期中專題05 橢圓、雙曲線、拋物線大題綜合(解析版)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試真題必刷滿分訓(xùn)練(新高考山東專用)_第1頁(yè)
期中專題05 橢圓、雙曲線、拋物線大題綜合(解析版)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試真題必刷滿分訓(xùn)練(新高考山東專用)_第2頁(yè)
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第第頁(yè)試卷第=page11頁(yè),共=sectionpages33頁(yè)期中專題05橢圓、雙曲線、拋物線大題綜合備考秘籍備考秘籍1.利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟:(1)設(shè)直線方程,設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、;(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,得到關(guān)于(或)的一元二次方程,必要時(shí)計(jì)算;(3)列出韋達(dá)定理;(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、(或、)的形式;(5)代入韋達(dá)定理求解2.若直線與圓雉曲線相交于,兩點(diǎn),由直線與圓錐曲線聯(lián)立,消元得到()則:則:弦長(zhǎng)或處理定點(diǎn)問題的思路:(1)確定題目中的核心變量(此處設(shè)為),(2)利用條件找到與過定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系,得到有關(guān)與的等式,(3)所謂定點(diǎn),是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn),使得無論的值如何變化,等式恒成立,此時(shí)要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形,直至找到,①若等式的形式為整式,則考慮將含的式子歸為一組,變形為“”的形式,讓括號(hào)中式子等于0,求出定點(diǎn);②若等式的形式是分式,一方面可考慮讓分子等于0,一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系,可消去變?yōu)槌?shù).處理定值問題的思路:聯(lián)立方程,用韋達(dá)定理得到、(或、)的形式,代入方程和原式化簡(jiǎn)即可.真題訓(xùn)練真題訓(xùn)練一、解答題1.(2022秋·山東青島·高二山東省青島第十九中學(xué)??计谥校?)已知橢圓的焦點(diǎn)為,,點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)點(diǎn),求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知橢圓中,且,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】(1);(2)或.【分析】(1)設(shè)出橢圓方程,代入,結(jié)合,求出,得到橢圓方程;(2)根據(jù),得到,結(jié)合求出,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】(1)顯然橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)橢圓的方程為,則,解得:,橢圓方程為:(2)因?yàn)?,,解得:,又因?yàn)?,所以,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.2.(2022秋·山東濱州·高二校考期中)已知拋物線C:的焦點(diǎn)與橢圓:的一個(gè)焦點(diǎn)重合.(1)求拋物線C的方程;(2)若直線l:交拋物線C于,兩點(diǎn),O為原點(diǎn),求證:.【答案】(1);(2)證明見解析.【分析】(1)由橢圓的焦點(diǎn)得出的值,進(jìn)而得出拋物線C的方程;(2)聯(lián)立直線和拋物線方程,利用韋達(dá)定理結(jié)合數(shù)量積公式證明即可.【詳解】(1)∵橢圓:的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,∴,即.∴拋物線C的方程為:.(2)聯(lián)立方程組消去x,整理得.∴.∴,即,∴,∴.3.(2022秋·山東濟(jì)南·高二濟(jì)南三中??计谥校└鶕?jù)下列條件,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是,,橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和等于10;(2)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過,.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)橢圓定義知再由求得,寫出橢圓方程;(2)設(shè)橢圓方程一般式,且,代入兩點(diǎn)坐標(biāo)求得即可.【詳解】(1)橢圓的焦點(diǎn)在軸上,設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為.∴,∴所求的橢圓方程為.(2)設(shè)所求橢圓的方程為,且,依題意得,解得從而所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.4.(2022秋·山東德州·高二統(tǒng)考期中)已知圓M:,點(diǎn),P是圓M一動(dòng)點(diǎn),若線段PN的垂直平分線與PM交于點(diǎn)Q.(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程C;(2)若點(diǎn)A是曲線C上的動(dòng)點(diǎn),求的最大值(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及橢圓的定義可判斷的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓,即可求解其方程,(2)根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,計(jì)算數(shù)量積,進(jìn)而根據(jù)橢圓的有界性和二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】(1)圓的圓心,半徑為,由題意可知,又點(diǎn)是圓上的點(diǎn),則,且,則,由橢圓的定義可知,點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓,其中,,,則點(diǎn)的軌跡方程;(2)設(shè),則,進(jìn)而①又,所以,將其代入①得,由橢圓的有界性可知,所以當(dāng)時(shí),取最大值5.(2022秋·山東臨沂·高二山東省臨沂第一中學(xué)??计谥校┮阎獧E圓,一組平行直線的斜率是1.(1)這組直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)縱截距的取值范圍;(2)當(dāng)它們與橢圓相交時(shí),求這些直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)所在的直線方程.【答案】(1);(2).【分析】(1)設(shè)直線方程為,將其代入橢圓方程,計(jì)算,即得;(2)根據(jù)韋達(dá)定理,可求得中點(diǎn)坐標(biāo),分析坐標(biāo)即可得到直線方程.【詳解】(1)設(shè)平行直線的方程為,將代入,整理得:,因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn),所以,解得:;(2)令交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,由(1)知:,而,所以線段中點(diǎn)坐標(biāo)為,又知當(dāng)時(shí),中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),故直線的斜率為,∴所在的直線方程:.6.(2022秋·山東青島·高二統(tǒng)考期中)已知橢圓C:,,分別為其左?右焦點(diǎn),短軸長(zhǎng)為2,離心率,過作傾斜角為60°的直線l,直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn).(1)求線段AB的長(zhǎng);(2)求的周長(zhǎng)和面積.【答案】(1);(2)的周長(zhǎng)為,面積為.【分析】(1)由題可得,然后根據(jù)離心率結(jié)合條件可得橢圓方程,進(jìn)而可得直線方程,然后利用韋達(dá)定理法及弦長(zhǎng)公式即得;(2)利用橢圓的定義及三角形面積公式即得.【詳解】(1)∵橢圓的短軸長(zhǎng)為2,∴,又∵,∴,∴橢圓C的方程為:,,,設(shè),,直線l的方程為:,由,可得,所以,,所以;(2)由于,分別為橢圓的左?右焦點(diǎn),所以的周長(zhǎng)為,因?yàn)榈街本€l:的距離為,所以的面積.7.(2022秋·山東濟(jì)南·高二校考期中)已知雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程:.(1)求此雙曲線的漸近線方程;(2)求以原點(diǎn)為頂點(diǎn),以此雙曲線的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線與此拋物線交于兩點(diǎn),求弦的長(zhǎng)度.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,結(jié)合雙曲線漸近線方程公式,可得答案;(2)根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,求得其右頂點(diǎn)的坐標(biāo),利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,由焦點(diǎn)可得方程,寫出直線方程,聯(lián)立寫出韋達(dá)定理,結(jié)合弦長(zhǎng)公式,可得答案.【詳解】(1)由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程:,則,即漸近線方程.(2)由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程:,則其右頂點(diǎn)坐標(biāo)為,由題意可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,其該拋物線焦點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為,聯(lián)立可得,整理可得,設(shè),則,,則.8.(2022秋·山東濟(jì)南·高二統(tǒng)考期中)已知拋物線C:的焦點(diǎn)為F,是拋物線C上的點(diǎn),且.(1)求拋物線C的方程;(2)已知直線l交拋物線C于M,N點(diǎn),且MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為,求的面積.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用焦半徑列出方程,求出,從而得到拋物線方程;(2)先得到直線l的斜率存在,設(shè)直線l的斜率為k,,,,兩式相減,結(jié)合點(diǎn)MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為,求出直線l的方程,聯(lián)立拋物線方程后得到,及直線l與y軸的交點(diǎn)為,從而求出的面積.【詳解】(1)因?yàn)?,所以,故拋物線C的方程為;(2)易知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的斜率為k,,,,則,兩式相減得,整理得.因?yàn)镸N的中點(diǎn)為,所以,所以直線l的方程為,即.聯(lián)立方程組,得,則.因?yàn)橹本€l與y軸的交點(diǎn)為,所以的面積為.9.(2022秋·山東濟(jì)南·高二統(tǒng)考期中)已知橢圓W:的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為,,過且垂直于x軸的直線被橢圓W所截得的線段長(zhǎng)為.(1)求橢圓W的方程;(2)直線與橢圓W交于A,B兩點(diǎn),連接交橢圓W于點(diǎn)C,若,求直線AC的方程.【答案】(1);(2)或.【分析】(1)根據(jù)題意可得,結(jié)合離心率和即可求解;(2)根據(jù)題意可設(shè)直線AC的方程為,,,聯(lián)立橢圓方程,利用韋達(dá)定理表示出,根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出,利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)O到直線AC的距離,結(jié)合三角形面積公式計(jì)算求出t,即可求解.【詳解】(1)由題意知,設(shè)過且垂直于x軸的直線交橢圓于點(diǎn),則,解得,所以,所以.因?yàn)闄E圓W的離心率,所以.因?yàn)?,所以,,故橢圓W的方程為.(2)由題意知,直線AC不垂直于y軸,設(shè)直線AC的方程為,,,聯(lián)立方程組消去x并整理得,所以,,所以.因?yàn)辄c(diǎn)O到直線AC的距離,且O是線段AB的中點(diǎn),所以點(diǎn)B到直線AC的距離為2d,所以.由,解得,所以,故直線AC的方程為,即或.10.(2022秋·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中)已知橢圓的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)已知直線l平行于直線DF,且l與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M,求l的方程【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)橢圓的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為,得到c=4,且另一個(gè)焦點(diǎn)為,再由點(diǎn)在橢圓上,利用橢圓定義求解a即可;(2)根據(jù)題意設(shè)直線l的方程為:,與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)l與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),由求解.【詳解】(1)解:因?yàn)闄E圓的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為,所以c=4,且另一個(gè)焦點(diǎn)為,又點(diǎn)在橢圓上,所以,解得,則,所以橢圓的方程為;(2)由題意,設(shè)直線l的方程為:,由,化簡(jiǎn)得,因?yàn)閘與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以,即,解得,所以直線的方程為:.11.(2022秋·山東臨沂·高二校考期中)已知過拋物線的焦點(diǎn),斜率為的直線交拋物線于,兩點(diǎn),且.(1)求該拋物線的方程;(2)為坐標(biāo)原點(diǎn),求的面積.【答案】(1)(2)【分析】(1)聯(lián)立直線與拋物線方程,由拋物線的定義結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)弦長(zhǎng)后求解(2)解出坐標(biāo),由割補(bǔ)法求解【詳解】(1)拋物線的焦點(diǎn)為,所以直線的方程為,由消去得,所以,由拋物線定義得,即,所以.所以拋物線的方程為.(2)由知,方程,可化為,解得,,故,.所以,.則面積12.(2022秋·山東菏澤·高二校考期中)雙曲線的離心率,且過點(diǎn)(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求與雙曲線有相同漸近線,且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)已知條件建立關(guān)于a、b、c的方程組可解;(2)巧設(shè)與已知雙曲線同漸近線的雙曲線方程為,代入點(diǎn)即可得解.【詳解】(1)因?yàn)殡x心率,所以,又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線C上,所以,聯(lián)立上述方程,解得,,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)所求雙曲線的方程為,因?yàn)樗箅p曲線經(jīng)過點(diǎn),則,即,所以所求雙曲線的方程為,其標(biāo)準(zhǔn)方程為.13.(2022秋·山東青島·高二??计谥校┮阎獧E圓:的離心率為,短軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程;(2)若過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),且為線段的中點(diǎn),求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】(1)由橢圓的性質(zhì)得求解(2)由點(diǎn)差法化簡(jiǎn)后得直線斜率,再求直線的點(diǎn)斜式方程【詳解】(1),,又,所以,,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)設(shè),,則,,兩式相減可得,為線段的中點(diǎn),則,,,,直線的方程為,整理得:.14.(2022秋·山東青島·高二山東省青島第一中學(xué)??计谥校┮阎c(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程;(2)是否存在過點(diǎn)的直線l與雙曲線相交于A,B兩點(diǎn),且滿足P是線段的中點(diǎn)?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)不存在,理由見解析【分析】(1)代入點(diǎn)的坐標(biāo),解方程可得的值,即可得雙曲線方程;(2)假設(shè)存在,設(shè)過的直線方程為:,,兩點(diǎn)的坐標(biāo)為,,,,代入雙曲線方程,再相減,運(yùn)用平方差公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,及斜率公式,即可得到所求直線的斜率,進(jìn)而得到直線方程,代入雙曲線方程,檢驗(yàn)判別式即可判斷.【詳解】(1)解:已知點(diǎn)在雙曲線上所以,整理得:,解得:,則所以雙曲線方程為:.(2)解:由題可知若直線存在則直線的斜率存在,故設(shè)直線的方程為:且設(shè)交點(diǎn)則,兩式相間得:由于為中點(diǎn),則則即有直線的方程:,即檢驗(yàn)判別式為,方程無實(shí)根.故不存在過點(diǎn)的直線與該雙曲線相交A,B兩點(diǎn),且滿足P是線段的中點(diǎn).15.(2022秋·山東青島·高二青島二中??计谥校┤鐖D,點(diǎn)是橢圓的短軸位于軸下方的端點(diǎn),過作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn),若點(diǎn)的坐標(biāo)為,且滿足軸,.(1)求橢圓的方程;(2)橢圓的左頂點(diǎn)為,左焦點(diǎn)為,點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn),求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)由已知求得的坐標(biāo),得到直線方程,求出,的坐標(biāo),得到的坐標(biāo),由,求得,得到的坐標(biāo),把的坐標(biāo)代入橢圓方程求得,則橢圓方程可求;(2)由橢圓方程得,,設(shè),則,按坐標(biāo)運(yùn)算得可轉(zhuǎn)換為關(guān)于的二次函數(shù),由,即可得的取值范圍.【詳解】(1)解:由題意得,的方程為,由,則,,,由,即,即,,又在橢圓上,得,解得,所求橢圓方程;(2)解:由橢圓方程得,則,,設(shè),則所以,且,則由于,所以,即的取值范圍為.16.(2022秋·山東淄博·高二山東省淄博第一中學(xué)??计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中,已知橢圓:的離心率為,且過點(diǎn),為左頂點(diǎn),為下頂點(diǎn),橢圓上有一點(diǎn)且點(diǎn)在第一象限,交軸于點(diǎn),交軸于點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)題意列式求解,即可得方程;(2)設(shè)直線AP的方程,進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)結(jié)合基本不等式求最大值.【詳解】(1)由題意可得,解得,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由(1)可得:設(shè)直線,則,聯(lián)立方程,消去得:,由題意可得,則,∴,即,直線:,令,解得,即,直線:,令,解得,即,則的面積,令,則,∴,∵,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,∴故面積的最大值.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)橢圓性質(zhì)求橢圓方程,考查了直線與橢圓的位置關(guān)系,考查了斜率公式,基本不等式求最值,運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.17.(2022秋·山東濟(jì)南·高二??计谥校┮阎狥1,F(xiàn)2分別為橢圓(0<b<10)的左、右焦點(diǎn),P是橢圓上一點(diǎn).(1)若∠F1PF2=60°,且F1PF2的面積為,求b的值;(2)求|PF1||PF2|的最大值.【答案】(1)8;(2)100.【分析】(1)利用F1PF2的面積得到,再利用余弦定理求解;(2)結(jié)合橢圓的定義,利用基本不等式求解.【詳解】(1)解:由橢圓方程知,a=10,則,由F1PF2的面積為,解得,由余弦定理得,,即,所以,即;(2)由基本不等式得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,所以的最大值為100.18.(2022秋·山東德州·高二統(tǒng)考期中)已知橢圓C:的右焦點(diǎn)為,點(diǎn)Q為橢圓C上任意一點(diǎn),且的最小值為.(1)求橢圓的C標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)橢圓:,過點(diǎn)Q作橢圓C的切線交橢圓于M,N兩點(diǎn),求證:(O為原點(diǎn))的面積為定值,并求出此定值.(注:在橢圓C:上一點(diǎn)的切線方程為)【答案】(1);(2)證明見解析,定值為10.【分析】(1)根據(jù)橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最小值,即可根據(jù)兩點(diǎn)距離求解最值,進(jìn)而得的值,(2)根據(jù)橢圓切線方程,以及直線與橢圓相交,弦長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】(1)設(shè),則,記,由于對(duì)稱軸為,且,且,故在單調(diào)遞減,故當(dāng)時(shí),此時(shí),取最小值為,故的最小值為,故,,故橢圓的方程為,(2)設(shè),則過的切線方程為:,方程為:,聯(lián)立,由于在橢圓上,所以設(shè),當(dāng)切線無斜率時(shí),則方程為,此時(shí)或,故此時(shí);設(shè)切線有斜率時(shí),設(shè)斜率為,且則,故,原點(diǎn)到切線的距離,故,代入得:,綜上,的面積為定值10.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,聯(lián)立方程得韋達(dá)定理,進(jìn)而根據(jù)弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線的距離公式表示三角形的面積,對(duì)計(jì)算能力要求較高.19.(2022秋·山東菏澤·高二統(tǒng)考期中)已知橢圓:過點(diǎn),橢圓以的長(zhǎng)軸為短軸,且與有相同的離心率.(1)求橢圓的方程;(2)已知,為橢圓的兩焦點(diǎn),若點(diǎn)P在橢圓上,且,求的面積.【答案】(1);(2).【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)在橢圓求得方程,結(jié)合橢圓、的關(guān)系寫出橢圓的方程;(2)應(yīng)用橢圓定義及余弦定理可得,再由三角形面積公式求面積.【詳解】(1)由在上,則,可得,所以為,故長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為,故中,且,則,所以為.(2)由題意,在中,而,又,所以,故,所以.20.(2022秋·山東青島·高二山東省青島第五十八中學(xué)??计谥校┮阎?,是橢圓M:的左右焦點(diǎn).(1)若C是橢圓上一點(diǎn),求的最小值;(2)直線與橢圓M交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).橢圓M上存在點(diǎn)P使得四邊形OAPB為平行四邊形,求m的值.【答案】(1)的最小值為0(2)【分析】(1)先由橢圓求出焦點(diǎn)坐標(biāo),再設(shè)點(diǎn)P,然后寫出的坐標(biāo)表達(dá)式,根據(jù)橢圓的范圍即可求出最小值(2)先設(shè)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo),然后聯(lián)立直線和橢圓方程,寫出判別式求出m的取值范圍,再利用韋達(dá)定理,得出中點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo),然后代入橢圓方程即可求解【詳解】(1)由橢圓方程,可得,,設(shè),則,,所以,將原橢圓方程變形并代入,得,又由橢圓的幾何性質(zhì)可得,所以當(dāng)時(shí),的最小值為0.(2)設(shè),,聯(lián)立,得,判別式,解得,由根與系數(shù)之間的關(guān)系得,,又四邊形OAPB為平行四邊形,A,B兩點(diǎn)中點(diǎn)和O,P兩點(diǎn)中點(diǎn)重合,即A,B兩點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)為,推出P點(diǎn)坐標(biāo),又因?yàn)镻點(diǎn)在橢圓上,,解得,21.(2022秋·山東·高二山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)??计谥校┮阎獧E圓:()的左、右焦點(diǎn)分別為,,左、右頂點(diǎn)分別為,,且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8,為橢圓是異于,的點(diǎn),滿足的周長(zhǎng)為12.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于,兩點(diǎn),求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出橢圓的方程;(2)設(shè)出直線的方程為,利用“設(shè)而不求法”表示出,再表示出點(diǎn)到直線的距離,進(jìn)而表示出,利用基本不等式求出面積的最大值.【詳解】(1)由題意得,所以.因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為12,所以,所以,故.所以橢圓的方程為.(2)由題意,直線不與軸重合,故設(shè)直線的方程為,由,得,,即,,.所以,又點(diǎn)到直線的距離.所以,所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,且滿足).故面積的最大值為.22.(2022秋·山東青島·高二統(tǒng)考期中)已知點(diǎn),點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),線段的垂直平分線交半徑于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),記點(diǎn)的軌跡為.(1)求軌跡的方程;(2)作軸,交軌跡于點(diǎn)(點(diǎn)在軸的上方),直線與軌跡交于、(不過點(diǎn))兩點(diǎn),若和關(guān)于直線對(duì)稱,試求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)分析可知點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓,設(shè)其方程為,求出、的值,即可得出軌跡的方程;(2)求出點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)、,將直線的方程與軌跡的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,分析可知,利用斜率公式以及韋達(dá)定理可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】(1)解:圓的圓心,半徑,點(diǎn)為線段的垂直平分線與半徑的交點(diǎn),,,點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓,設(shè)其方程為,則,,所以,,,因此,軌跡的方程為.(2)解:設(shè)、,軸,點(diǎn)在軸的上方,將代入方程,可得,則,聯(lián)立可得,,可得,由韋達(dá)定可得,.因?yàn)?、關(guān)于直線對(duì)稱,則,則,又,,則,,化簡(jiǎn)得:或,當(dāng)時(shí),,此時(shí),直線的方程為,直線過點(diǎn),不合乎題意.綜上所述,.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:(1)設(shè)直線方程,設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、;(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,得到關(guān)于(或)的一元二次方程,必要時(shí)計(jì)算;(3)列出韋達(dá)定理;(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、(或、)的形式;(5)代入韋達(dá)定理求解.23.(2022秋·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中)已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,A,B是上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)垂直于x軸時(shí),的周長(zhǎng)為.(1)求的方程;(2)已知的離心率,直線與交于點(diǎn)M(異于點(diǎn)A),直線與交于點(diǎn)N(異于點(diǎn)B),證明:直線MN過定點(diǎn).【答案】(1)或(2)證明過程見詳解【分析】(1)根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知:,則的周長(zhǎng)為,由題意知,則,從而得到,再根據(jù)即可求出的值,從而求出方程;(2)設(shè)直線的方程為,,聯(lián)立直線與橢圓方程,消元列出韋達(dá)定理,再設(shè)直線的方程為,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線方程,消元列出韋達(dá)定理,即可表示出,然后利用兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,縱坐標(biāo)之間的關(guān)系建立等量關(guān)系,化簡(jiǎn)整理進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】(1)由題意可知:,又因?yàn)锳,B是上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),所以,則的周長(zhǎng)為,因?yàn)椋?,又因?yàn)椋曰?,故的方程為?(2)由題,的方程為,當(dāng)A,B為橢圓的左右頂點(diǎn)時(shí),直線與軸重合;當(dāng)A,B為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí),則,所以直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立可得點(diǎn),同理可得點(diǎn),此時(shí)直線的方程為;當(dāng)A,B不是頂點(diǎn)時(shí),設(shè)直線的方程為,,由,整理可得:,,,設(shè)直線的方程為,其中,,,由,整理可得:,,所以設(shè)直線的方程為,其中,,,由,整理可得:,,所以,所以,整理可得:,所以,因?yàn)椋瑒t,整理可得:,將代入上式可得:,也即,因?yàn)?,所以,所以直線的方程為,恒過定點(diǎn),綜上:直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】(1)解答直線與橢圓的題目時(shí),時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根與系數(shù)的關(guān)系,并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí),務(wù)必考慮全面,不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.24.(2022秋·山東濟(jì)南·高二濟(jì)南市歷城第二中學(xué)??计谥校┮阎獧E圓經(jīng)過點(diǎn),離心率為,過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)直線AM和直線AN的斜率分別為和,求證:為定值【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)由題意結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì),列出方程組,求得答案;(2)設(shè)直線l的方程為并聯(lián)立橢圓方程,可得根與系數(shù)的關(guān)系式,代入化簡(jiǎn)的表達(dá)式,可得結(jié)論.【詳解】(1)由題意橢圓經(jīng)過點(diǎn),離心率為,可得,解得,故橢圓C的方程為(2)由題意可知直線l的斜率一定存在,設(shè)直線l的方程為,由,可得,由于直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,則,解得,設(shè),則,,故,即為定值.25.(2022秋·山東菏澤·高二??计谥校┮阎c(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)分別為橢圓的左?右頂點(diǎn),是等腰直角三角形,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn),當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)位于以為直徑的圓外時(shí),求直線斜率的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)由對(duì)稱性得值,再由已知關(guān)系得,從而得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線l方程設(shè)為,代入橢圓方程,由判別式大于0,得,設(shè),,由韋達(dá)定理得,利用原點(diǎn)位于以為直徑的圓外,即,代入,又可得,從而得的范圍.【詳解】(1)由△ABP是等腰直角三角形,得,又因?yàn)椋?所以橢圓E的方程為.(2)依題意得,直線l的斜率存在,方程設(shè)為.聯(lián)立,消去y并整理得.(*)因直線l與E有兩個(gè)交點(diǎn),即方程(*)有不等的兩實(shí)根,故,解得.設(shè),,由根與系數(shù)的關(guān)系得,因坐標(biāo)原點(diǎn)O位于以MN為直徑的圓外,所以,即,又由,解得,綜上可得,則或.則滿足條件的斜率k的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:本題考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓相交中的范圍問題,解題方法是設(shè)出直線方程,設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)為,,直線方程代入橢圓方程,由判別式大于0得一不等關(guān)系或范圍,再利用韋達(dá)定理得,代入已知條件得另一不等關(guān)系,從而求得參數(shù)范圍.26.(2022秋·山東棗莊·高二棗莊市第三中學(xué)??计谥校┮阎獧E圓的離心率為,左頂點(diǎn)為A,右頂點(diǎn)為B,上頂點(diǎn)為C,的內(nèi)切圓的半徑為.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)點(diǎn)M為直線上任意一點(diǎn),直線AM,BM分別交橢圓E于不同的兩點(diǎn)P,Q.求證:直線PQ恒過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1).(2).【分析】(1)利用等面積法求得的關(guān)系,再利用離心率得到.即可得到答案.(2)設(shè),分別求出的坐標(biāo),根據(jù)斜率公式求出直線方程,則可得,即可求出定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】(1)的內(nèi)切圓的半徑為,有等面積法得,解得,又離心率為,解得帶入得.綜上所述橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.(2)設(shè),則直線的方程為與聯(lián)立解得同理可得.則直線的斜率為,所以直線的方程為:故直線PQ恒過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】求解定點(diǎn)問題常用的方法:(1)“特殊探路,一般證明”,即先通過特殊情況確定定點(diǎn),再轉(zhuǎn)化為有方向、有目標(biāo)的一般性證明.(2)“一般推理,特殊求解”,即先由題設(shè)條件得出曲線的方程,再根據(jù)參數(shù)的任意性得到定點(diǎn)坐標(biāo).(3)求證直線過定點(diǎn),常利用直線的點(diǎn)斜式方程來證明.27.(2022秋·山東菏澤·高二統(tǒng)考期中)已知曲線且(1)若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,求m的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),過C的右焦點(diǎn)且斜率為k的直線l交曲線C于點(diǎn)A、B(A,B異于頂點(diǎn)),交直線于P.過點(diǎn)P作y軸的垂線,垂足為Q,直線AQ交x軸于點(diǎn)E,直線BQ交x軸于D,求證:.【答案】(1);(2)證明見解析.【分析】(1)利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)性質(zhì)列關(guān)于m的不等式組,解之得解.(2)設(shè)直線l方程為,求出坐標(biāo),聯(lián)立直線與橢圓的方程,結(jié)合韋達(dá)定理,求出直線,的方程,進(jìn)而得到坐標(biāo),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得解.【詳解】(1)由題意可得,解得,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.(2)當(dāng)時(shí),曲線為橢圓:,右焦點(diǎn)為,設(shè)直線l為,聯(lián)立,整理得,設(shè),則,直線l交直線于,則所以直線的方程為,,令,解得,則所以直線的方程為,,令,解得,則,所以線段中點(diǎn)為,故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:(1)設(shè)直線方程,設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為;(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,得到關(guān)于(或)的一元二次方程,必要時(shí)計(jì)算;(3)列出韋達(dá)定理;(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、(或、)的形式;(5)代入韋達(dá)定理求解.28.(2022秋·山東德州·高二統(tǒng)考期中)已知雙曲線C:經(jīng)過點(diǎn),且雙曲線C的右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線C的方程;(2)過點(diǎn)P分別作兩條互相垂直的直線PA,PB與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn)(A,B兩點(diǎn)均與點(diǎn)P不重合),設(shè)直線AB:,試求和之間滿足的關(guān)系式.【答案】(1)(2)【分析】(1)將點(diǎn)代入得,根據(jù)點(diǎn)到直線得距離公式可得,求得,即可得解;(2)設(shè),聯(lián)立方程,利用韋

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