第2章 隨機變量及其分布

隨機變量及其分布《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》

02目錄/Contents2.12.22.32.4隨機變量及其分布常用的離散型隨機變量常用的連續(xù)型隨機變量隨機變量函數(shù)的分布目錄/Contents2.1隨機變量及其分布一、隨機變量的定義二、隨機變量的分布函數(shù)三、離散型隨機變量及其分布律四、連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)許多隨機試驗的結(jié)果與實數(shù)密切聯(lián)系,也有些隨機試驗結(jié)果從表面上看并不與實數(shù)相聯(lián)系.下面我們通過幾個例子來引入隨機變量的概念.一、隨機變量的定義例1拋擲一顆均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)X的取值樣本空間={正面朝上,反面朝上},樣本空間不是一個數(shù)集.但是我們可以人為地把試驗結(jié)果和實數(shù)對應(yīng)起來.令樣本點X的取值正面朝上→1反面朝上→0

稱為是（一維）隨機變量.引進隨機變量后,隨機事件及其概率可以通過隨機變量來表達.一、隨機變量的定義定義1在隨機試驗E中,是相應(yīng)的樣本空間,如果對中的每一個樣本點,有唯一一個實數(shù)與它對應(yīng),那么就把這個定義域為的單值實值函數(shù)

隨機變量一般用大寫字母表示.

隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量一、隨機變量的定義如果一個隨機變量僅可能取有限或可列個值，則稱其為離散型隨機變量、AB如果一個隨機變量的取值充滿了數(shù)軸上的一個區(qū)間（或某幾個區(qū)間的并），則稱其為連續(xù)型隨機變量。

一、隨機變量的定義隨機變量的直觀解釋

隨機變量X是樣本點的函數(shù)，這個函數(shù)的自變量是樣本點，可以是數(shù)，也可以不是數(shù)，定義域是樣本空間，而因變量必須是實數(shù)。這個函數(shù)可以讓不同的樣本點對應(yīng)不同的實數(shù)，也可以讓多個樣本點對應(yīng)于一個實數(shù)。

二、隨機變量的分布函數(shù)定義2稱函數(shù)為隨機變量的分布函數(shù).給定一個隨機變量,對任意實數(shù)對任意滿足條件的實數(shù),有

例1設(shè)一盒子中裝有10個球，其中5個球上標(biāo)有數(shù)字1,3個球上標(biāo)有數(shù)字2，2個球上標(biāo)有數(shù)字3。二、隨機變量的分布函數(shù)從中任取一球,記隨機變量為“取得的球上標(biāo)有的數(shù)字”（1）寫出的分布函數(shù);（2）作出分布函數(shù)的圖像.

二、隨機變量的分布函數(shù)容易得到可取1,2,3，由古典概型的計算方法，對應(yīng)的概率值分別為0.5,0.3,0.2。解由分布函數(shù)定義知若則為不可能事件,故所以若則同理,當(dāng)時,有當(dāng)時,有

綜上,隨機變量的分布函數(shù)為二、隨機變量的分布函數(shù)

分布函數(shù)的性質(zhì)二、隨機變量的分布函數(shù)設(shè)是隨機變量的分布函數(shù)，則有42分布函數(shù)單調(diào)不減;對任意的,分布函數(shù)右連續(xù);

（1）非負性三、離散型隨機變量及其分布律定義3設(shè)且其中滿足:（2）規(guī)范性那么稱表達式為隨機變量

的分布律或概率函數(shù).

換句話說，如果一個隨機變量只可能取有限個值或可列無限個值,那么稱這個隨機變量為（一維）離散型隨機變量.一維離散型隨機變量的分布律也可表示為：三、離散型隨機變量及其分布律

三、離散型隨機變量及其分布律設(shè)隨機變量的分布律如下：例2（1）求解（2）

的分布函數(shù)

四、連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)那么稱為連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù).給定一個連續(xù)型的隨機變量,如果存在一個定義域為的非負實值函數(shù),使得的分布函數(shù)可以表示為定義4

四、連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)

概率密度函數(shù)滿足下面兩個條件:對照一下離散型隨機變量的概率函數(shù)所滿足的兩個條件,注意到1212

這兩個條件同樣刻劃了密度函數(shù)的特征性質(zhì),即如果有實值函數(shù)具備這兩條性質(zhì),那么它必定是某個連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù).

四、連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)

分布函數(shù)和概率密度函數(shù)的關(guān)系在幾何上的體現(xiàn):

四、連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)設(shè)是任意連續(xù)型隨機變量,且與分別是它的分布函數(shù)與概率密度函數(shù),則有:有連續(xù)型隨機變量的性質(zhì)是連續(xù)函數(shù),且在的連續(xù)點處,有1對任意常數(shù),

2結(jié)合結(jié)論2可知:

四、連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)例3設(shè)隨機變量的概率密度函數(shù)為求解（1）（2）

的分布函數(shù)（1）

四、連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)解(2)

目錄/Contents2.12.22.32.4隨機變量及其分布常用的離散型隨機變量常用的連續(xù)型隨機變量隨機變量函數(shù)的分布目錄/Contents2.2常用的離散型隨機變量一、二項分布二、泊松分布三、超幾何分布四、幾何分布與負二項分布一、二項分布

在重貝努利試驗中,若以表示事件在次試驗中出現(xiàn)的次數(shù).分布律為則的取值為相應(yīng)的概率為:設(shè)對一隨機試驗E,我們只關(guān)心某個事件發(fā)生與否,此時試驗的結(jié)果可以看成只有兩種:發(fā)生或者不發(fā)生。那么稱這個試驗為貝努利試驗.

其中為事件發(fā)生的概率.則稱服從參數(shù)為的二項分布,記成

在概率論中,二項分布是一個重要的分布.在許多獨立重復(fù)試驗中,都具有二項分布的形式.一、二項分布一、二項分布

若二項分布中取，相應(yīng)的分布律為

即隨機變量的取值為0,1,相應(yīng)的概率記為則又稱服從分布（或兩點分布）.

設(shè)表示在5次重復(fù)獨立射擊中命中的次數(shù)，則一、二項分布例4某人向同一目標(biāo)重復(fù)獨立射擊5次，每次命中目標(biāo)的概率為0.8，求（1）此人能命中3次的概率；（2）此人至少命中2次的概率。12

二、泊松分布

設(shè)隨機變量的概率密度函數(shù)為則稱服從參數(shù)為的泊松分布,記為由無窮級數(shù)知識知:

二、泊松分布泊松分布也是一種常用的離散型分布，它常常與計數(shù)過程相聯(lián)系，例如某一時段內(nèi)某網(wǎng)站的點擊量；早高峰時間段內(nèi)駛?cè)敫呒艿缆返能囕v數(shù)；一本書上的印刷錯誤數(shù)。01OPTION02OPTION03OPTION

二、泊松分布例5解

已知一購物網(wǎng)站每周銷售的某款手表的數(shù)量X服從參數(shù)為6的泊松分布.問周初至少預(yù)備多少貨源才能保證該周不脫銷的概率不小于0.9.假定上周沒有庫存,且本周不再進貨.二、泊松分布例6解設(shè)該款手表每周的需求量為，則有；設(shè)至少需要進塊該款手表，才能滿足不脫銷的概率不小于0.9，即要滿足

二、泊松分布定理（泊松定理）在重貝努利試驗中，記事件在一次試驗中發(fā)生的概率為，當(dāng)時，有對于任意一個非負整數(shù),有泊松定理告訴我們:滿足一定條件時，二項概率可以用泊松分布的概率值來近似.

此時可近似看作參數(shù)為5的泊松分布,二、泊松分布設(shè)某保險公司的某人壽保險險種有1000人投保，每個投保人在一年內(nèi)死亡的概率為0.005，且每個人在一年內(nèi)是否死亡是相互獨立的，試求在未來一年中這1000個投保人中死亡人數(shù)不超過10人的概率．例7解記未來一年中這1000個投保人中死亡人數(shù)，則有

三、超幾何分布則這個產(chǎn)品中所含的次品的分布律為設(shè)有件產(chǎn)品,其中件次品.現(xiàn)從中不放回任取個產(chǎn)品,我們稱服從參數(shù)為的超幾何分布.

三、超幾何分布記,可以證明，有

四、幾何分布與負二項分布如果隨機變量的分布律為則稱服從參數(shù)為的幾何分布.

四、幾何分布與負二項分布幾何分布也是一種常用的離散型分布，例如01OPTION02OPTION03OPTION

四、幾何分布與負二項分布例8證明

四、幾何分布與負二項分布

目錄/Contents2.12.22.32.4隨機變量及其分布常用的離散型隨機變量常用的連續(xù)型隨機變量隨機變量函數(shù)的分布目錄/Contents2.3常用的連續(xù)型隨機變量一、均勻分布二、指數(shù)分布三、正態(tài)分布密度函數(shù)圖形如右圖:其余一、均勻分布設(shè)隨機變量的概率密度函數(shù)為則稱服從區(qū)間上的

均勻分布,記作

計算可得分布函數(shù)為：分布函數(shù)圖形如右所示:一、均勻分布我們考察一下這個分布函數(shù),若,則這恰好是區(qū)間和取值總區(qū)間的長度比,只與區(qū)間長度d有關(guān)，與區(qū)間位置c無關(guān).

一、均勻分布例9解

二、指數(shù)分布如果隨機變量的密度函數(shù)為其余則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布,其分布函數(shù)為記為指數(shù)分布的密度函數(shù)圖形如下:指數(shù)分布的分布函數(shù)圖形如下:由定義易得服從指數(shù)分布的隨機變量的概率計算公式:設(shè),則證明例10二、指數(shù)分布

三、正態(tài)分布

設(shè)隨機變量的概率密度函數(shù)為則稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布,記為服從正態(tài)分布的隨機變量統(tǒng)稱為正態(tài)隨機變量.

正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線圖形三、正態(tài)分布

三、正態(tài)分布正態(tài)分布概率密度函數(shù)的曲線特征:密度函數(shù)的圖形關(guān)于對稱;

13當(dāng)時,;2在處取得最大值;

三、正態(tài)分布正態(tài)分布概率密度函數(shù)的曲線特征:4當(dāng)較大時曲線比較平坦,當(dāng)較小時曲線比較陡峭.

時的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖形三、正態(tài)分布

三、正態(tài)分布關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有以下結(jié)果:特別地,有

;當(dāng)時,

的值可以查概率函數(shù)值表得到,且

13若,則特別地當(dāng)時,由密度函數(shù)對稱性可得,2

⑴查表并計算可得例11設(shè)隨機變量,查表求下列概率值:解(2)同樣地三、正態(tài)分布

一般地,有下列結(jié)論:三、正態(tài)分布設(shè)隨機變量,則特別地若,則

查表并計算可得三、正態(tài)分布例12設(shè),試求概率解

三、正態(tài)分布例13設(shè)隨機變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,

為何值時才能滿足解由,查附錄4知

右圖為分位數(shù)的幾何意義

設(shè)對給定的若數(shù)滿足稱為隨機變量X的

分位數(shù)▲▲▲三、正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)概念:

某學(xué)校規(guī)定劃分考生成績的等級方法如下：考試成績的實際考分在前10%的為A等，考分在前10%以后但在前50%的為B等，考分在前50%以后但在前85%的為C等，考分在后10%的為D等.某次期末考試中，設(shè)考生的成績X服從正態(tài)分布，經(jīng)計算可知，，求這次期末考試等級劃分的具體分?jǐn)?shù)線。例14三、正態(tài)分布解由題意可知,則

又又

綜述所求，可知，在此次考試中，分?jǐn)?shù)在88.384以上的，為等級A，分?jǐn)?shù)在73至88.384之間的，為等級B，分?jǐn)?shù)在57.616至73之間的，為等級C，分?jǐn)?shù)在57.616以下的，為等級D。三、正態(tài)分布

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