四川省成都市市郫都區(qū)2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題

20202021學(xué)年四川省成都市郫都區(qū)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共12小題，每題5分，共60分）.1．函數(shù)f（x）＝ex+x+2，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），則f'（0）＝（）A．2 B．3 C．4 D．e+12．已知向量＝（3，﹣2，1），＝（﹣2，，m），若∥，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．6 B． C． D．3．在曲線y＝x2上切線傾斜角為的點(diǎn)是（）A．（0，0） B．（2，4） C．（，） D．（，）4．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，若m⊥α，n⊥β，且β⊥α，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．m⊥n B．m∥n C．m與n相交 D．m與n異面5．若函數(shù)f（x）＝ax﹣cosx為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[﹣1，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞）6．已知空間四邊形OABC，其對角線OB、AC，M、N分別是邊OA、CB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且使MG＝2GN，用向量，表示向量是（）A． B． C． D．7．函數(shù)f（x）＝的部分圖象大致為（）A． B． C． D．8．如圖，陰影部分是曲線y＝ex與x軸，y軸及直線x＝1圍成的封閉圖形．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法向右圖中矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投入800個(gè)點(diǎn)，其中恰有500個(gè)點(diǎn)落在圖中陰影部分，則由此次模擬實(shí)驗(yàn)可以估計(jì)出e的值約為（）9．如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，AA1＝4，點(diǎn)E、M分別為棱CC1、BB1的中點(diǎn)．若平面ACM∩平面A1B1C1D1＝l，則直線l與平面B1D1E所成角的正切值為（）A． B． C． D．10．在平面向量中，我們用表示在方向上的投影，換個(gè)角度，點(diǎn)O在直線OB的法向量方向上的投影就是點(diǎn)A到直線OB的距離（如圖1），如果利用類比的方法，那么圖2中點(diǎn)A到平面BCD的距離為（）A． B． C． D．11．如果過點(diǎn)（0，1）可作曲線的三條切線，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，且f（1）＝1，導(dǎo)函數(shù)f'（x）滿足f'（x）＜f（x）恒成立，則不等式f（x）＜ex﹣1的解集為（）A．（1，+∞） B． C． D．（0，1）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．sinxdx＝．14．函數(shù)f（x）＝x?lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為．15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與A1C所成角的正弦值為．16．若函數(shù)f（x）＝x2+x+1﹣aex有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為三、解答題（本大題共6小題共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．設(shè)函數(shù)f（x）＝x3+bx，曲線y＝f（x）在點(diǎn)處的切線與y軸垂直．（1）求b；（2）求函數(shù)y＝f（x）的極值．18．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2+a4＝6，S11＝66．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足，求證：b1+b2+???+bn＜1．19．2020年，我國已經(jīng)實(shí)現(xiàn)全面脫貧的歷史性戰(zhàn)略任務(wù)．但鞏固脫貧成果還有很多工作要繼續(xù)，利用互聯(lián)網(wǎng)電商進(jìn)行產(chǎn)品的銷售就是一種有效的方式．某村盛產(chǎn)臍橙，為了更好銷售，現(xiàn)從臍橙樹上隨機(jī)摘下100個(gè)臍橙進(jìn)行測重，其質(zhì)量分布在區(qū)間[200，500]（單位：克），統(tǒng)計(jì)質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出其頻率分布直方圖如圖所示．（1）按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在[250，300），[300，350）的臍橙中隨機(jī)抽取5個(gè)，再從這5個(gè)臍橙中隨機(jī)抽2個(gè)，求這2個(gè)臍橙質(zhì)量至少有一個(gè)小于300克的概率；（2）以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該村的臍橙種植地上大約還有100000個(gè)臍橙待出售，某電商提出兩種收購方案：A．所有臍橙均以7元/千克收購；B．低于350克的臍橙以2元/個(gè)收購，其余的以3元/個(gè)收購．請你通過計(jì)算為該村選擇收益較好的方案．（參考數(shù)據(jù)：（225×0.05+275×0.16+325×0.24+375×0.3+425×0.2+475×0.05＝354.5）20．在五邊形AEBCD中，BC⊥CD，CD∥AB，AB＝2CD＝2BC，AE⊥BE，AE＝BE（如圖1）．將△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，線段AB的中點(diǎn)為O（如圖2）．（1）求證：平面ABE⊥平面DOE；（2）求平面EAB與平面ECD所成的銳二面角的大?。?1．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知a?sin（A+B）＝c?cos．（1）求A；（2）已知b＝1，c＝3，且邊BC上有一點(diǎn)D滿足S△ABD＝3S△ADC，求AD．22．已知函數(shù)f（x）＝．（1）若f（x）在x＝1處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；（2）討論f（x）在（0，1）上的單調(diào)性；（3）證明：在（1）的條件下f（x）+xex＞0．參考答案一、選擇題（共12小題，每題5分，共60分）.1．函數(shù)f（x）＝ex+x+2，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），則f'（0）＝（）A．2 B．3 C．4 D．e+1解：∵f′（x）＝ex+1，∴f′（0）＝1+1＝2．故選：A．2．已知向量＝（3，﹣2，1），＝（﹣2，，m），若∥，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．6 B． C． D．解：因?yàn)橄蛄浚剑?，﹣2，1），＝（﹣2，，m），所以∥時(shí)，＝λ，即，解得λ＝﹣，m＝﹣．故選：D．3．在曲線y＝x2上切線傾斜角為的點(diǎn)是（）A．（0，0） B．（2，4） C．（，） D．（，）解：y'＝2x，設(shè)切點(diǎn)為（a，a2）∴y'＝2a，得切線的斜率為2a，所以2a＝tan45°＝1，∴a＝，在曲線y＝x2上切線傾斜角為的點(diǎn)是（，）．故選：D．4．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，若m⊥α，n⊥β，且β⊥α，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．m⊥n B．m∥n C．m與n相交 D．m與n異面解：因?yàn)閙，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，若m⊥α，n⊥β，且β⊥α，作圖如下：設(shè)n∩β＝A，過A作m′⊥α，則m′?β，∵n⊥β，∴m⊥n；故選：A．5．若函數(shù)f（x）＝ax﹣cosx為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[﹣1，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞）解：∵f（x）＝ax﹣cosx為增函數(shù)，∴f′（x）＝a+sinx≥0恒成立，∴a≥﹣sinx恒成立，∵y＝﹣sinx∈[﹣1，1]，∴a≥1，故選：B．6．已知空間四邊形OABC，其對角線OB、AC，M、N分別是邊OA、CB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且使MG＝2GN，用向量，表示向量是（）A． B． C． D．解：∵＝＝＝＝∴故選：C．7．函數(shù)f（x）＝的部分圖象大致為（）A． B． C． D．解：∵f（﹣x）＝＝﹣f（x），∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)B和C，當(dāng)x→+∞時(shí)，ex比x增長的快，∴f（x）→0，排除選項(xiàng)D，故選：A．8．如圖，陰影部分是曲線y＝ex與x軸，y軸及直線x＝1圍成的封閉圖形．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法向右圖中矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投入800個(gè)點(diǎn)，其中恰有500個(gè)點(diǎn)落在圖中陰影部分，則由此次模擬實(shí)驗(yàn)可以估計(jì)出e的值約為（） B．2.737 解：根據(jù)題意，陰影部分是曲線y＝ex與x軸，y軸及直線x＝1圍成的封閉圖形，則A（1，0），B（1，e），C（0，e），則陰影部分的面積S′＝exdx＝ex＝e﹣1，矩形OABC的面積S＝e，則有＝，變形可得：e＝≈2.667；故選：A．9．如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，AA1＝4，點(diǎn)E、M分別為棱CC1、BB1的中點(diǎn)．若平面ACM∩平面A1B1C1D1＝l，則直線l與平面B1D1E所成角的正切值為（）A． B． C． D．解：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ACM∩平面A1B1C1D1＝l，平面ACM∩平面ABCD＝AC，∴l(xiāng)∥AC，∴直線l與平面B1D1E所成角即為直線AC與平面B1D1E所成角，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，4），B1（2，2，4），E（0，2，2），＝（﹣2，2，0），＝（2，2，0），＝（0，2，﹣2），設(shè)平面B1D1E的法向量＝（x，y，z），則，取x＝1，得＝（1，﹣1，﹣1），則直線AC與平面B1D1E所成角的正弦值為sinθ＝＝＝，∴cosθ＝＝，∴直線l與平面B1D1E所成角的正切值為tanθ＝＝．故選：B．10．在平面向量中，我們用表示在方向上的投影，換個(gè)角度，點(diǎn)O在直線OB的法向量方向上的投影就是點(diǎn)A到直線OB的距離（如圖1），如果利用類比的方法，那么圖2中點(diǎn)A到平面BCD的距離為（）A． B． C． D．解：由題意知，＝（1，﹣2，1），＝（0，﹣1，1），設(shè)平面BCD的法向量為＝（x，y，z），則，即，令y＝1，則x＝1，z＝1，所以＝（1，1，1），因?yàn)椋剑ī?，0，1），所以點(diǎn)A到平面BCD的距離為d＝||＝||＝．故選：D．11．如果過點(diǎn)（0，1）可作曲線的三條切線，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（）A． B． C． D．解：設(shè)切點(diǎn)為（a，a3﹣a2+c），因?yàn)閒（x）＝x3﹣x2+c，所以f′（x）＝x2﹣2x，則切線的斜率k＝f′（a）＝a2﹣2a，由點(diǎn)斜式可得切線方程為y﹣（a3﹣a2+c）＝（a2﹣2a）（x﹣a），因?yàn)榍芯€過點(diǎn)（0，1），所以1﹣（a3﹣a2+c）＝（a2﹣2a）（0﹣a），即c﹣1＝a3﹣a2，因?yàn)檫^點(diǎn)（0，1）可作曲線y＝f（x）的三條切線，所以關(guān)于a的方程c﹣1＝a3﹣a2有三個(gè)不同的根，令g（x）＝x3﹣x2，∴g′（x）＝2x2﹣2x＝0，解得x＝0或x＝1，當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，所以g（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝0時(shí)，g（x）取得極大值g（0）＝0，當(dāng)x＝1時(shí)，g（x）取得極小值g（1）＝﹣，關(guān)于a的方程c﹣1＝a3﹣a2有三個(gè)不同的根，等價(jià)于y＝g（x）與y＝c﹣1的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以﹣＜c﹣1＜0，即＜c＜1，故選：B．12．已知f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，且f（1）＝1，導(dǎo)函數(shù)f'（x）滿足f'（x）＜f（x）恒成立，則不等式f（x）＜ex﹣1的解集為（）A．（1，+∞） B． C． D．（0，1）解：∵f'（x）＜f（x），令g（x）＝，則g′（x）＝＜0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，又f（1）＝1，∴g（1）＝＝，∴f（x）＜ex﹣1?＜，即g（x）＜g（1），∴x＞1，故選：A．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．sinxdx＝0．解：sinxdx＝﹣cosx＝﹣cos1﹣[﹣cos（﹣1）]＝﹣cos1+cos1＝0．故答案為：0．14．函數(shù)f（x）＝x?lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，]．解：函數(shù)的定義域?yàn)閤＞0∵y′＝lnx+1令lnx+1≤0得0＜x≤，∴函數(shù)y＝xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，]故答案為（0，]，15．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與A1C所成角的正弦值為1．解：以B為原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），B1（0，0，1），A1（1，0，1），C（0，1，0），∴＝（﹣1，0，1），＝（﹣1，1，﹣1），∴?＝1+0﹣1＝0，∴AB1⊥A1C，即異面直線AB1與A1C所成角的正弦值為1．故答案為：1．16．若函數(shù)f（x）＝x2+x+1﹣aex有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為0＜a＜1或a＞．解：令f（x）＝x2+x+1﹣aex＝0，則a＝，令g（x）＝，則g′（x）＝，令g′（x）＝0，則x＝0，x＝1，當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；且g（0）＝1，g（1）＝，g（x）＞0，大致圖象如圖：可知0＜a＜1或a＞．故答案為：0＜a＜1或a＞．三、解答題（本大題共6小題共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．設(shè)函數(shù)f（x）＝x3+bx，曲線y＝f（x）在點(diǎn)處的切線與y軸垂直．（1）求b；（2）求函數(shù)y＝f（x）的極值．解：（1）由f'（x）＝3x2+b，得；（2），由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得，所以函數(shù)f（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以f（x）的極大值為，極小值為．18．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2+a4＝6，S11＝66．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足，求證：b1+b2+???+bn＜1．【解答】（1）解：由S11＝11a6＝66得a6＝6…………設(shè)公差為d，則a6﹣a2＝4d＝4，∴d＝1…………所以an＝a2+（n﹣2）d＝2+（n﹣1）×1＝n…………（2）證明：由（1）得…………所以＝…………19．2020年，我國已經(jīng)實(shí)現(xiàn)全面脫貧的歷史性戰(zhàn)略任務(wù)．但鞏固脫貧成果還有很多工作要繼續(xù)，利用互聯(lián)網(wǎng)電商進(jìn)行產(chǎn)品的銷售就是一種有效的方式．某村盛產(chǎn)臍橙，為了更好銷售，現(xiàn)從臍橙樹上隨機(jī)摘下100個(gè)臍橙進(jìn)行測重，其質(zhì)量分布在區(qū)間[200，500]（單位：克），統(tǒng)計(jì)質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出其頻率分布直方圖如圖所示．（1）按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在[250，300），[300，350）的臍橙中隨機(jī)抽取5個(gè)，再從這5個(gè)臍橙中隨機(jī)抽2個(gè)，求這2個(gè)臍橙質(zhì)量至少有一個(gè)小于300克的概率；（2）以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該村的臍橙種植地上大約還有100000個(gè)臍橙待出售，某電商提出兩種收購方案：A．所有臍橙均以7元/千克收購；B．低于350克的臍橙以2元/個(gè)收購，其余的以3元/個(gè)收購．請你通過計(jì)算為該村選擇收益較好的方案．（參考數(shù)據(jù)：（225×0.05+275×0.16+325×0.24+375×0.3+425×0.2+475×0.05＝354.5）解：（1）由分層抽樣可得，臍橙質(zhì)量在[250，300）和[300，350）的比例為2：3，所以應(yīng)該分別在[250，300）和[300，350）的臍橙中各取2個(gè)和3個(gè)，2個(gè)臍橙質(zhì)量至少有一個(gè)小于300克的概率為＝；（2）方案B好，理由如下：由頻率分布直方圖可知，臍橙質(zhì)量落在區(qū)間[200，250），[250，300），[300，350），[350，400），[400，450），[450，500）的頻率依次為0.05，0.16，0.24，0.3，0.2，0.05，且各段臍橙的個(gè)數(shù)依次為5000，16000，24000，30000，20000，5000個(gè)，若按方案A收購，因?yàn)閱蝹€(gè)臍橙的質(zhì)量平均為225×0.05+275×0.16+325×0.24+375×0.3+425×0.2+475×0.05＝354.5克，×100000÷1000×7＝248150元；若按方案B收購，總收益為（5000+16000+24000）×2+55000×3＝255000元，因?yàn)榉桨窧的收益比方案A的收益高，故該村選擇方案B出售．20．在五邊形AEBCD中，BC⊥CD，CD∥AB，AB＝2CD＝2BC，AE⊥BE，AE＝BE（如圖1）．將△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，線段AB的中點(diǎn)為O（如圖2）．（1）求證：平面ABE⊥平面DOE；（2）求平面EAB與平面ECD所成的銳二面角的大小．【解答】（1）證明：AB＝2CD，O是線段AB的中點(diǎn)，則OB＝CD．又CD∥AB，則四邊形OBCD為平行四邊形，又BC⊥CD，則AB⊥OD，因AE＝BE，OB＝OA，則EO⊥AB．EO∩DO＝O，則AB⊥平面EOD．又AB?平面ABE，故平面ABE⊥平面EOD．（2）解：易知OB，OD，OE兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B，OD，OE所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，△EAB為等腰直角三角形，且AB＝2CD＝2BC，則OA＝OB＝OD＝OE，取CD＝BC＝1，則O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1），，，設(shè)平面ECD的法向量為＝（x，y，z），則有取z＝1，得平面ECD的一個(gè)法向量＝（0，1，1），因OD⊥平面ABE．則平面ABE的一個(gè)法向量為，設(shè)平面ECD與平面ABE所成的銳二面角為θ，則，故平面ECD與平面ABE所成的銳二面角為45°．21．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知a?sin（A+B）＝c?cos．（1）求A；（2）已知b＝1，c＝3，且邊BC上有一點(diǎn)D滿足S△ABD＝3S△ADC，求AD．解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)閟inC＞0，所以，所以，因?yàn)椋?，，所以，所以．?）解法一：設(shè)△ABD的AB邊上的高為h1，△ADC的AC邊上的高為h2，因?yàn)镾△ABD＝3S△ADC，c＝3，b＝1，所以，所以h1＝h2，AD是△ABC角A的內(nèi)角平分線，所以∠BAD＝30°，因?yàn)镾△ABD＝3S△ADC，可知，所以，所以．解法二：設(shè)，則，因?yàn)镾△ABD＝3S△AD