甘肅省張掖市高臺一中高二下學期期中數(shù)學試卷（理科）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2016-2017學年甘肅省張掖市高臺一中高二（下)期中數(shù)學試卷（理科）一、選擇題:本大題共12個小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1．已知（x+i）（1﹣i)=y，則實數(shù)x,y分別為（）A．x=﹣1，y=1 B．x=﹣1,y=2 C．x=1，y=1 D．x=1,y=22．在復平面內(nèi)，復數(shù)z=cos3+isin3（i是虛數(shù)單位）對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個鈍角”時，假設正確的是（）A．假設至少有一個鈍角B．假設沒有一個鈍角C．假設至少有兩個鈍角D．假設沒有一個鈍角或至少有兩個鈍角4．函數(shù)f(x）=(2πx）2的導數(shù)是(）A．f′（x）=4πx B．f′(x）=4π2x C．f′(x）=8π2x D．f′（x）=16πx5．用三段論推理：“任何實數(shù)的平方大于0，因為a是實數(shù)，所以a2＞0”，你認為這個推理(）A．大前提錯誤 B．小前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．是正確的6．現(xiàn)有高一年級的學生3名，高二年級的學生5名，高三年級的學生4名,從中任選1人參加某項活動,則不同選法種數(shù)為（）A．60 B．12 C．5 D．57．若函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x)的圖象如圖所示．則（)A．x=1是最小值點 B．x=0是極小值點C．x=2是極小值點 D．函數(shù)f（x)在（1,2）上單調(diào)遞增8．要證：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要證明（)A．2ab﹣1﹣a2b2≤0 B．C． D．（a2﹣1)（b2﹣1）≥09．若f（x）=﹣x2+mlnx在(1，+∞)是減函數(shù),則m的取值范圍是（）A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．(﹣∞，1］ D．（﹣∞，1)10．過點（﹣1，0)作拋物線y=x2+x+1的切線，則其中一條切線為（）A．2x+y+2=0 B．3x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x﹣y+1=011．利用數(shù)學歸納法證明“(n+1）（n+2）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）,n∈N＊”時，從“n=k”變到“n=k+1”時，左邊應增乘的因式是（）A．2k+1 B． C． D．12．設函數(shù)f′（x）=x2+3x﹣4，則y=f（x+1）的單調(diào)減區(qū)間為(）A．(﹣4，1） B．（﹣5，0） C． D．二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．復數(shù)z=（i為虛數(shù)單位）的虛部為．14．一個三層書架，分別放置語文書12本，數(shù)學書14本,英語書11本,從中取出一本，則不同的取法種．（以數(shù)字作答）15．函數(shù)f(x)=sinx﹣cosx+x+1在上的最大值為．16．已知函數(shù)f（x）=1﹣2sin2x在點處的切線為l,則直線l、曲線f（x)以及直線所圍成的區(qū)域的面積為．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17．復數(shù)，z2=1﹣2a+（2a﹣5）i,其中a∈R．（1)若a=﹣2,求z1的模；（2）若是實數(shù)，求實數(shù)a的值．18．已知a為實數(shù)，且函數(shù)f（x)=（x2﹣4）(x﹣a），f'（﹣1)=0．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)f(x）在［﹣2,2]上的最大值、最小值．19．求證：tan2x+=．20．用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角,再焊接而成（如圖），問該容器的高為多少時,容器的容積最大？最大容積是多少？21．數(shù)列{an}滿足Sn=2n﹣an(n∈N＊）．（Ⅰ）計算a1，a2，a3,a4,并由此猜想通項公式an；(Ⅱ）用數(shù)學歸納法證明(Ⅰ）中的猜想．22．設函數(shù)f(x）是定義在[﹣1，0）∪（0，1]上的偶函數(shù),當x∈[﹣1，0）時，f(x）=x3﹣ax（a∈R）．（1）當x∈(0，1]時,求f（x)的解析式;（2）若a＞3，試判斷f（x)在(0,1]上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;（3）是否存在a，使得當x∈（0,1]時，f（x）有最大值1？

2016-2017學年甘肅省張掖市高臺一中高二(下)期中數(shù)學試卷（理科)參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知(x+i）（1﹣i）=y，則實數(shù)x,y分別為（)A．x=﹣1,y=1 B．x=﹣1，y=2 C．x=1，y=1 D．x=1,y=2【考點】A2：復數(shù)的基本概念；A5：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】按多項式乘法運算法則展開,化簡為a+bi(a,b∈R）的形式，利用復數(shù)相等求出x、y即可．【解答】解:考查復數(shù)的乘法運算．可采用展開計算的方法，得(x﹣i2）+（1﹣x）i=y，沒有虛部，即，解得：x=1，y=2．故選D．2．在復平面內(nèi),復數(shù)z=cos3+isin3(i是虛數(shù)單位）對應的點位于（)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點】A4：復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】注意到3rad的范圍，再作進一步判斷．【解答】解：∵∴sin3＞0，cos3＜0∴對應的點在第二象限．故選B．3．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個鈍角”時，假設正確的是（)A．假設至少有一個鈍角B．假設沒有一個鈍角C．假設至少有兩個鈍角D．假設沒有一個鈍角或至少有兩個鈍角【考點】R9：反證法與放縮法．【分析】根據(jù)命題“三角形的內(nèi)角至多有一個鈍角”的否定為“三角形的內(nèi)角至少有兩個鈍角”，從而得出結(jié)論．【解答】解:由于命題“三角形的內(nèi)角至多有一個鈍角"的否定為“三角形的內(nèi)角至少有兩個鈍角”，故用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個鈍角"時，應假設至少有兩個鈍角,故選C．4．函數(shù)f(x）=(2πx）2的導數(shù)是()A．f′（x）=4πx B．f′（x）=4π2x C．f′（x）=8π2x D．f′（x）=16πx【考點】63:導數(shù)的運算．【分析】利用復合函數(shù)的求導法則：外函數(shù)的導數(shù)乘以內(nèi)函數(shù)的導數(shù)，求出f′（x）．【解答】解：f′（x)=2(2πx）（2πx)′=8π2x故選C5．用三段論推理：“任何實數(shù)的平方大于0，因為a是實數(shù)，所以a2＞0”，你認為這個推理（）A．大前提錯誤 B．小前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．是正確的【考點】F6：演繹推理的基本方法．【分析】要分析一個演繹推理是否正確,主要觀察所給的大前提，小前提和結(jié)論是否都正確,根據(jù)三個方面都正確，得到結(jié)論．【解答】解：∵任何實數(shù)的平方大于0，因為a是實數(shù)，所以a2＞0，大前提：任何實數(shù)的平方大于0是不正確的,0的平方就不大于0．故選A．6．現(xiàn)有高一年級的學生3名，高二年級的學生5名,高三年級的學生4名,從中任選1人參加某項活動,則不同選法種數(shù)為（)A．60 B．12 C．5 D．5【考點】D9：排列、組合及簡單計數(shù)問題．【分析】利用分類計數(shù)原理展開求解即可．【解答】解：∵三個年級共有3+5+4=12名學生，∴由計數(shù)原理可得，從中任選1人參加某項活動共有12種選法．故選B．7．若函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）的圖象如圖所示．則（）A．x=1是最小值點 B．x=0是極小值點C．x=2是極小值點 D．函數(shù)f（x)在(1，2)上單調(diào)遞增【考點】6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】通過圖象得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值點．【解答】解：由圖象得:f（x）在（﹣∞，0）遞增，在（0，2)遞減，在(2，+∞）遞增，∴x=2是極小值點，故選：C．8．要證：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0,只要證明（）A．2ab﹣1﹣a2b2≤0 B．C． D．(a2﹣1)（b2﹣1）≥0【考點】R8：綜合法與分析法(選修)．【分析】將左邊因式分解，即可得出結(jié)論．【解答】解：要證：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要證明（a2﹣1)（1﹣b2)≤0，只要證明（a2﹣1）（b2﹣1）≥0．故選：D．9．若f（x）=﹣x2+mlnx在(1，+∞)是減函數(shù),則m的取值范圍是（）A．[1，+∞) B．（1,+∞） C．（﹣∞，1］ D．（﹣∞，1）【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】求出函數(shù)的導數(shù),通過討論m的范圍討論函數(shù)的單調(diào)性,從而確定m的范圍即可．【解答】解：f(x）=﹣x2+mlnx，f′（x）=﹣x+=，m≤0時，f′（x）＜0，f（x）在（0,+∞）遞減,符合題意，m＞0時，只需﹣x2+m≤0在x∈（1,+∞)恒成立即可，即m≤x2≤1，綜上:m≤1，故選：C．10．過點(﹣1，0）作拋物線y=x2+x+1的切線，則其中一條切線為（)A．2x+y+2=0 B．3x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x﹣y+1=0【考點】62：導數(shù)的幾何意義．【分析】這類題首先判斷某點是否在曲線上，(1）若在，直接利用導數(shù)的幾何意義,求函數(shù)在此點處的斜率,利用點斜式求出直線方程(2)若不在，應首先利用曲線與切線的關(guān)系求出切點坐標，進而求出切線方程．此題屬于第二種．【解答】解：y’=2x+1，設切點坐標為（x0，y0），則切線的斜率為2x0+1，且y0=x02+x0+1于是切線方程為y﹣x02﹣x0﹣1=(2x0+1）（x﹣x0），因為點（﹣1，0）在切線上，可解得x0=0或﹣2，當x0=0時，y0=1;x0=﹣2時，y0=3，這時可以得到兩條直線方程，驗正D正確．故選D11．利用數(shù)學歸納法證明“（n+1）(n+2）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1),n∈N*"時，從“n=k”變到“n=k+1”時，左邊應增乘的因式是（）A．2k+1 B． C． D．【考點】RG：數(shù)學歸納法．【分析】根據(jù)已知等式，分別考慮n=k、n=k+1時的左邊因式，比較增加與減少的項，從而得解．【解答】解：由題意，n=k時,左邊為（k+1）(k+2）…（k+k）；n=k+1時，左邊為（k+2）（k+3)…（k+1+k+1）；從而增加兩項為(2k+1）（2k+2），且減少一項為（k+1),故選C．12．設函數(shù)f′（x)=x2+3x﹣4，則y=f（x+1)的單調(diào)減區(qū)間為（）A．（﹣4，1） B．（﹣5，0） C． D．【考點】6B:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】已知函數(shù)f′（x），可以求出f′（x+1）,要求y=f(x+1）的單調(diào)減區(qū)間，令f′（x+1)＜0即可，求不等式的解集；【解答】解:∵函數(shù)f′(x）=x2+3x﹣4，f′（x+1）=（x+1）2+3（x+1)﹣4=x2+5x,令y=f（x+1）的導數(shù)為：f′(x+1），∵f′（x+1）=x2+5x＜0,解得﹣5＜x＜0∴y=f(x+1）的單調(diào)減區(qū)間：（﹣5，0）；故選B．二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．復數(shù)z=（i為虛數(shù)單位）的虛部為1．【考點】A5：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復數(shù)的運算法則、虛部的定義即可得出．【解答】解:z==i+1的虛部為1．故答案為:1．14．一個三層書架，分別放置語文書12本，數(shù)學書14本，英語書11本，從中取出一本，則不同的取法37種．(以數(shù)字作答)【考點】D9：排列、組合及簡單計數(shù)問題．【分析】根據(jù)題意，分3種情況討論：選擇拿語文書：有12種不同的拿法，數(shù)學書有14種不同的拿法，英語書有11種不同的拿法，然后把這三種情況的數(shù)量加在一起即可【解答】解：由題意可知選擇拿語文書：有12種不同的拿法,數(shù)學書有14種不同的拿法,英語書有11種不同的拿法，則從中取出一本，則不同的取法共有12+14+11=37種;故答案為：37．15．函數(shù)f（x)=sinx﹣cosx+x+1在上的最大值為π+2．【考點】GL：三角函數(shù)中的恒等變換應用．【分析】將函數(shù)f（x）化簡，求導函數(shù)，利用導函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)f(x）的單調(diào)性，可得在上的最大值．【解答】解：函數(shù)f(x）=sinx﹣cosx+x+1=sin（x﹣）+x+1．則f′（x)=cos（x﹣）+1，∵x∈，∴x﹣∈［,],令f′（x）=0．則:x=π或．當x∈（，π）時，f′（x）＞0,則f（x）在x∈（，π）上單調(diào)遞增，當x∈(π，）時，f′（x）＜0，則f（x）在x∈(π，)上單調(diào)遞減．∴當x=π，函數(shù)f（x）取得最大值為：π+2．故答案為:π+2．16．已知函數(shù)f（x）=1﹣2sin2x在點處的切線為l，則直線l、曲線f(x）以及直線所圍成的區(qū)域的面積為．【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】先利用二倍角公式化簡函數(shù)f(x）的解析式,利用導數(shù)求出切線的斜率，然后求出切點的坐標，得出切線的方程,最后根據(jù)定積分即可求出直線l、曲線f（x）以及直線x=所圍成的區(qū)域的面積．【解答】解：由f（x）=1﹣2sin2x=cos2x，得f′（x）=﹣2sin2x．∴f′（）=﹣2sin=﹣2，又f（）=cos=0，∴直線l的方程為y﹣0=﹣2（x﹣），即y=﹣2x+．如圖：∴直線l、曲線f（x）以及直線x=所圍成的區(qū)域的面積為：=（）=．故答案為:．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17．復數(shù),z2=1﹣2a+(2a﹣5）i，其中a∈R．（1）若a=﹣2，求z1的模;（2）若是實數(shù)，求實數(shù)a的值．【考點】A5:復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】（1)把a=﹣2代入z1進行化簡，然后由復數(shù)求模公式計算得答案；(2）由z1求出，然后代入進行化簡,再結(jié)合已知條件即可求出實數(shù)a的值．【解答】解：（1）a=﹣2,則=3+6i，則，∴z1的模為；（2）=（6﹣a）+[(a2﹣10）+（2a﹣5）］i=(6﹣a）+(a2+2a﹣15）i，∵是實數(shù),∴a2+2a﹣15=0,解得a=﹣5或a=3．故a=﹣5或a=3．18．已知a為實數(shù)，且函數(shù)f（x）=(x2﹣4）（x﹣a），f'（﹣1）=0．（1)求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)f（x）在［﹣2,2]上的最大值、最小值．【考點】6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1)f'（x）=2x（x﹣a）+x2﹣4=3x2﹣2ax﹣4．由f'（﹣1）=0，解得，即R．通過判定導數(shù)的符號確定單調(diào)區(qū)間．（2)求出極值、端點值，比較大小，即可求出最值．【解答】解：（1)函數(shù)f（x）=（x2﹣4）（x﹣a）（a∈R），∴f’（x)=2x（x﹣a）+x2﹣4=3x2﹣2ax﹣4．∵f’（﹣1)=0,∴3+2a﹣4=0，解得，∴．則R．f’（x）=3x2﹣x﹣4=（3x﹣4）(x+1），令f’（x）=0，解得．由f’（x）＞0得或x＜﹣1,此時函數(shù)單調(diào)遞增，由f’(x）＜0得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）當﹣2≤x≤2時，函數(shù)f（x）與f’（x）的變化如下表：x［﹣2，﹣1）﹣1f'（x)+0﹣0f（x）單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由表格可知：當x=﹣1時，函數(shù)f（x）取得極大值，，當時,函數(shù)f（x)取得極小值，，又f（﹣2）=0，f（2）=0，可知函數(shù)f（x）的最大值為，最小值為．19．求證：tan2x+=．【考點】GL：三角函數(shù)中的恒等變換應用．【分析】左邊切化弦，通分，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，二倍角公式將次升角,推出右邊即可．【解答】證明:左邊=+=======右邊．∴tan2x+=．20．用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角,再焊接而成(如圖）,問該容器的高為多少時,容器的容積最大？最大容積是多少?【考點】7G：基本不等式在最值問題中的應用．【分析】首先分析題目求長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器當容器的高為多少時，容器的容積最大．故可設容器的高為x，體積為V，求出v關(guān)于x的方程，然后求出導函數(shù)，分析單調(diào)性即可求得最值．【解答】解：根據(jù)題意可設容器的高為x，容器的體積為V，則有V=(90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）求導可得到：V′=12x2﹣552x+4320由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．所以當x＜10時，V′＞0，當10＜x＜36時,V′＜0，當x＞36時，V′＞0，所以，當x=10，V有極大值V（10）=19600，又V(0)=0，V(24)=0，所以當x=10，V有最大值V（10）=19600故答案為當高為10，最大容積為19600．21．數(shù)列{an｝滿足Sn=2n﹣an(n∈N＊）．（Ⅰ)計算a1，a2,a3,a4，并由此猜想通項公式an；（Ⅱ）用數(shù)學歸納法證明（Ⅰ）中的猜想．【考點】RG:數(shù)學歸納法；8H:數(shù)列遞推式；F1:歸納推理．【分析】（Ⅰ）通過n=1，2，3，4，直接計算a1，a2，a3,a4，并由此猜想通項公式；（Ⅱ）直接利用數(shù)學歸納法證明．檢驗n取第一個值時，等式成立，假設，證明．【解答】（本小題滿分8分)解：(Ⅰ)當n=1時，a1=s1=2﹣a1，所以a1=1．當n=2時，a1+a2=s2=2×2﹣a2，所以．同理：，．由此猜想…（Ⅱ）證明：①當n=1時，左邊a1=