廣東省深圳市福田區(qū)福田外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

深圳市福田區(qū)外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)20202021學(xué)年度第一學(xué)期高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)學(xué)科試題答題注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分；考試用時(shí)120分鐘；2．不按要求答卷不得分．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．1．?dāng)?shù)列1，，5，，9，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A．B．C．D．2．已知橢圓上一點(diǎn)P到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A．2B．6C．9D．103．已知，若a，2，b依次成等比數(shù)列，則的最小值是（）A．8B．6C．9D．104．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．B．C．D．5．已知，則y的最小值為（）A．2B．1C．4D．36．已知等比數(shù)列滿足，數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，則（）A．52B．26C．78D．1047．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A．20B．16C．12D．88．設(shè)x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為2，則的最小值為（）A．B．25C．D．50二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分．9．下列函數(shù)中，最小值是的有（）A．B．C．D．10．在遞增的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．D．?dāng)?shù)列是公差為2的等差數(shù)列11．已知點(diǎn)與點(diǎn)在直線的同側(cè)，給出下列四個(gè)命題中正確命題是（）A．若，則B．C．D．當(dāng)時(shí)，的取值范圍是12．橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（）A．過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為8B．橢圓C上存在點(diǎn)P，使得C．橢圓C的離心率為D．P為橢圓上一點(diǎn)，Q為圓上一點(diǎn)，則線段的最大長(zhǎng)度為3三、填空題：本題共有4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值是______．14．《張丘建算經(jīng)》中女子織布問(wèn)題為：某女子善于織布，一天比一天織得快，且從第2天開(kāi)始，每天比前一天多織相同量的布，已知第一天織5尺布，一月（按30天計(jì)）共織390尺布，則從第2天起每天比前一天多織______尺布．15．若正數(shù)a，b滿足，則的最小值為_(kāi)_________．16．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，且的三邊長(zhǎng)，，成等差數(shù)列，則C的離心率為_(kāi)_____．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（本小題10分）已知橢圓的離心率為e，長(zhǎng)軸為，短軸為．（1）若W的一個(gè)焦點(diǎn)為，，求W的方程；（2）若，，求W的方程．18．（本小題12分）在①，②，⑧這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的k存在，求k的值；若k不存在，說(shuō)明理由．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為；是等比數(shù)列，______，，，，是否存在k，使得且？19．（本小題12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線，上．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．20．（本小題12分）某漁業(yè)公司用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一艘漁船用于捕撈，若該公司從第1年到第n年花在該漁船維修等事項(xiàng)上的所有費(fèi)用為萬(wàn)元，該船每年捕撈的總收入為50萬(wàn)元．（1）該船捕撈幾年開(kāi)始盈利？（即總收入減去成本及所有費(fèi)用之差為正值）（2）該船捕撈若干年后，處理方案有兩種；①當(dāng)年平均盈利達(dá)到最大值時(shí)，以26萬(wàn)元的價(jià)格賣(mài)出；②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以8萬(wàn)元的價(jià)格賣(mài)出．哪一種方案較為合算？請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（本小題12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求出；（2）求；（3）令，若對(duì)任意正整數(shù)n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．22．（本小題12分）我們把經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與過(guò)焦點(diǎn)的軸垂直的弦稱(chēng)為橢圓的正焦弦．已知橢圓的正焦弦長(zhǎng)為1，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)作一直線交橢圓于兩點(diǎn)如果點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，求直線的斜率；（3）若直線1與（2）中的直線平行，且與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，試求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值．深圳市福田區(qū)外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)20202021學(xué)年度第二學(xué)期高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)學(xué)科試題參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】A4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分．9．【答案】BD10．【答案】BC11．【答案】ABC12．【答案】ABD三、填空題：本題共有4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13．【答案】14．【答案】15．【答案】816．【答案】四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．解：（1）由已知可得，，，．1分∴．1分由題意可知，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，則橢圓方程為；2分（2）由已知可得，，則，1分又，∴，則．2分若橢圓焦點(diǎn)在x軸上，則橢圓方程為．2分若橢圓焦點(diǎn)在y軸上，則橢圓方程為．2分18．解：因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，，，所以其公比，2分從而，從而．2分若存在k，使得，即，從而；2分同理，若使，即，從而．2分若選①：由，得，所以，2分當(dāng)時(shí)，滿足，且成立；2分若選②：由，且，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，2分故不存在，且；2分若選③：由，解得，從而，2分所以當(dāng)時(shí)，能使，成立．2分19．解：（1）∵點(diǎn)在直線上，，∴．1分當(dāng)時(shí)，，則，1分當(dāng)時(shí)，，．1分兩式相減，得，所以．1分所以是以首項(xiàng)為2，公比為2等比數(shù)列，1分所以．1分（2），1分，2分所以．3分20．【答案】解：（1）設(shè)捕撈n年的盈利為y元，則，1分由得，所以，1分所以，1分即捕撈三年后開(kāi)始盈利．1分（2）②平均盈利為，2分當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，年平均利潤(rùn)最大，1分所以經(jīng)過(guò)7年捕撈后年平均盈利最大，共盈利萬(wàn)元；1分②因?yàn)椋?分所以當(dāng)時(shí)，y的最大值為102，1分即經(jīng)過(guò)10年捕撈后年平均盈利最大，共盈利萬(wàn)元，1分故兩種方案獲利相等，但方案②的時(shí)間長(zhǎng)，所以方案①合算．1分21．解：（1）證明：，，1分可得，1分可得數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，1分可得，即；1分（2），，相減可得，化簡(jiǎn)可得；4分（3），，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；即，當(dāng)時(shí)，，即，則時(shí)，的最大值為，不等式恒成立，可得，即為，解得或．則m的取值范圍是，4分22．解：（1）根據(jù)題意，，所以，1分則橢圓方程轉(zhuǎn)化為，又點(diǎn)在橢圓上，所以，即，由于，故解得，則，3分故所求橢圓方程為；