\x\to(A)都是相互獨(dú)立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.(1)記事件C表示“同時(shí)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)”，則C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.(2)記事件D表示“購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)”，則D＝eq\x\to(A)B，所以P(D)＝P(eq\x\to(A)B)＝P(eq\x\to(A))P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.反思感悟求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟(1)首先確定各事件是相互獨(dú)立的．(2)再確定各事件會(huì)同時(shí)發(fā)生．(3)先求每個(gè)事件發(fā)生的概率，再求兩個(gè)概率之積．跟蹤訓(xùn)練3小王某天乘火車(chē)從重慶到上海去辦事，若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.8,0.7,0.9，假設(shè)這三列火車(chē)之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響．求：(1)這三列火車(chē)恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率；(2)這三列火車(chē)至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率．解用A，B，C分別表示“這三列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)”的事件，則P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(eq\x\to(A))＝0.2，P(eq\x\to(B))＝0.3，P(eq\x\to(C))＝0.1.(1)由題意得A，B，C之間互相獨(dú)立，所以恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率為P1＝P(eq\x\to(A)BC)＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(ABeq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(B)P(C)＋P(A)P(eq\x\to(B))P(C)＋P(A)P(B)P(eq\x\to(C))＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)三列火車(chē)至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率為P2＝1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.1．知識(shí)清單：(1)概率乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)．(2)事件A與事件B相互獨(dú)立?P(AB)＝P(A)P(B)．2．方法歸納：正難則反．3．常見(jiàn)誤區(qū)：判斷事件是否為獨(dú)立事件．1．袋內(nèi)有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中不放回地摸球，記事件A表示“第一次摸得白球”，用事件B表示“第二次摸得白球”，則A與B是()A．互斥事件 B．相互獨(dú)立事件C．對(duì)立事件 D．不相互獨(dú)立事件答案D解析根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件的定義可知，A與B不是相互獨(dú)立事件．2．已知P(B|A)＝eq\f(1,3)，P(A)＝eq\f(2,5)，則P(AB)等于()A.eq\f(5,6)B.eq\f(9,10)C.eq\f(2,15)D.eq\f(1,15)答案C解析P(AB)＝P(B|A)P(A)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15).3．甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.8，則其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率為()A．0.64B．0.32C．0.56D．0.48答案B解析設(shè)事件A為“甲擊中目標(biāo)”，事件B為“乙擊中目標(biāo)”，“兩人各射擊一次，恰好有一人擊中目標(biāo)”包括兩種情況：一種是甲擊中乙未擊中(即Aeq\x\to(B))，另一種是甲未擊中乙擊中(即eq\x\to(A)B)，根據(jù)題意，這兩種情況在各射擊一次時(shí)不可能同時(shí)發(fā)生，即事件Aeq\x\to(B)與eq\x\to(A)B是互斥的，所以所求概率為P＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.32.4．國(guó)慶節(jié)放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5).假定