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專題03奇函數(shù)的最值性質(zhì)一、結(jié)論①已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù),則對(duì)任意的,都有.②特別地,若奇函數(shù)在上有最值,則;③若,則有.(若是奇函數(shù),且,特別提醒反之不成立)二、典型例題1.(2012·全國·高考真題(文))設(shè)函數(shù)的最大值為,最小值為,則=___________.【解析】,令,則為奇函數(shù),所以的最大值和最小值和為0,又.有,即.答案為:2.【反思】本題中不是奇函數(shù),無法直接使用結(jié)論,但是通過構(gòu)造,使得是奇函數(shù),從而有2.(2022·江蘇鹽城·一模)若是奇函數(shù),則___________.【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),并且定義域?yàn)樗杂校?【反思】在本例中,由于是奇函數(shù),并且0屬于定義域,所以可以直接利用奇函數(shù)性質(zhì)求解三、針對(duì)訓(xùn)練舉一反三1.(2022·河南·高三階段練習(xí)(文))已知為奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),()A. B.C. D.【答案】C【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù),所以,即.當(dāng)時(shí),,.故選:C2.(2022·湖北·十堰市教育科學(xué)研究院高三期末)已知是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則()A.﹣2 B.2 C.﹣6 D.6【答案】A【詳解】是定義在R上的奇函數(shù)則有:解得:當(dāng)時(shí),,則故選:A3.(2022·四川遂寧·高一期末)若函數(shù)在上有最小值-6,(a,b為常數(shù)),則函數(shù)在上()A.有最大值5 B.有最小值5C.有最大值9 D.有最大值12【答案】D【詳解】解:令,其定義域?yàn)镽,又所以是奇函數(shù).根據(jù)題意:函數(shù)在上有最小值-6,所以函數(shù)在上有最小值?9所以函數(shù)在上有最大值9,所以=+3在上有最大值.故選:D.4.(2017·山西·(理))若對(duì),有,則函數(shù)在上的最大值與最小值的和為A.4 B.6 C.9 D.12【答案】B【詳解】對(duì),有,令,有,令,有,則,令,則,則為奇函數(shù),又設(shè)函數(shù),為奇函數(shù),則,而為奇函數(shù),由于奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)的最大值與最小值互為相反數(shù),則的最大值與最小值之和為6.選B.5.(2021·甘肅省民樂縣第一中學(xué)(文))設(shè)函數(shù)的最大值為5,則的最小值為()A. B.1 C.2 D.3【答案】B【詳解】解:由題可知,,設(shè),其定義域?yàn)?,又,即,由于,即,所以是奇函?shù),而,由題可知,函數(shù)的最大值為5,則函數(shù)的最大值為:5-3=2,由于是奇函數(shù),得的最小值為-2,所以的最小值為:-2+3=1.故選:B.6.(2022·湖北·高一期末)已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】A【詳解】設(shè),,則,即為奇函數(shù),容易判斷在R上單調(diào)遞增(增+增),又可化為,,所以a>1-2a,∴a>.故選:A.7.(2021·江西·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)在上的最大值與最小值分別為,,則________.【答案】4【詳解】設(shè),,,,所以是奇函數(shù),又,,所以,.故答案為:4.8.(2022·全國·高三專題練習(xí))定義在上的奇函數(shù),設(shè)函數(shù)的最大值為,最小值為,則__.【答案】2【詳解】函數(shù)為奇函數(shù),,又的最大值為,最小值為,又,即為奇函數(shù),且的最大最小值分別為,,由奇函數(shù)的性質(zhì)可得,解得.故答案為:2.9.(2022·全國·高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)的最大值為,最小值為,則__.【答案】2【詳解】解:函數(shù),則所以所以為奇函數(shù),則,即,則,故答案為:2.10.(2021·江西·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí))已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù),則實(shí)數(shù)的值______.【答案】【詳解】是定義在上的奇函數(shù),,即,解得,當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)?,,為奇函?shù),故.故答案為:11.(2021·山東省萊西市第一中學(xué)高一階段練習(xí))設(shè)函數(shù)的最大值為,最小值為.則___________.【答案】2【詳解】,令,,則,因?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù),由奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性知,故.故
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