【解析】浙江省湖州市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

2019學(xué)年第二學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試卷高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本科目考試分試題卷和答題卷，考生須在答題紙上作答.2.本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁(yè)，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算得到，再計(jì)算交集得到答案【詳解】，,所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了交集的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.2.設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則公比（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】將所給兩式做差,即可得與的關(guān)系,由等比數(shù)列的定義即可求得公比.【詳解】由已知,,兩式作差得,所以,即故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了前n項(xiàng)和的簡(jiǎn)單應(yīng)用,做差法求項(xiàng)的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.3.袋中有100個(gè)球，其中紅球10個(gè)，從中任取5個(gè)球，則至少有一個(gè)紅球的取法種數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，可分別利用直接法和間接法求解，得到答案.【詳解】由題意，袋中有100個(gè)球，其中紅球10個(gè)，從中任取5個(gè)球，至少有一個(gè)紅球的取法有：①直接法：種不同的取法；②間接法：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列、組合的應(yīng)用，其中解答中正確理解題意，合理利用直接法和間接法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力.4.已知某函數(shù)的圖像如圖所示，則下列函數(shù)中，圖像最契合的函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)時(shí)的函數(shù)值，即可選擇判斷.【詳解】由圖可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故排除；當(dāng)時(shí)，，故排除；當(dāng)時(shí)，，故排除；當(dāng)時(shí)，，滿足題意.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像的選擇，涉及正余弦值的正負(fù)，屬基礎(chǔ)題.5.已知為銳角，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由條件求得sin（α），再根據(jù)sinα＝sin[（α）]利用兩角和的正弦公式求得結(jié)果．【詳解】解：∵cos（α）（α為銳角），∴α為銳角，∴sin（α），∴sinα＝sin[（α）]＝sin（α）coscos（α）sin，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．6.函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則等于（）A. B.9 C.8 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，解可得的值，進(jìn)而求出的值，由奇函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意，為定義在上的奇函數(shù)，則有，解可得：，則，則；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)以及函數(shù)值的計(jì)算，在涉及奇函數(shù)求參數(shù)時(shí)，注意結(jié)論的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7.實(shí)數(shù)、滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)取到最大值2時(shí)僅有唯一最優(yōu)解，則實(shí)數(shù)等于（）A.0 B.4 C.2 D.2【答案】C【解析】【分析】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形得出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入，即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示平面區(qū)域，如圖所示，可得，目標(biāo)函數(shù)表示直線在軸上的縱截距，由平面區(qū)域可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)點(diǎn)處取得最大值，分別代入，可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值2，即.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃的應(yīng)用，其中解答中準(zhǔn)確畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，結(jié)合平面區(qū)域確定出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查數(shù)形結(jié)合思想，以及運(yùn)算與求解能力.8.安排5名班干部周一至周五值班，每天1人，每人值1天，若甲、乙兩人要求相鄰兩天值班，甲、丙兩人都不排周二，則不同的安排方式有（）A.13 B.18 C.22 D.28【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，分兩類，第一類，乙安排周二，第二類，乙不安排在周二，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得.【詳解】第一類，乙安排在周二，則有種，第二類，乙不安排在周二，則從甲乙丙以外的2人中選1人，安排在周二，把甲乙安排在周三周四或周四周五，其余人任意排，故有種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得，共有種，故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查分類加法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.9.已知隨機(jī)變量與滿足分布列，當(dāng)且不斷增大時(shí)，（）A.的值增大，且減小 B.的值增大，且增大C.的值減小，且增大 D.的值減小，且減小【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求出，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得當(dāng)且不斷增大時(shí)，的值增大，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式得到，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可得當(dāng)且不斷增大時(shí)，減小.【詳解】依題意得，令，則，當(dāng)時(shí)，為遞減函數(shù)，所以，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，即當(dāng)且不斷增大時(shí)，的值增大.在上為單調(diào)遞減函數(shù)，即當(dāng)且不斷增大時(shí)，減小.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)分布的概率公式和方差公式，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.10.已知和1是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，若實(shí)數(shù)，則零點(diǎn)的值可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得，則，，且，得，分類討論即可得到另一個(gè)零點(diǎn).【詳解】由，設(shè)，根據(jù)題意可知和1是的兩個(gè)零點(diǎn)，，，，，且，得，函數(shù)的圖像是開口向上的拋物線，其對(duì)稱軸為，所以，畫出函數(shù)的大致圖像如圖：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的另一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的另一個(gè)零點(diǎn)為，故，，所以，，，，即零點(diǎn)的值可能是.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了根的存在性以及根的個(gè)數(shù)判斷，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.第Ⅱ卷（非選擇題部分共110分）二、填空題（本題共有7小題，其中第11、12，13、14小題每空3分，第15、16，17小題每空4分，共36分）11.已知復(fù)數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部等于____；復(fù)數(shù)的模為________.【答案】(1).1(2).【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合題中條件可得，再由復(fù)數(shù)相等可得出a和b的值，從而求出復(fù)數(shù)z及其虛部和模長(zhǎng).【詳解】設(shè)，則，展開化簡(jiǎn)得：，所以，解之得，所以，所以的虛部等于1，.故答案為：1；.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法、復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的概念等知識(shí)，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，屬于?？碱}.12.鈍角△的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則________，△的面積等于________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由正弦定理及鈍角三角形得出，再由三角形內(nèi)角和定理以及三角形面積公式得出△的面積.【詳解】由正弦定理得,或又△是鈍角三角形當(dāng)時(shí)，△是直角三角形，不合題意，,故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.13.《張丘建算經(jīng)》卷上有一題：今有女善織，日益功疾，初日織五尺，金一月日織九匹三丈意思就是說(shuō)：有一位善于紡織的女子，從第二天起，每天比前一天多織相同量的布，第一天織了5尺布，現(xiàn)在一個(gè)月共織了390尺布（按30天計(jì)），記該女子第天織布的量為，則_________，每天比前一天多織布________尺.【答案】(1).26(2).【解析】【分析】由題數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)公式可求得答案.【詳解】由題數(shù)列是公差為等差數(shù)列，則，得，故，又，得，得，得.故答案為：26；.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的概念和性質(zhì)，通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.14.盒子中裝有8個(gè)小球（除顏色外完全相同），其中紅球5個(gè)，黑球3個(gè)，現(xiàn)從該盒子中一次性任意取出3個(gè)球，若規(guī)定：取到一個(gè)紅球得2分，取到一個(gè)黑球得1分，且取3個(gè)球的總得分記為，則________，________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】先確定取出3個(gè)球的總得分記為的所有可能值，計(jì)算出的每個(gè)可能值所對(duì)應(yīng)的概率，再利用公式計(jì)算得到.【詳解】由題意得，若從盒子中任意取出個(gè)球，則得分的可能值為：，，，，則有；；；；所以，；故答案為：，.【點(diǎn)睛】本題考查超幾何分布的分布列及數(shù)學(xué)期望，屬于簡(jiǎn)單題，解答時(shí)準(zhǔn)確計(jì)算的每個(gè)值所對(duì)應(yīng)的概率是關(guān)鍵.15.若不等式在上恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，分、兩種情況討論，求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值，解不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，其中.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，則，解得，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，.（i）若時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.，，，，所以，，解得，不合題意；（ii）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，，則，解得，不合題意.綜上所述，正實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用含絕對(duì)值的函數(shù)不等式在區(qū)間上恒成立求參數(shù)，考查分類討論思想的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于難題.16.若，則的最小值是________.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式得出，然后利用三元基本不等式可求得所求代數(shù)式的最小值.【詳解】由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，解答的關(guān)鍵就是對(duì)所求代數(shù)式進(jìn)行合理配湊，考查計(jì)算能力，屬于中等題.17.已知同一平面內(nèi)的單位向量，，，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】可設(shè)，，，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，再化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)與二次函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的值域問(wèn)題.【詳解】設(shè)，，，則由令，則，函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為故當(dāng)，或，時(shí)，；當(dāng)，或，時(shí)，，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求三角函數(shù)與二次函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的值域問(wèn)題，還考查了學(xué)生分生思維能力，運(yùn)算能力，難度較大.三、解答題（本大題共5小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）18.二項(xiàng)式的展開式中，有且只有第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.（1）求所有二項(xiàng)式系數(shù)的和；（2）求展開式中的有理項(xiàng).【答案】（1）16；（2），.【解析】【分析】（1）由二項(xiàng)展開式的性質(zhì)求得的值，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，即可求得二項(xiàng)式系數(shù)的和；（2）取得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為：，根據(jù)有理項(xiàng)的定義，求得或，代入即可求解.【詳解】（1）由題意，二項(xiàng)展開式中，有且只有第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可得，因此所有二項(xiàng)式系數(shù)的和.（2）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為：由有理項(xiàng)的定義，可得，所以或，因此所求有理項(xiàng)為，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中解答中熟記二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和展開式的通項(xiàng)是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.19.已知函數(shù)在處取得極值.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求曲線在點(diǎn)處的切線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，令即可解得答案；（2）先寫出的解析式并求導(dǎo)，計(jì)算、，然后利用直線的點(diǎn)斜式方程寫出曲線在點(diǎn)處的切線方程.【詳解】（1）由題意可得，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，即，解得.此時(shí)，所以在和上單調(diào)遞增，在遞減，所以在處取得極大值，因此所求的的值為.（2）由題意得，故，又，則，因此曲線點(diǎn)處的切線的方程為，即.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的極值求參以及求曲線在某一點(diǎn)的切線方程問(wèn)題，難度一般.

（1）一般地，若為函數(shù)的極值點(diǎn)，則；

（2）求切線方程時(shí)要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得出切線的斜率方可進(jìn)行切線方程的求解.20.如圖，三棱錐中，，，.（1）求證：；（2）若二面角的大小為且時(shí)，求的中線與面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】(1)取中點(diǎn),連,,證明平面即可.(2)由(1)在平面內(nèi)作,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解線面角的正弦值或直接利用向量的關(guān)系求解即可.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn),連,,∵,,∴,,平面,且,∴平面,又平面,∴.（2）由（1）知是二面角的平面角,∴,又由平面知平面平面,所以在平面內(nèi)作,則面,可建如圖坐標(biāo)系,又易得,故在中由余弦定理可得,于是可得各點(diǎn)坐標(biāo)為,,,,∴,∴,又平面的一個(gè)法向量為,所以直線與面所成角的正弦值.法二：由（1）知是二面角的平面角,∴.作于,則由平面知平面,且,又易得,故在中由余弦定理可得,∴.又為中點(diǎn),所以到平面的距離.因?yàn)?,,∴,∴.所以直線與面所成角的正弦值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線垂直的證明以及利用空間直角坐標(biāo)系或向量的方法求解線面角的方法,屬于中等題型.21.如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，且滿足.（1）若點(diǎn)坐標(biāo)是，求線段中點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求面積的最小值及此時(shí)直線的方程.【答案】（1）；（2）最小值是16，此時(shí)直線的方程是或.【解析】分析】（1）設(shè)，，,則，由題意得，直線：，與拋物線方程聯(lián)立，則可得的值，再根據(jù)，均在拋物線上，代入并作差，可得的中點(diǎn)坐標(biāo)與斜率的關(guān)系，再利用，求得線段中點(diǎn)的坐標(biāo).（2）將直線的方程用表示出來(lái)，并與拋物線方程聯(lián)立，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出點(diǎn)到直線的距離為，運(yùn)用，結(jié)合均值不等式可求得面積的最小值及此時(shí)直線的方程.【詳解】解：（1）設(shè)，，,則，由題意得，直線：，又，得，則，又，得，得，又得，即解得，即，由，得，，故，，線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）由（1）可知，，設(shè)直線方程為，即由得，所以點(diǎn)到直線的距離是所以而等號(hào)成立當(dāng)且，解