數(shù)值分析習(xí)題與答案

第一章緒論習(xí)題一1.設(shè)x>0,x*的相對(duì)誤差為δ，求f(x)=lnx的誤差限。解：求lnx的誤差極限就是求f(x)=lnx的誤差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相對(duì)誤差滿足，而，故即2.下列各數(shù)都是通過(guò)四舍五入得到的近似值，試指出它們有幾位有效數(shù)字，并給出其誤差限和相對(duì)誤差限。解：直接根據(jù)定義和式(1.2.2)(1.2.3)則得有5位有效數(shù)字，其誤差限，相對(duì)誤差限有2位有效數(shù)字，有5位有效數(shù)字，3.下列公式如何才比較精確？（1）（2）解：要使計(jì)算較精確，重要是避免兩相近數(shù)相減，故應(yīng)變換所給公式。（1）（2）4.近似數(shù)x*=0.0310,是3位有數(shù)數(shù)字。5.計(jì)算取，運(yùn)用：式計(jì)算誤差最小。四個(gè)選項(xiàng)：第二、三章插值和函數(shù)逼近習(xí)題二、三1.給定的數(shù)值表用線性插值和二次插值計(jì)算ln0.54的近似值并預(yù)計(jì)誤差限.解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并應(yīng)用誤差預(yù)計(jì)（5.8）。線性插值時(shí)，用0.5及0.6兩點(diǎn)，用Newton插值誤差限，因，故二次插值時(shí)，用0.5，0.6，0.7三點(diǎn)，作二次Newton插值誤差限，故2.在-4≤x≤4上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，若用二次插值法求的近似值，要使誤差不超出，函數(shù)表的步長(zhǎng)h應(yīng)取多少?解：用誤差預(yù)計(jì)式（5.8），令因得3.若，求和.解：由均差和導(dǎo)數(shù)關(guān)系于是4.若互異，求的值，這里p≤n+1.解：，由均差對(duì)稱(chēng)性可知當(dāng)有而當(dāng)P＝n＋1時(shí)于是得5.求證.解：解：只要按差分定義直接展開(kāi)得6.已知的函數(shù)表求出三次Newton均差插值多項(xiàng)式，計(jì)算f(0.23)的近似值并用均差的余項(xiàng)體現(xiàn)式預(yù)計(jì)誤差.解：根據(jù)給定函數(shù)表構(gòu)造均差表由式(5.14)當(dāng)n=3時(shí)得Newton均差插值多項(xiàng)式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23)N3(0.23)=0.23203由余項(xiàng)體現(xiàn)式(5.15)可得由于7.給定f(x)=cosx的函數(shù)表用Newton等距插值公式計(jì)算cos0.048及cos0.566的近似值并預(yù)計(jì)誤差解：先構(gòu)造差分表計(jì)算，用n=4得Newton前插公式誤差預(yù)計(jì)由公式（5.17）得其中計(jì)算時(shí)用Newton后插公式（5.18)誤差預(yù)計(jì)由公式（5.19）得這里仍為0.565求一種次數(shù)不高于四次的多項(xiàng)式p(x),使它滿足解：這種題目能夠有諸多辦法去做，但應(yīng)以簡(jiǎn)樸為宜。此處可先造使它滿足，顯然，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A＝，于是9.令稱(chēng)為第二類(lèi)Chebyshev多項(xiàng)式，試求的體現(xiàn)式，并證明是［-1,1］上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式序列。解：因10.用最小二乘法求一種形如的經(jīng)驗(yàn)公式，使它擬合下列數(shù)據(jù)，并計(jì)算均方誤差.解：本題給出擬合曲線，即，故法方程系數(shù)法方程為解得最小二乘擬合曲線為均方程為11.填空題(1)滿足條件的插值多項(xiàng)式p(x)=().(2),則f［1,2,3,4］=()，f［1,2,3,4,5］=().(3)設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)，為對(duì)應(yīng)的四次插值基函數(shù)，則＝()，＝().(4)設(shè)是區(qū)間［0,1］上權(quán)函數(shù)為ρ(x)=x的最高項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式序列，其中，則＝()，＝()答：（1）（2）（3）（4）第4章數(shù)值積分和數(shù)值微分習(xí)題41.分別用復(fù)合梯形公式及復(fù)合Simpson公式計(jì)算下列積分.解本題只要根據(jù)復(fù)合梯形公式（6.11）及復(fù)合Simpson公式（6.13）直接計(jì)算即可。對(duì)，取n=8,在分點(diǎn)處計(jì)算f(x)的值構(gòu)造函數(shù)表。按式（6.11）求出，按式（6.13）求得，積分2.用Simpson公式求積分，并預(yù)計(jì)誤差解：直接用Simpson公式（6.7）得由（6.8）式預(yù)計(jì)誤差，因，故3.擬定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指明求積公式所含有的代數(shù)精確度.(1)(2)(3)解：本題直接運(yùn)用求積公式精確度定義，則可突出求積公式的參數(shù)。（1）令代入公式兩端并使其相等，得解此方程組得，于是有再令，得故求積公式含有3次代數(shù)精確度。（2）令代入公式兩端使其相等，得解出得而對(duì)不精確成立，故求積公式含有3次代數(shù)精確度。（3）令代入公式精確成立，得解得，得求積公式對(duì)故求積公式含有2次代數(shù)精確度。4.計(jì)算積分，若用復(fù)合Simpson公式要使誤差不超出，問(wèn)區(qū)間要分為多少等分?若改用復(fù)合梯形公式達(dá)成同樣精確度，區(qū)間應(yīng)分為多少等分?解：由Simpson公式余項(xiàng)及得即，取n=6，即區(qū)間分為12等分可使誤差不超出對(duì)梯形公式同樣，由余項(xiàng)公式得即取n=255才更使復(fù)合梯形公式誤差不超出5.用Romberg求積算法求積分，取解：本題只要對(duì)積分使用Romberg算法（6.20），計(jì)算到K＝3，成果以下表所示。于是積分，積分精確值為0.713272用三點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式計(jì)算積分.解：本題直接應(yīng)用三點(diǎn)Gauss公式計(jì)算即可。由于區(qū)間為，因此先做變換于是本題精確值用三點(diǎn)Gauss-Chebyshev求積公式計(jì)算積分解：本題直接用Gauss-Chebyshev求積公式計(jì)算即于是，因n=2,即為三點(diǎn)公式，于是，即故8.試擬定常數(shù)A，B，C，及α，使求積公式有盡量高的代數(shù)精確度，并指出所得求積公式的代數(shù)精確度是多少.它與否為Gauss型的求積公式?解：本題仍可根據(jù)代數(shù)精確度定義擬定參數(shù)滿足的方程，令對(duì)公式精確成立，得到由（2）（4）得A=C，這兩個(gè)方程不獨(dú)立。故可令，得（5）由（3）（5）解得，代入（1）得則有求積公式令公式精確成立，故求積公式含有5次代數(shù)精確度。三點(diǎn)求積公式最高代數(shù)精確度為5次，故它是Gauss型的。第五章解線性方程組的直接法習(xí)題五1.用Gauss消去法求解下列方程組.解本題是Gauss消去法解具體方程組，只要直接用消元公式及回代公式直接計(jì)算即可。故2.用列主元消去法求解方程組并求出系數(shù)矩陣A的行列式detA的值解：先選列主元，2行和1行交換得消元3行和2行交換消元回代得解行列式得3.用Doolittle分解法求的解.解：由矩陣乘法得再由求得由解得4.下述矩陣能否作Doolittle分解，若能分解，分解式與否唯一?解：A中，若A能分解，一步分解后，，互相矛盾，故A不能分解，但，若A中1行和2行交換，則可分解為L(zhǎng)U對(duì)B，顯然，但它仍可分解為分解不唯一，為一任意常數(shù)，且U奇異。C可分解，且唯一。5.用追趕法解三對(duì)角方程組Ax=b，其中解：用解對(duì)三角方程組的追趕法公式（3.1.2）和（3.1.3）計(jì)算得6.用平方根法解方程組解：用分解直接算得由及求得7.設(shè)，證明解：即，另首先故設(shè)計(jì)算A的行范數(shù)，列范數(shù)及F-范數(shù)和2范數(shù)解：故設(shè)為上任一種范數(shù)，是非奇異的，定義，證明證明：根據(jù)矩陣算子定義和定義，得令，因P非奇異，故x和y為一對(duì)一，于是10.求下面兩個(gè)方程組的解，并運(yùn)用矩陣的條件數(shù)預(yù)計(jì).，即，即解：記則的解，而的解故而由（3.12）的誤差預(yù)計(jì)得表明預(yù)計(jì)略大，是符合實(shí)際的。11.是非題（若"是"在末尾（）填+,"不是"填-）：題目中（1）若A對(duì)稱(chēng)正定,,則是上的一種向量范數(shù)（）（2）定義是一種范數(shù)矩陣（）（3）定義是一種范數(shù)矩陣（）（4）只要，則A總可分解為A=LU,其中L為單位下三角陣，U為非奇上三角陣（）（5）只要，則總可用列主元消去法求得方程組的解（）（6）若A對(duì)稱(chēng)正定,則A可分解為，其中L為對(duì)角元素為正的下三角陣（）（7）對(duì)任何都有（）（8）若A為正交矩陣，則（）答案：（1）（＋）（2）（－）（3）（＋）（4）（－）（5）（＋）（6）（＋）（7）（－）（8）（＋）第六章解線性方程組的迭代法習(xí)題六證明對(duì)于任意的矩陣A，序列收斂于零矩陣解：由于而故2.方程組(1)考察用Jacobi法和GS法解此方程組的收斂性.(2)寫(xiě)出用J法及GS法解此方程組的迭代公式并以計(jì)算到為止解：由于含有嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，故J法和GS法均收斂。（2）J法得迭代公式是取，迭代到18次有GS迭代法計(jì)算公式為取3.設(shè)方程組證明解此方程的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法同時(shí)收斂或發(fā)散解：Jacobi迭代為其迭代矩陣，譜半徑為，而Gauss-Seide迭代法為其迭代矩陣，其譜半徑為由于，故Jacobi迭代法和Gauss-Seidel法同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。4.下列兩個(gè)方程組Ax=b，若分別用J法及GS法求解，與否收斂?解：Jacobi法的迭代矩陣是即，故，J法收斂、GS法的迭代矩陣為故，解此方程組的GS法不收斂。5.設(shè)，detA≠0，用,b表達(dá)解方程組Ax=f的J法及GS法收斂的充足必要條件.解J法迭代矩陣為，故J法收斂的充要條件是。GS法迭代矩陣為由得GS法收斂得充要條件是6.用SOR辦法解方程組(分別取ω=1.03,ω=1,ω=1.1)精確解，規(guī)定當(dāng)時(shí)迭代終止，并對(duì)每一種ω值擬定迭代次數(shù)解：用SOR辦法解此方程組的迭代公式為取，當(dāng)時(shí)，迭代5次達(dá)成規(guī)定若取，迭代6次得7.對(duì)上題求出SOR迭代法的最優(yōu)松弛因子及漸近收斂速度，并求J法和GS法的漸近收斂速度.若要使那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?解：J法的迭代矩陣為，故，因A為對(duì)稱(chēng)正定三對(duì)角陣，最優(yōu)松弛因子J法收斂速度由于，故若規(guī)定，于是迭代次數(shù)對(duì)于J法，取K＝15對(duì)于GS法，取K＝8對(duì)于SOR法，取K＝58.填空題(1)要使應(yīng)滿足（）.(2)已知方程組，則解此方程組的Jacobi迭代法與否收斂（）.它的漸近收斂速度R(B)=（）.(3)設(shè)方程組Ax=b,其中其J法的迭代矩陣是（）.GS法的迭代矩陣是（）.(4)用GS法解方程組，其中a為實(shí)數(shù)，辦法收斂的充要條件是a滿足（）.(5)給定方程組,a為實(shí)數(shù).當(dāng)a滿足（），且0＜ω＜2時(shí)SOR迭代法收斂.答:(1)(2)J法是收斂的，(3)J法迭代矩陣是，GS法迭代矩陣(4)滿足(5)滿足第七章非線性方程求根習(xí)題七用二分法求方程的正根，使誤差不大于0.05解使用二分法先要擬定有根區(qū)間。本題f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故區(qū)間[1,2]為有根區(qū)間。另一根在[-1,0]內(nèi)，故正根在[1,2]內(nèi)。用二分法計(jì)算各次迭代值如表。其誤差2.求方程在=1.5附近的一種根，將方程改寫(xiě)成下列等價(jià)形式，并建立對(duì)應(yīng)迭代公式.(1)，迭代公式.(2),迭代公式.(3)，迭代公式.試分析每種迭代公式的收斂性，并選用一種收斂最快的辦法求含有4位有效數(shù)字的近似根解：（1）取區(qū)間且，在且，在中，則L<1，滿足收斂定理?xiàng)l件，故迭代收斂。（2），在中，且，在中有，故迭代收斂。（3），在附近，故迭代法發(fā)散。在迭代（1）及（2）中，由于（2）的迭代因子L較小，故它比（1）收斂快。用（2）迭代，取，則3.設(shè)方程的迭代法(1)證明對(duì),都有,其中為方程的根.(2)取=4,求此迭代法的近似根，使誤差不超出,并列出各次迭代值.(3)此迭代法收斂階是多少?證明你的結(jié)論解：（1）迭代函數(shù)，對(duì)有，（2）取，則有各次迭代值取，其誤差不超出（3）故此迭代為線性收斂4.給定函數(shù)，設(shè)對(duì)一切x,存在，并且.證明對(duì)的任意常數(shù),迭代法均收斂于方程的根解：由于，為單調(diào)增函數(shù)，故方程的根是唯一的（假定方程有根）。迭代函數(shù)，。令，則，由遞推有，即5.用Steffensen辦法計(jì)算第2題中(2)、(3)的近似根，精確到解:在(2)中,令,,則有