幾何概型教案

PAGEPAGE6學(xué)科數(shù)學(xué)必修3時(shí)間2013.12.13班級(jí)二（8）班姓名【學(xué)習(xí)目標(biāo)】正確理解幾何概型的概念及其特點(diǎn).掌握幾何概型的概率公式.會(huì)根據(jù)幾何概型與古典概型的區(qū)別和聯(lián)系來判別某種題型是古典概型還是幾何概型.會(huì)進(jìn)行簡單的幾何概型的計(jì)算.【重點(diǎn)、難點(diǎn)】重點(diǎn)：幾何概型概念的理解和公式的運(yùn)用；難點(diǎn)：把求未知量的問題轉(zhuǎn)化為幾何概型求概率的問題。幾何概型與古典概型的異同概率類型不同點(diǎn)相同點(diǎn)幾何概型試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個(gè)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性一樣，即滿足等可能性古典概型試驗(yàn)中的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè)【預(yù)習(xí)檢測】1.在區(qū)間[-1，2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則的概率為

.2.如圖，小球隨機(jī)的掉到木板上，木板面積是中間圖形面積的4倍,求小球掉在中間圖形區(qū)域內(nèi)的概率_____________。

3.一個(gè)質(zhì)地均勻的陀螺的圓周上均勻地刻有0,1,2,3,4的數(shù)字，在桌面上旋轉(zhuǎn)它，求當(dāng)它停下來時(shí)，圓周與桌面接觸處的刻度位于區(qū)間[2,3]上的概率_____________。【學(xué)習(xí)過程】命題方向1與長度有關(guān)的幾何概型問題P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長度,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度)[例1]如圖，A、B兩盞路燈之間的距離是30米，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈C、D，問A與C、D，B與C、D之間的距離都不小于10米的概率是多少？[解析]記事件E：“A與C、D，B與C、D之間的距離都不小于10米”，把AB三等分，由于中間長度為30×eq\f(1,3)＝10(米)，所以P(E)＝eq\f(10,30)＝eq\f(1,3).跟蹤練習(xí)1.某汽車站每隔15分鐘就有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)車站的時(shí)刻是任意的，求一位乘客到達(dá)車站后等車時(shí)間大于10分鐘的概率．[解析]設(shè)上輛車于時(shí)刻T1到達(dá)，而下一輛車于時(shí)刻T2到達(dá)，線段T1T2的長度為15，設(shè)T是線段T1T2上的點(diǎn)，且T1T＝5，T2T＝10.如圖所示．記等車時(shí)間大于10分鐘為事件A，則當(dāng)乘客到達(dá)車站的時(shí)刻t落在線段T1T上時(shí)，事件A發(fā)生，區(qū)域T1T2的長度為15，區(qū)域T1T的長度為5.所以P(A)＝eq\f(T1T的長度,T1T2的長度)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).答：乘客等車時(shí)間大于10分鐘的概率是eq\f(1,3).命題方向2與面積有關(guān)的幾何概型問題P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域面積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積)[例2]如圖在墻上掛著一塊邊長為16cm的正方形木板，上面畫了小、中、大三個(gè)同心圓，半徑分別為2cm,4cm,6cm，某人站在3m遠(yuǎn)向此板投鏢．設(shè)投鏢擊中線上或沒有擊中木板時(shí)都不算，可重投，問：(1)投中大圓內(nèi)的概率是多少？(2)投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的概率是多少？(3)投中大圓之外的概率是多少？設(shè)事件A＝“投中大圓內(nèi)”；B＝“投中小圓與中圓形成的圓環(huán)”，C＝“投中大圓之外”．μΩ＝S正方形＝162＝256(cm2)μA＝S大圓＝π×62＝36π(cm2)μB＝S中圓－S小圓＝π×42－π×22＝12π(cm2)μC＝S正方形－S大圓＝256－36π(cm2)．由幾何概率公式得：(1)P(A)＝eq\f(μA,μΩ)＝eq\f(36π,256)＝eq\f(9π,64)，(2)P(B)＝eq\f(μB,μΩ)＝eq\f(12π,256)＝eq\f(3π,64)，(3)P(C)＝eq\f(μC,μΩ)＝eq\f(256－36π,256)＝1－eq\f(9π,64).跟蹤練習(xí)2.向面積為S的△ABC內(nèi)任投一點(diǎn)P，則△PBC的面積小于eq\f(S,2)的概率是________．[解析]如圖，設(shè)△ABC的邊BC上的高為AD，EF為△ABC的中位線，則當(dāng)P點(diǎn)到底邊BC的距離小于eq\f(1,2)AD，即P點(diǎn)落在梯形BEFC中時(shí)，△PBC的面積小于eq\f(S,2)，記“△PBC的面積小于eq\f(S,2)”為事件A，則由幾何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(\f(3,4),1)＝eq\f(3,4).命題方向3與體積有關(guān)的幾何概型問題P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的體積).[例3]有一杯1升的水，其中含有1個(gè)細(xì)菌，用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1升，求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率．[解析]記“小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌”為事件A，則事件A的概率只與取出的水的體積有關(guān)，符合幾何概型的條件.∵小瓶中有0.1升水，原瓶中有1升水，∴由幾何概型求概率的公式得P(A)＝跟蹤練習(xí)3.在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M(1)求M與面ABCD的距離大于eq\f(a,3)的概率；(2)求M與面ABCD及面A1B1C1D1的距離都大于eq\f(a,3)的概率．[解析]V正方體＝a3.(1)所求概率為eq\f(\f(2,3)a3,a3)＝eq\f(2,3).(2)所求概率為eq\f(\f(1,3)a3,a3)＝eq\f(1,3).【當(dāng)堂檢測】1.(2012·高考湖北卷)如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是(A)A．1－eq\f(2,π) B.eq\f(1,2)－eq\f(1,π)C.eq\f(2,π)D.eq\f(1,π)解析：連接AB，由S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC可求出空白部分面積．設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C，令OA＝2.如圖，連接AB，由題意知C∈AB且S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC，所以S空白＝S△OAB＝eq\f(1,2)×2×2＝2.又因?yàn)镾扇形OAB＝eq\f(1,4)×π×22＝π，所以S陰影＝π－2.所以P＝eq\f(S陰影,S扇形OAB)＝eq\f(π－2,π)＝1－eq\f(2,π). 2.在等腰Rt△ABC中，過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求|AM|<|AC|的概率．[錯(cuò)解]在AB上取點(diǎn)C′，使AC′＝AC.在∠ACB內(nèi)作射線CM看作在線段AC′上任取一點(diǎn)M，過C、M作射線CM，則概率為eq\f(AC′,AB)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(2),2).[辨析]雖然在線段AC′上任取一點(diǎn)M是等可能的，但過點(diǎn)C和任取的點(diǎn)所作的射線是不均勻的，因而不能把等可能取點(diǎn)看作等可能作射線，盡管點(diǎn)與射線是一一對(duì)應(yīng)的，因此在確定基本事件時(shí)，一定要注意選擇好觀察角度，注意判斷基本事件發(fā)生的等可能性．[正解]在∠ACB內(nèi)的射線CM是均勻分布的，所以射線CM在任何位置都是等可能的．在AB上取AC′＝AC，則∠ACC′＝67.5°，故滿足條件的概率為eq\f(67.5,90)＝0.75.[點(diǎn)評(píng)]如圖在角AOB內(nèi)任意作射線，則射線落在∠BOR內(nèi)的概率是一定的，但eq\f(CM,AC)，eq\f(DR,AD)，eq\f(BN,BE)的值是變化的．【小結(jié)】一．用幾何概型解簡單試驗(yàn)問題的方法1)適當(dāng)選擇觀察角度，把問題轉(zhuǎn)化為幾何概型；2)把全部基本事件轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域D；3)把隨機(jī)事件A轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域E；4)利用幾何概型概率公式計(jì)算。二．古典概型與幾何概型的異同：同：兩種模型的基本事件發(fā)生的可能性都相等；異：古典概型要求基本事件是有限個(gè)，而幾何概型則要求基本事件有無限多個(gè)課后練習(xí)案（高考鏈接）1.(2011·高考湖南卷)已知圓C：x2＋y2＝12，直線l：4x＋3y＝25.(1)圓C的圓心到直線l的距離為___5_____；(2)圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率為________2.(2012·高考北京卷)設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是(D)A.eq\f(π,4) B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(π,6) D.eq\f(4－π,4)【解析】如圖，平面區(qū)域D是面積為4的正方形，D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的點(diǎn)所組成的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，其面積為4－π，故此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率為eq\f(4－π,4)，故選D.3.(2012·高考遼寧卷)在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積大于20cm2的概率為(C)A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)解析：設(shè)AC＝x，BC＝12－x(0＜x＜12)．面積S＝x·(12－x)＞20，解得2＜x＜10，∴矩形面積大于20cm2的概率為eq\f(10－2,12)＝eq\f(2,3).4.(2011·高考福建卷)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊C