專題06 三角函數(shù)與解三角形（選填題9種考法）（解析版）

專題06三角函數(shù)與解三角形（選填題9種考法）考法一三角函數(shù)的定義【例1-1】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點繞著原點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，點的橫坐標(biāo)為___________.【答案】【解析】由題意得,設(shè)與x軸正半軸的夾角為，則，則與x軸正半軸的夾角為，故點的橫坐標(biāo)為，故答案為：【例1-2】（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模擬預(yù)測）已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為x軸正半軸，終邊經(jīng)過點，則______．【答案】【解析】由三角函數(shù)的定義可得，故答案為：.【例1-3】（2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與以點O為圓心的單位圓交于點，則的值為______.【答案】【解析】由題意知，，所以.故答案為：.【例1-4】（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知為角終邊上一點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知為角終邊上一點，則，故，故，故選：A【例1-5】（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知點為角終邊上一點，若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得：，，，因為，所以，因為，所以，故，所以.故選：B考法二同角三角函數(shù)【例2-1】（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為可得：當(dāng)時，，充分性成立；當(dāng)時，，必要性不成立；所以當(dāng)，是的充分不必要條件.故選：A.【例2-2】（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將式子進(jìn)行齊次化處理得：．故選：C．【例2-3】（2023·四川資陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由①得，即，因為，所以，，則，即②，聯(lián)立①②可得：，則.故選：C【例2-4】（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，得，得，可得，，，，又，得，解得.故選：A考法三誘導(dǎo)公式及恒等變化【例3-1】（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，.故選：D.【例3-2】（2023·甘肅蘭州·?？家荒＃┑扔冢?/p>

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】因為，所以.故選：C.【例3-3】（2023·遼寧·遼寧實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）（多選）設(shè)為第一象限角,,則（

）A．B．C．D．【答案】BD【解析】由題意得,則,若在第四象限,則,所以也是第一象限角,即,,A項錯誤;,B項正確;,C項錯誤;,D項正確.故選:BD.【例3-4】（2023·福建南平）若是第二象限角，，則___________.【答案】【解析】因為是第二象限角，且，所以為第三象限角，所以，所以.故答案為：【例3-5】（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若銳角、滿足，，則_________．【答案】【解析】因為，，則，，由、，則，，所以，，，所以.故答案為：.【例3-6】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）已知，則【答案】【解析】由可得，，由二倍角公式可得；即故選：A考法四三角函數(shù)的性質(zhì)【例4-1】（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：①的最小正周期為；②在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時，的取值范圍為；④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．以上四個說法中，正確的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以的最小正周期為，①不正確；令，而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增，②正確；因為，，所以，③不正確；由于，所以的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，④不正確．故選：A．【例4-2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？家荒＃┖瘮?shù)（，）的部分圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需將的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)（其中，的圖象，可得，，再根據(jù)五點法作圖，可得，，．故把圖象向右平移個單位長度，可得到的圖象，故選：D．【例4-3】（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（

）①的圖象關(guān)于直線對稱②的圖象關(guān)于點對稱③將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象④若方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是A．①④ B．②④ C．③④ D．②③【答案】B【解析】由函數(shù)的圖象可得，由，解得，又函數(shù)過點，所以，，又，得，所以函數(shù)，當(dāng)時，，即的圖象關(guān)于點對稱，故②正確；當(dāng)時，，故①錯誤；將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，故③錯誤；當(dāng)，則，令，解得，此時，即，令，解得，此時，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，即與在上有兩個交點，所以，故④正確；故選：B【例4-4】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).若，且在區(qū)間上單調(diào)，則（

）A． B．或4 C．4 D．或【答案】B【解析】由，得函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱；由，得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，解得，即，得.因為在區(qū)間上單調(diào)，所以，即，所以，解得.又，所以或.當(dāng)時，，則，得.由，得，此時，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，則，得.由，得，此時，當(dāng)時，，符合題意.綜上，或.故選：B.【例4-5】（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù) B．當(dāng)時，C．的最大值是1 D．的圖象關(guān)于直線對稱【答案】BCD【解析】對于A,不恒成立，所以不是奇函數(shù)，故A錯誤；對于B，，當(dāng)時，所以，所以，故B正確；對于C，令，則，所以，所以原函數(shù)可換元為，令解得，令解得或，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，所以函數(shù)的最大值為，故C正確；對于D，，，因為所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故D正確，故選：BCD.【例4-6】（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）（多選）已知函數(shù)，其中、.則下列說法中正確的有（

）.A．的最小值為B．的最大值為C．方程在上有三個解D．在上單調(diào)遞減【答案】BC【解析】，即，其中，，.由，即，，所以當(dāng)時，，即，，所以當(dāng)，即時，，當(dāng)，即時，；當(dāng)時，，即，，所以當(dāng)，即時，，由于，所以無最小值.綜上所述，的最小值為，最大值為，故A錯誤，B正確；由，所以當(dāng)時，，即，即或，，所以或，.當(dāng)時，，即，即或，，所以，，綜上所述，方程在上有三個解，故C正確；取時，，令，即；令，即；由于，所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)在上有增有減，則在上有增有減，故D錯誤.故選：BC.考法五正余弦定理【例5-1】（2021·全國·高考真題）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【解析】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【例5-2】（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測）（多選）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則B的值為（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】根據(jù)余弦定理可知，代入，可得，即，因為，所以或，故選：BD.【例5-3】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）克羅狄斯·托勒密是古希臘著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的對角互補時取等號，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為的圓，，，，則四邊形ABCD的周長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】連接AC，BD．由，及正弦定理，得，解得，．在中，，，，所以．因為四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為的圓，它的對角互補，所以，所以,所以，所以四邊形ABCD的周長為．故選：A．【例5-4】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知中，點D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時，________．【答案】【解析】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)取最小值時，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.[方法四]：判別式法設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時所以當(dāng)取最小值時，，即.【例5-5】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，，則的面積等于______．【答案】【解析】由，①知，，由余弦定理，得．又，所以．由及正弦定理，得②．聯(lián)立①②，得，所以的面積為．故答案為：．【例5-6】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，滿足，且，則周長的取值范圍為______________．【答案】【解析】在中，由及正弦定理得：，而，于是，有，而，，因此，由余弦定理得，即有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，從而，而，則，所以周長的取值范圍為.故答案為：【例5-7】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知在中，角所對邊分別為，滿足，且，則的取值范圍為______.【答案】【解析】由題意在中，滿足，即,即，而，故，又,則，同理，故，又,故，則，故答案為：考法六實際應(yīng)用題【例6-1】（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）中國最早的天文觀測儀器叫“圭表”，最早裝置圭表的觀測臺是西周初年在陽城建立的周公測景（影）臺．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的桿子，太陽光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了周代，使用圭表有了規(guī)范，桿子（表）規(guī)定為八尺長．用圭表測量太陽照射在竹竿上的影長，可以判斷季節(jié)的變化，也能用于丈量土地．同一日子內(nèi)，南北兩地的日影長短倘使差一寸，它們的距離就相差一千里，所謂“影差一寸，地差一尺”（1尺＝10寸）．記“表”的頂部為A，太陽光線通過頂部A投影到“圭”上的點為B．同一日子內(nèi)，甲地日影長是乙地日影子長的兩倍，記甲地中直線AB與地面所成的角為，且．則甲、乙兩地之間的距離約為（

）A．15千里 B．14千里 C．13千里 D．12千里【答案】A【解析】由題意可知甲地的日影子長為尺，從而得到乙地的日影子長為1.5尺，則甲、乙兩地之間的距離約為千里．故選：A【例6-2】（2023·四川綿陽·綿陽中學(xué)校考模擬預(yù)測）月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為“敦煌八景”之一，得名“月泉曉澈”，因其形酷似一彎新月而得名．如圖所示，某月牙泉模型的邊緣都可以看作是圓弧，兩段圓弧可以看成是的外接圓和以AB為直徑的圓的一部分，若，AB的長約為，則該月牙泉模型的面積約為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)外接圓圓心為，如圖，半徑為，則，，因此，中弓形面積為，從而陰影部分面積為．故選：A．【例6-3】（2023·四川南充·四川省南部中學(xué)校考模擬預(yù)測）一艘海輪從處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿東偏南方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處．在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么B、C兩點間的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【解析】依題意，如圖，在中，，則，由正弦定理得，即，因此（海里），所以兩點間的距離是海里．故選：A【例6-4】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測量?畫圓和方形圖案的工具.敦煌壁畫就有伏羲女媧手執(zhí)規(guī)矩的記載（如圖（1））.今有一塊圓形木板，以“矩”量之，如圖（2）.若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內(nèi)角滿足，則這塊四邊形木板周長的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題圖（2）得，圓形木板的直徑為.設(shè)截得的四邊形木板為，設(shè)，，，，，，如下圖所示.由且可得，在中，由正弦定理得，解得.在中，由余弦定理，得，所以，，即，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.在中，，由余弦定理可得，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，因此，這塊四邊形木板周長的最大值為.故選：D.考法七三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合【例7-1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象．若是函數(shù)的一個極值點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，化簡得，所以．又是函數(shù)的一個極值點，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最值，所以，解得．因為，所以．故選：A．【例7-2】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）已知，函數(shù)在上恰有3個極大值點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，因為在上恰有3個極大值點，由，得，又函數(shù)的極大值點滿足，所以，解得.故選：C.【例7-3】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意可得，因為，所以，要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：則，解得，即．故選：C．【例7-4】（2023·全國·模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)在上恰有三個零點，則（

）A．的最小值為 B．在上只有一個極小值點C．在上恰有兩個極大值點 D．在上單調(diào)遞增【答案】BD【解析】對于A選項，因為，當(dāng)時，，由函數(shù)在上恰有三個零點，所以，，解得，所以，的最小值為，A錯；對于B選項，由A選項知，，則當(dāng)，即時，函數(shù)取得極小值，即在上只有一個極小值點，B對；對于C選項，當(dāng)時，函數(shù)在上只有一個極大值點，C錯；對于D選項，當(dāng)時，，因為，所以，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，D對.故選：BD.考法八扇形的弧長與面積【例8-1】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當(dāng)時，（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，連接，因為是的中點，所以，又，所以三點共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.【例8-2】（2023·吉林·統(tǒng)考二模）（多選）如圖，A，B是在單位圓上運動的兩個質(zhì)點.初始時刻，質(zhì)點A在（1，0）處，質(zhì)點B在第一象限，且.質(zhì)點A以的角速度按順時針方向運動，質(zhì)點B同時以的角速度按逆時針方向運動，則（

）A．經(jīng)過1后，扇形AOB的面積為B．經(jīng)過2后，劣弧的長為C．經(jīng)過6后，質(zhì)點B的坐標(biāo)為D．經(jīng)過后，質(zhì)點A，B在單位圓上第一次相即【答案】BD【解析】對于，由題意可知：經(jīng)過1后，，所以此時扇形AOB的面積為，故選項錯誤；對于，經(jīng)過2后，，所以此時劣弧的長為，故選項正確；對于，經(jīng)過6后，質(zhì)點轉(zhuǎn)過的角度為，結(jié)合題意，此時質(zhì)點為角的終邊與單位圓的交點，所以質(zhì)點B的坐標(biāo)為，故選項錯誤；對于，經(jīng)過后，質(zhì)點轉(zhuǎn)過的角度為，質(zhì)點轉(zhuǎn)過的角度為，因為，所以經(jīng)過后，質(zhì)點，在單位圓上第一次相遇，故選項正確，故選：.考法九三角函數(shù)與其他知識的綜合運用【例9-1】（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，，，所以或，又，所以，所以，所以，故選：B.【例9-2】（2023·四川南充·四川省南部中學(xué)?？寄M預(yù)測）若分別是與的等差中項和等比中項，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意可得，，且，所以，即，解得又因為，所以，所以故選:A【例9-3】（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；故選：D1．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可得，即充分性成立；當(dāng)時，可得；所以必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，又，所以，所以，即，因為，所以.故選：D.3．（2023·內(nèi)蒙古·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】關(guān)于直線對稱，，解得：，當(dāng)時，取得最小值.故選：A.4．（2023·內(nèi)蒙古·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角所對應(yīng)的邊分別是，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由余弦定理得：，即，解得：（舍）或，.故選：D.5．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）下列是函數(shù)圖像的對稱軸的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，顯然，，，，所以函數(shù)圖像的對稱軸的是，ABC錯誤，D正確.故選：D6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】,故選：A.7．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【解析】因為，所以把函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數(shù)的圖象．故選：D.8（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】因為.對于A選項，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，A錯；對于B選項，當(dāng)時，，則在上不單調(diào)，B錯；對于C選項，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，C對；對于D選項，當(dāng)時，，則在上不單調(diào)，D錯.故選：C.9．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對稱，則，解得，又，故當(dāng)時，的最小值為.故選：C.10．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（

）A．和 B．和2 C．和 D．和2【答案】C【解析】由題，，所以的最小正周期為，最大值為.故選：C．11．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，對于函數(shù)，由，解得，取，可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，則，，A選項滿足條件，B不滿足條件；取，可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，且，，CD選項均不滿足條件.故選：A.12．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【解析】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因為函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A13（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)是A．奇函數(shù)，且最大值為2 B．偶函數(shù)，且最大值為2C．奇函數(shù)，且最大值為 D．偶函數(shù)，且最大值為【答案】D【解析】由題意，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以當(dāng)時，取最大值.故選：D.14．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）把函數(shù)圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】解法一：函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應(yīng)當(dāng)?shù)玫降膱D象，根據(jù)已知得到了函數(shù)的圖象，所以，令,則,所以,所以；解法二：由已知的函數(shù)逆向變換，第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象，第二步：圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，即為的圖象，所以.故選：B.15．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.16．（2021·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，解得，，.故選：A.17．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則常數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，當(dāng)時，，則函數(shù)的最大值為，解得.故選：C.18．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）已知角在第四象限內(nèi)，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得，，所以，所以，.又角在第四象限內(nèi)，所以.故選：D.19．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模）已知，且函數(shù)恰有兩個極大值點在，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，，∴，又∵在恰有2個極大值點，∴由正弦函數(shù)圖象可知，，解得：.故選：B.20．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長1與太陽天頂距的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表，根據(jù)三角學(xué)知識可知，晷影長度l等于表高h(yuǎn)與太陽天頂距正切值的乘積，即．對同一“表高”兩次測量，第一次和第二次太陽天頂距分別為，且，若第二次的“晷影長”與“表高”相等，則第一次的“晷影長”是“表高”的（

）A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍【答案】B【解析】依題意，，則，所以第一次的“晷影長”是“表高”的2倍.故選：B21．（2023·全國·模擬預(yù)測）若且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，得，則，因為，因為，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故，所以，所以的最小值是，故選：B22．（2023·四川南充·校考模擬預(yù)測）若銳角滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以，又因為，所以，，所以.故選：A23．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）已知，則（

）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】由，解得，則.故選：C．24．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】變形為，即，因為，所以，，所以，因為，所以，解得：，因為，，解得：.故選：B25．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．在區(qū)間上有極小值C．設(shè)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為m，則D．在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點【答案】D【解析】因為，所以．當(dāng)時，令，解得，則當(dāng)x變化時，，的變化情況如下表所示．x－0＋0－單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以在區(qū)間上的圖象如圖所示．對A，在區(qū)間上單調(diào)遞增，A錯；對B，在區(qū)間上有極大值，無極小值，B錯；對C，在區(qū)間上的最大值為，最小值為，，C錯；對D，在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點，D對.故選：D.26．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中.在已知的條件下，則下列選項中可以確定其值的量為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)圖象可知，函數(shù)的圖象是由向右平移個單位得到的；由圖可知，利用整體代換可得，所以，若為已知，則可求得.故選：B27．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)（，）的圖象過點，且在區(qū)間內(nèi)不存在最值，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的圖象過點，,，即，又，，令，即，當(dāng)時，函數(shù)取最值，在區(qū)間內(nèi)不存在最值，，解得，當(dāng)時，不存在；當(dāng)時，，又，，當(dāng)時，，當(dāng)時，不存在；綜合得的取值范圍是.故選：D.28．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時，，∵在上單調(diào)遞增，∴，∴，即，∴，，，則由得：，解得：.當(dāng)時，滿足題要求.故選：D29．（2023·湖南·模擬預(yù)測）將函數(shù)圖像上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，若對于滿足的，，都有，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可得，若滿足，則和必然一個為極大值點，一個為極小值點，又，則，即，所以，所以．故選：A．30．（2023·陜西·西安市西光中學(xué)校聯(lián)考一模）函數(shù)在上有唯一的極大值，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】方法一：當(dāng)時，，因為函數(shù)在上有唯一的極大值，所以函數(shù)在上有唯一極大值，所以，，解得.故選：C方法二：令，，則，，所以，函數(shù)在軸右側(cè)的第一個極大值點為，第二個極大值點為，因為函數(shù)在上有唯一的極大值，所以，解得.故選：C31（2023·陜西榆林·?？寄M預(yù)測）將函數(shù)的圖像分別向左?向右各平移個單位長度后，所得的兩個圖像的對稱軸重合，則的最小值為（

）A．3 B． C．6 D．【答案】D【解析】∵將函數(shù)的圖像分別向左、向右各平移個單位長度后，所得的兩個函數(shù)圖像的對稱軸重合，故當(dāng)最小時，有

，解得：，故選：D．32．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）近日，吉林市豐滿區(qū)東山頂上新建了一處打卡地朱雀云頂觀景塔，引來廣大市民參觀,某同學(xué)在與塔底水平的A處利用無人機在距離地面21的C處觀測塔頂?shù)母┙菫?，在無人機正下方距離地面1的B處觀測塔頂仰角為，則該塔的高度為（

）A．15 B．16 C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意可得，m，m，所以m；設(shè)塔頂為點，作于，如下圖所示：易知，所以，所以m，同理m，即塔高m；所以該塔的高度為16.故選：B33．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個極值點C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線【答案】AD【解析】由題意得：，所以，，即，又，所以時，，故．對A，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對B，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點；對C，當(dāng)時，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．34．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）已知為坐標(biāo)原點，點，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一般來說故錯誤；故選：AC35．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）（多選）函數(shù)（，）的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱C．函數(shù)在單調(diào)遞減D．函數(shù)是偶函數(shù)【答案】AB【解析】根據(jù)函數(shù)圖象可得，即函數(shù)的最小正周期為，可得，即A正確；又因為函數(shù)圖象過，所以，可得，又可得，所以；將代入可得，所以為函數(shù)的一條對稱軸，即B正確；當(dāng)時，，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)在上先減后增，所以C錯誤；易得是奇函數(shù)，即D錯誤.故選：AB36．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）（多選）已知函數(shù)，下列命題正確的有（

）A．在區(qū)間上有3個零點B．要得到的圖象，可將函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度C．的周期為，最大值為1D．的值域為【答案】BC【解析】對于A項，由已知可得，.因為，所以，當(dāng)或時，即或時，有，所以在區(qū)間上有2個零點，故A項錯誤；對于B項，將函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度得到函數(shù)，故B項正確；對于C項，由已知可得，，所以，的周期，最大值為，故C項正確；對于D項，.令，，，則.解，可得.解，可得，所以在上單調(diào)遞增；解，可得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.且，，，.所以，當(dāng)時，有最小值；當(dāng)時，有最大值.所以，的值域為，故D項錯誤.故選：BC.37．（2023·山東威?！そy(tǒng)考一模）（多選）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則（

）A． B．C．在上單調(diào)遞增 D．若為偶函數(shù)，則【答案】AC【解析】由圖像可知A=1,,則，則，故，且過點，則，，因為，所以，故，故A正確，B錯誤；，令，在時單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，故C正確；為偶函數(shù)，則，即，故D錯誤；故選：AC.38．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）（多選）已知函數(shù)，其圖象相鄰對稱軸間的距離為，點是其中一個對稱中心，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)圖象的一條對稱軸方程是C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．將函數(shù)圖象上所有點橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)縮短為原來的一半，再把得到的圖象向左平移個單位長度，可得到正弦函數(shù)的圖象【答案】AB【解析】已知函數(shù)（，），其圖像相鄰對稱中軸間的距離為，故最小正周期,，點是其中一個對稱中心，有，,，由，∴，可以求得.最小正周期，故選項正確；由于，所以是函數(shù)圖象的一條對稱軸方程，故選項正確；時，正弦曲線的先增后減，故選項錯誤；將函數(shù)圖像上所有點橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)縮短為原來的一半，再把得到的圖像向左平移個單位長度，可得到，選項D錯誤.故選：.39．（2023·全國·模擬預(yù)測）（多選）下列是函數(shù)圖象的對稱軸方程的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】，因為函數(shù)的圖象的對稱軸方程為，即，所以的圖象的對稱軸方程為，易知BC正確．故答案為：BC40．（2023·全國·模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為C．函數(shù)在區(qū)間上取得最大值時D．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱【答案】CD【解析】由題意得，，A選項：函數(shù)的最小正周期，所以A錯誤；B選項：令，得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以B錯誤；C選項：當(dāng)時，，則當(dāng)，即時，函數(shù)取得最大值，所以C正確；D選項：由，得，取，得，故函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以D正確.故選：CD41．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）（多選）已知函數(shù)，將的圖像上所有點向右平移個單位長度，然后橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像．若為奇函數(shù)，且最小正周期為，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．不等式的解集為D．方程在上有2個解【答案】ACD【解析】根據(jù)題意可得，，又因為最小正周期為，則，且，則，即，又因為為奇函數(shù)，則解得，且，所以當(dāng)時，，所以，則，對于A，當(dāng)時，，所以點是的對稱中心，故正確；對于B，令，解得，所以不是的子集，故錯誤；對于C，因為，即，所以，解得，故正確；對于D，分別畫出與在的圖像，通過圖像即可得到共有兩個交點，故正確.故選:ACD42（2023·全國·模擬預(yù)測）（多選）密位制是度量角的一種方法，把一周角等分為6000份，每一份叫做1密位的角.在角的密位制中，單位可省去不寫，采用四個數(shù)碼表示角的大小，在百位數(shù)與十位數(shù)之間畫一條短線，如7密位寫成“0—07”，478密位寫成“4—78”.若，則角可取的值用密位制表示可能是（

）A．10—50 B．2—50 C．13—50 D．42—50【答案】BD【解析】，，，，即，或，對于選項A：密位制10—50對應(yīng)的角的弧度制為，不符合題意，故選項A錯誤；對于選項B：密位制2—50對應(yīng)的角的弧度制為，符合題意，故選項B正確；對于選項C：密位制13—50對應(yīng)的角的弧度制為，不符合題意，故選項C錯誤；對于選項D：密位制42—50對應(yīng)的角的弧度制為，符合題意，故選項D正確；綜上所述，選項BD正確，故選：BD.43．（2023·吉林·長春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)（）的最小正周期滿足，且是的一個對稱中心，則（

）A． B．的值域是C．是的一條對稱軸 D．是的一個零點【答案】BC【解析】因為函數(shù)的最小正周期滿足，且，則，解得：，令，，解得：，，則函數(shù)（）的對稱中心為（），又有是的一個對稱中心，所以，，即，，所以，所以A選項錯誤；則函數(shù)，當(dāng)時，，則，所以B選項正確；當(dāng)時，，則是函數(shù)的一條對稱軸，所以C選項正確；當(dāng)時，，則不是函數(shù)的零點，所以D選項錯誤；故選：BC.44．（2023·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)，則下列說法中正確的有（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B．函數(shù)圖象的一條對稱軸是C．若，則函數(shù)的最小值為D．若，，則的最小值為【答案】BCD【解析】在的圖象上取一點，其關(guān)于點對稱的點不在的圖象上，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點對稱，故A不正確；因為，所以函數(shù)圖象的一條對稱軸是，故B正確；若，則，所以，故C正確；因為，所以，所以，故D正確.故選：BCD45．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．【答案】.【解析】因為，所以．故答案為：.46．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為____________．【答案】【解析】因為，（，）所以最小正周期，因為，又，所以，即，又為的零點，所以，解得，因為，所以當(dāng)時；故答案為：47．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）若，則__________，_________．【答案】

【解析】[方法一]：利用輔助角公式處理∵，∴，即，即，令，，則，∴，即，∴，則.故答案為：；.[方