簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

三、簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，平面曲線Ｃ可以用方程f(,)=0表示。曲線和方程滿足如下關(guān)系：(１)曲線Ｃ上任一點(diǎn)的坐標(biāo)(所有坐標(biāo)中至少有一個(gè))符合方程f(,)=0；(２)方程f(,)=0的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線Ｃ上。

那么，在極坐標(biāo)系中，平面曲線是否可應(yīng)用方程f(,)=0表示呢？1.圓的極坐標(biāo)方程探究如圖，半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為(a,0)(a>0)，你能用一個(gè)等式表示圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)(,)滿足的條件？xC(a,0)OAM(,)

如圖，圓經(jīng)過(guò)極點(diǎn)O，設(shè)圓和極軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，那么

即①

可以驗(yàn)證點(diǎn)O、A的坐標(biāo)滿足等式①。

于是，等式①就是圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)(,)

滿足的條件。另一方面，可以驗(yàn)證，坐標(biāo)符合等式①的點(diǎn)都在這個(gè)圓上。

一般的，在極坐標(biāo)中，如果曲線Ｃ上的點(diǎn)與方程f(,)=0有如下關(guān)系(１)曲線Ｃ上任一點(diǎn)的坐標(biāo)(所有坐標(biāo)中至少有一個(gè))符合方程f(,)=0；(２)方程f(,)=0的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線Ｃ上。則曲線Ｃ的方程是f(,)=0。因此①就是圓心在C(a,0)，半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程。

可以看出，在求曲線方程是，關(guān)鍵是找出曲線上的點(diǎn)滿足的幾何條件，將它用坐標(biāo)表示，在通過(guò)代數(shù)變換進(jìn)行化簡(jiǎn)。而且，與求圓的直角坐標(biāo)方程相比，求它的極坐標(biāo)方程更加簡(jiǎn)便，因?yàn)樵跇O坐標(biāo)系下，圓上點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的條件更容易表示，代數(shù)變換也更加直接。AOxM

例1、已知圓O的半徑為r，建立怎樣的坐標(biāo)系，可以使圓的極坐標(biāo)方程更簡(jiǎn)單？解：如果以圓心O為極點(diǎn)，從O出發(fā)的一條射線為極軸建立坐標(biāo)系，那么圓上各點(diǎn)的幾何特征就是它們的極徑都等于半徑r,

設(shè)M（

,

）為圓上任意一點(diǎn)，則，即。顯然，使極點(diǎn)與圓心重合時(shí)的圓的極坐標(biāo)方程在形式上比①簡(jiǎn)單。題組練習(xí)1求下列圓的極坐標(biāo)方程(１)中心在極點(diǎn)，半徑為2；

(２)中心在Ｃ(a,0)，半徑為a；

(３)中心在(a,/2)，半徑為a；

(４)中心在Ｃ(

0,

０)，半徑為r。

＝2

＝2acos

＝2asin

2+

0

2-2

0cos(-

０)=r2

極坐標(biāo)方程分別是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的兩個(gè)圓的圓心距是多少練習(xí)2１.小結(jié)：（１）曲線的極坐標(biāo)方程概念（２）怎樣求曲線的極坐標(biāo)方程（3）圓的極坐標(biāo)方程2.直線的極坐標(biāo)方程新課引入：思考：在平面直角坐標(biāo)系中1、過(guò)點(diǎn)(3,0)且與x軸垂直的直線方程為;x=3x=32、過(guò)點(diǎn)（a,b）且垂直于x軸的直線方程為_(kāi)______x=a特點(diǎn)：所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是一樣，縱坐標(biāo)可以取任意值。過(guò)點(diǎn)(3,3)且與x軸垂直的直線方程為答：與直角坐標(biāo)系里的情況一樣，求直線的極坐標(biāo)方程就是找出直線上動(dòng)點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo)

與

之間的關(guān)系，然后列出方程

(,)=0

，再化簡(jiǎn)并討論。怎樣求直線的極坐標(biāo)方程？探究：直線l過(guò)極點(diǎn)，從極軸到直線l的角為，求直線l的極坐標(biāo)方程。oMx﹚如圖，以極點(diǎn)為分界點(diǎn)，直線l上的點(diǎn)的極坐標(biāo)分成射線OM、射線ON兩部分，先看射線OM。故所求射線的極坐標(biāo)方程為：新課講授所求的射線上任一點(diǎn)的極角都是，其極徑可以取任意的非負(fù)數(shù)。射線ON上任意一點(diǎn)對(duì)極角都是，因此射線ON的極坐標(biāo)方程為：故過(guò)極點(diǎn)，傾角為的直線的極坐標(biāo)方程為：

和前面的直角坐標(biāo)系里直線方程的表示形式比較起來(lái)，極坐標(biāo)系里的直線表示起來(lái)很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？為了彌補(bǔ)這個(gè)不足，可以考慮允許通徑可以取全體實(shí)數(shù)。則上面的直線的極坐標(biāo)方程可以表示為或例2、求過(guò)點(diǎn)A(a,0)(a>0)，且垂直于極軸的直線L的極坐標(biāo)方程。解：如圖，設(shè)點(diǎn)為直線L上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，連接OM,ox﹚AM由有即可以驗(yàn)證，點(diǎn)A(a,0)的坐標(biāo)也滿足上式。因此，這就是所求直線的極坐標(biāo)方程求直線的極坐標(biāo)方程步驟1、根據(jù)題意畫(huà)出草圖；2、設(shè)點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)；3、連接MO；4、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于的方程，并化簡(jiǎn)；5、檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。例3設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，直線過(guò)點(diǎn)P且與極軸所成的角為,求直線的極坐標(biāo)方程。oxMP﹚﹚解：如圖，設(shè)點(diǎn)點(diǎn)P外的任意一點(diǎn)，連接OM為直線上除則由點(diǎn)P的極坐標(biāo)知設(shè)直線