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3.2離散型隨機(jī)變量的方差第六章內(nèi)容索引0102自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)離散型隨機(jī)變量的方差1.離散型隨機(jī)變量X的方差、標(biāo)準(zhǔn)差(1)定義:若離散型隨機(jī)變量X的分布列如表:則(xi-EX)2描述了xi(i=1,2,…,n)相對(duì)于均值EX的偏離程度,而DX=E(X-EX)2=為這些偏離程度的加權(quán)平均,刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值EX的平均偏離程度.我們稱DX為隨機(jī)變量X的方差,其算術(shù)平方根
為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,記作σX.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn表6-3-9(2)意義:隨機(jī)變量的方差DX和標(biāo)準(zhǔn)差σX都反映了隨機(jī)變量的取值偏離于均值
的平均程度.方差(標(biāo)準(zhǔn)差)越小,則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小
;反之,方差(標(biāo)準(zhǔn)差)越大,則隨機(jī)變量的取值越
分散
.1.兩點(diǎn)分布的方差:若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布,則DX=p(1-p).2.若X為隨機(jī)變量,Y=aX+b(其中a,b為常數(shù)),則DY=D(aX+b)=a2DX.2.已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下表:則ξ的均值為
,方差為
.
表6-3-10合作探究釋疑解惑探究一求離散型隨機(jī)變量的方差【例1】
袋中有20個(gè)大小、質(zhì)地相同的球,其中標(biāo)記0的有10個(gè),標(biāo)記n的有n個(gè)(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球,ξ表示所取球的標(biāo)號(hào).(1)求ξ的分布列、均值和方差;(2)若η=aξ+b,Eη=1,Dη=11,試求a,b的值.求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的關(guān)注點(diǎn)
(1)寫(xiě)出離散型隨機(jī)變量的分布列;(2)正確應(yīng)用均值與方差的公式進(jìn)行計(jì)算.探究二離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)【例2】
已知X的分布列如表:(1)求X2的分布列;(2)計(jì)算X的方差;(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.表6-3-111.方差的計(jì)算需要一定的運(yùn)算能力,公式的記憶不能出錯(cuò).2.在隨機(jī)變量X2的均值比較好計(jì)算的情況下,可以將公式DX=E(X-EX)2進(jìn)行化簡(jiǎn),得到DX=E(X2)-(EX)2,運(yùn)用此公式求方差不失為一種比較實(shí)用的方法.3.對(duì)于變量間存在線性關(guān)系的方差,在求解過(guò)程中應(yīng)注意方差性質(zhì)D(aX+b)=a2DX的應(yīng)用,這樣處理既避免了求隨機(jī)變量Y=aX+b的分布列,又避免了繁雜的計(jì)算,簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程.探究三均值、方差在決策中的應(yīng)用【例3】
甲、乙兩名射手在一次射擊中的射中環(huán)數(shù)為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ,η,已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán),且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求ξ,η的分布列;(2)求ξ,η的均值與方差,并以此比較甲、乙的射擊技術(shù).解:(1)由題意得,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.因?yàn)橐疑渲?0,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2,所以乙射中7環(huán)的概率為1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ,η的分布列分別如表:ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)得,Eξ=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2;Eη=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7;Dξ=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96;Dη=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7
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