矢量分析：旋度、散度、梯度

§1.1

矢量表示法和運算§1.2

通量與散度,散度定理

§1.3

環(huán)量與旋度,斯托克斯定理

§1.4

方向?qū)?shù)與梯度,格林定理

§1.5

曲面坐標(biāo)系

§1.6

亥姆霍茲定理第一章矢量分析Chapter1VectorAnalysis2023/10/201基本要求掌握矢量在正交坐標(biāo)系中的表示方法掌握矢量的代數(shù)運算及其在坐標(biāo)系中的物理意義掌握矢量積、標(biāo)量積的計算了解矢量場散度的定義，掌握其計算方法和物理意義；掌握散度定理的內(nèi)容，并能熟練運用。了解矢量場旋度的定義，掌握其計算方法和物理意義；掌握斯托克斯公式的內(nèi)容，并能數(shù)量應(yīng)用。2023/10/202了解標(biāo)量場的梯度的定義，掌握其計算方法和物理意義正確理解標(biāo)量格林定理和矢量格林定理的內(nèi)容，并學(xué)會應(yīng)用了解曲面坐標(biāo)系中矢量的表示方法、三種坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換了解曲面坐標(biāo)系中散度、旋度的表示線元、面積元、體積元的表示正確理解亥姆霍茲定理的內(nèi)容，并能正確應(yīng)用。2023/10/203物理量的表示矢量：大寫黑體斜體字母

A

大寫斜體字母加表示矢量的符號標(biāo)量：小寫斜體字母

u單位矢量：小寫上加倒勾ex2023/10/204

若一個矢量在三個相互垂直的坐標(biāo)軸上的分量已知,這個矢量就確定了。例如在直角坐標(biāo)系中,矢量A的三個分量模值分別是Ax,Ay,Az,則矢量的模Magnitudeofvector§1.1矢量表示法及其運算1.1.1矢量表示法及其和差2023/10/205A的單位矢量Unitvector和或差:Vectoradditionorsubtraction則

2023/10/206圖1-2矢量的相加和相減

2023/10/207

矢量的相乘有兩種定義:標(biāo)量積(點乘)和矢量積(叉乘)。它符合交換律:

1.1.2標(biāo)量積和矢量積定義：標(biāo)量積A·B是一標(biāo)量,其大小等于兩個矢量模值相乘,再乘以它們夾角αAB(取小角,即αAB≤π)的余弦:一、標(biāo)量積Dotproduction

特點：1、2023/10/208|B|cos

AB是矢量B在矢量A上的投影，|A|cos

AB是矢量A在矢量B上的投影。B矢量在A矢量上的投影（或者說矢量B在A上的分量）等于A?B/|A|2、2023/10/209并有互相垂直的兩個矢量的點積為03、4、2023/10/2010

定義：矢量積A×B是一個矢量,其大小等于兩個矢量的模值相乘,再乘以它們夾角αAB(≤π)的正弦,其方向與A,B成右手螺旋關(guān)系,為A,B所在平面的右手法向:

1、它不符合交換律。由定義知,二、矢量積Crossproduction

特點：2023/10/20112、2023/10/2012A×B各分量的下標(biāo)次序具有規(guī)律性。例如,分量第一項是y→z,其第二項下標(biāo)則次序?qū)φ{(diào):z→y,依次類推。并有2023/10/2013圖1-3矢量乘積的說明2023/10/2014矢量的三連乘也有兩種。標(biāo)量三重積:Scalartripleproduction

矢量三重積:Vectortripleproduction

公式右邊為“BAC-CAB”,故稱為“Back-Cab”法則,以便記憶。

1.1.3三重積

ABC2023/10/2015解：AB在C上的分量為：例：，求

給定兩矢量

和上的分量。

在2023/10/2016如果給定一未知矢量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢量。設(shè)A為一已知矢量，，p和P已知，試求X

解：由P=AX，有A

P＝A

(A

X)=(A·X)A-(A·A)X=pA-

(A·A)X例2023/10/2017作業(yè)P311-11-32023/10/2018§1.2通量與散度,散度定理

Flux,divergenceofavectorfield,divergencetheorem§1.2.1

矢量場的通量矢量場的空間變化規(guī)律通常用散度和旋度描述

矢量場的通量

定義：若矢量場A分布于空間中，在空間中存在任意曲面S，則為矢量A沿有向曲面S的通量。

若S為閉合曲面

物理意義：表示穿入和穿出閉合面S的矢量通量的代數(shù)和。

在電場中，電位移矢量在某一曲面上的面積分就是矢量通過該曲面的電通量；在磁場中，磁感應(yīng)強度在某一曲面上的面積分就是矢量通過該曲面的磁通量。

2023/10/2019通過閉合面S的通量的物理意義：在直角坐標(biāo)系中，通量可以寫成a)若，穿出閉合曲面的通量多于穿入的通量，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；例如，靜電場中的正電荷就是發(fā)出電力線的正源；

b)若，穿出閉合曲面的通量少于穿入的通量，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負源；靜電場中的負電荷就是接受電力線的負源；

c)若，閉合面無源。2023/10/20201.2.2散度Divergenceofavectorfield2、散度的物理意義1)矢量場的散度代表矢量場的通量源的分布特性；2)矢量場的散度是一個標(biāo)量；3)矢量場的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)；1、定義：當(dāng)閉合面

S

向某點無限收縮時，矢量

A通過該閉合面S的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場

A

在該點的散度，以

divA表示，即2023/10/20213、直角坐標(biāo)系中散度的表示散度可用算符哈密頓

表示為哈密頓

拉普拉斯

22023/10/2022正源負源無源2023/10/2023

散度的基本運算公式

C為常矢量k為常數(shù)u為標(biāo)量2023/10/2024上式稱為散度定理,也稱為高斯公式。1.2.3散度定理The

divergencetheorem既然矢量的散度代表的是其通量的體密度,因此直觀地可知,矢量場散度的體積分等于該矢量穿過包圍該體積的封閉面的總通量,即從數(shù)學(xué)角度可以認為高斯定理建立了面積分和體積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為高斯定理建立了區(qū)域

V中的場和包圍區(qū)域

V

的閉合面

S上的場之間的關(guān)系。如果已知區(qū)域

V中的場，根據(jù)高斯定理即可求出邊界

S上的場，反之亦然。散度定理：散度定理的物理意義：2023/10/2025點電荷q在離其r處產(chǎn)生的電通量密度為求任意點處電通量密度的散度▽·D，并求穿出r為半徑的球面的電通量[解]例2023/10/20262023/10/2027可見，除點電荷所在源點（r=0）外，空間各點的電通量密度散度均為零。這證明在此球面上所穿過的電通量的源正是點電荷q。2023/10/2028球面S上任意點的位置矢量為試?yán)蒙⒍榷ɡ碛嬎憬猓豪?023/10/2029

矢量A沿某封閉曲線的線積分,定義為A沿該曲線的環(huán)量(或旋渦量),記為§1.3環(huán)量與旋度,斯托克斯定理

Curl,circulation,TheStokes’stheorem1.3.1

環(huán)量Curlofavectorfield2023/10/2030為反映給定點附近的環(huán)量情況,我們把封閉曲線收小,使它包圍的面積ΔS趨近于零,取極限這個極限的意義就是環(huán)量的面密度,或稱環(huán)量強度。由于面元是有方向的,它與封閉曲線l的繞行方向成右手螺旋關(guān)系,因此在給定點處,上述極限值對于不同的面元是不同的。為此,引入旋度(curl或rotation):1.3.2旋度的定義和運算1、定義：2023/10/20312、旋度的物理意義矢量A的旋度是一個矢量,其大小是矢量A在給定點處的最大環(huán)量面密度,其方向就是當(dāng)面元的取向使環(huán)量面密度最大時,該面元矢量的方向。它描述A在該點處的旋渦源強度。若某區(qū)域中各點curlA=0,稱A為無旋場或保守場。2023/10/2032矢量A的旋度可表示為密勒算子

與A的矢量積,即

計算▽×A時,先按矢量積規(guī)則展開,然后再作微分運算,得

3、旋度的計算2023/10/2033第一章矢量分析即

2023/10/20344、旋度運算規(guī)則:

在直角坐標(biāo)系中有

2023/10/2035任一矢量場A的旋度的散度一定等于零

。任一無散場可以表示為另一矢量場的旋度。任何旋度場一定是無散場2023/10/2036一個矢量場的旋度是一個矢量函數(shù)，而一個矢量場的散度是一個標(biāo)量函數(shù)；旋度描述的是矢量場中各點的場量與渦旋源的關(guān)系，而散度描述的是矢量場中各點的場量與通量源的關(guān)系；如果矢量場所在的全部空間中，場的旋度處處為零，則這種場中不可能存在旋渦源，因而稱之為無旋場（或保守場）；如果矢量場所在的全部空間中，場的散度處處為零，則這種場中不可能存在通量源，因而稱之為無源場（或管形場）；在旋度公式中，矢量場的場分量Ax、Ay、Az分別只對與其垂直方向的坐標(biāo)變量求偏導(dǎo)數(shù)，所以矢量場的旋度描述的是場分量在與其垂直的方向上的變化規(guī)律；在散度公式中，矢量場的場分量Ax、Ay、Az分別只對x、y、z求偏導(dǎo)數(shù)，所以矢量場的散度描述的是場分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。4、旋度與散度的區(qū)別：2023/10/2037因為旋度代表單位面積的環(huán)量,因此矢量場在閉曲線l上的環(huán)量就等于l所包圍的曲面S上的旋度之總和,即此式稱為斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式。

它可將矢量旋度的面積分變換為該矢量的線積分,或反之。1.3.3斯托克斯定理TheStokes’stheorem2023/10/2038自由空間中的點電荷q所產(chǎn)生的電場強度為

求任意點處(r≠0)電場強度的旋度▽×E。

例2023/10/2039解：2023/10/2040可見,向分量為零;同樣,向和向分量也都為零。故

這說明點電荷產(chǎn)生的電場是無旋場。

因2023/10/2041證明下述矢量斯托克斯定理：式中S為包圍體積V的封閉面。

[證]設(shè)C為一任意常矢，則從而有（1-37）例1.42023/10/2042根據(jù)散度定理，上式左邊等于于是得由于上式中常矢C是任意的，故式（1-37）必成立。2023/10/2043§1.4方向?qū)?shù)與梯度,格林定理標(biāo)量場φ(x,y,z)在某點沿l方向的變化率稱為φ沿該方向的方向?qū)?shù)。它的值與所選取的方向有關(guān),設(shè)

方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)與梯度2023/10/2044梯度gradient是一個矢量

的模就是

在給定點的最大方向?qū)?shù)方向就是該具有最大方向?qū)?shù)的方向,亦即

的變化率最大的方向。2023/10/2045梯度運算規(guī)則:

2023/10/20462、梯度的物理意義1)、標(biāo)量場的梯度為一矢量，且是坐標(biāo)位置的函數(shù)；2)、標(biāo)量場的梯度表征標(biāo)量場變化規(guī)律：其方向為標(biāo)量場增加最快的方向，其幅度表示標(biāo)量場的最大增加率。任一標(biāo)量場

的梯度的旋度一定等于零。任一無旋場一定可以表示為一個標(biāo)量場的梯度任何梯度場一定是無旋場。梯度的重要性質(zhì)2023/10/2047將散度定理中矢量A表示為某標(biāo)量函數(shù)的梯度ψ與另一標(biāo)量函數(shù)φ的乘積,則有取上式在體積V內(nèi)的積分,并應(yīng)用散度定理,得二、格林定理TheGreen’stheorem(1)沿n方向的方向?qū)?shù)格林(G.Green)第一恒等式

Green’sfirstidentity

2023/10/2048S是包圍體積V的封閉面,是封閉面S的外法線方向單位矢量。適用于在體積V內(nèi)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)φ和ψ(2)說明：把式中的φ與ψ交換位置,有格林第二恒等式

Green’sfirstidentity

2023/10/2049(1)(2)兩式相減得設(shè)矢量函數(shù)P和Q在封閉面S所包圍的體積V內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),則有矢量格林定理2023/10/2050矢量格林第二定理:利用上述格林定理,可以將體積V中場的求解問題變換為邊界S上場的求解問題。如果已知其中一個場的分布特性,便可利用格林定理求解另一場的分布特性。2023/10/2051參看圖1,場點P(x,y,z)與源點P′(x′,y,′z′)間的距離為|R|,試證這里▽′表示對帶撇坐標(biāo)(x′,y′,z′)作微分運算(將P取為定點,P′為動點):例：2023/10/2052［證］

2023/10/2053即同理可得

2023/10/2054例:求P點的電位梯度▽φ。解

：在點電荷q的靜電場中,P(x,y,z)點的電位為2023/10/2055圖1-8柱坐標(biāo)系

§1.5曲面坐標(biāo)系1.5.1圓柱坐標(biāo)系Cylindricalcoordinatesystem三個單位矢量：矢量P三個坐標(biāo)分量各物理量的變化范圍：一、坐標(biāo)系2023/10/2056么么么么方面Sds絕對是假的么么么么方面Sds絕對是假的2023/10/2058

矢量A在柱坐標(biāo)系中的表示為：

以坐標(biāo)原點為起點,指向P點的矢量r,稱為P點的位置矢量或矢徑。在柱坐標(biāo)系中P點的位置矢量是

對任意的增量dρ,dφ,dz,P點位置沿,,方向的長度增量(長度元)分別為三者總保持正交關(guān)系,并遵循右手螺旋法則:

位置矢量二、矢量表示及相關(guān)物理量的表示長度增量(長度元)2023/10/2059每個坐標(biāo)長度增量同各自坐標(biāo)增量之比,稱為度量系數(shù),又稱拉梅(G.Lame)系數(shù),分別為與三個單位矢量相垂直的三個面積元和體積元分別是度量系數(shù)(拉梅系數(shù))：面積元和體積元：2023/10/2060圖1-9球面坐標(biāo)系1.5.2球面坐標(biāo)系Sphericalcoordinatesystem三個單位矢量：矢量P三個坐標(biāo)分量各物理量的變化范圍：一、坐標(biāo)系2023/10/2061遵循右旋法則:

矢量A在球坐標(biāo)系中的表示

：二、矢量表示及相關(guān)物理量的表示長度增量(長度元)度量系數(shù)：

2023/10/2062面積元和體積元：

2023/10/2063圖1-10三種坐標(biāo)間的變換

1.5.3三種坐標(biāo)的變換及場論表示式2023/10/2064直角坐標(biāo)－柱坐標(biāo)2023/10/2065直角坐標(biāo)－球坐標(biāo)2023/10/2066

在柱坐標(biāo)中三個長度元分別為dρ,ρdφ和dz,因而其算子相應(yīng)地換為球坐標(biāo)長度元為dr,rdθ和rsinθdφ,故其▽算子為

算子

2023/10/2067柱坐標(biāo)中矢量A的散度和旋度

為了對矢量函數(shù)求導(dǎo),一個常用的公式是2023/10/2068球坐標(biāo)中矢量A的散度和旋度2023/10/2069在一對相距為l的點電荷+q和-q(電偶極子)的靜電場中,距離r>>l處的電位為求其電場強度E(r,θ,φ)。解

：例1.72023/10/2070亥姆霍茲定理的簡化表述如下:若矢量場F在無限空間中處處單值,且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界,而源分布在有限區(qū)域中,則矢量場由其散度和旋度唯一地確定。并且,它可表示為一個標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個矢量函數(shù)的旋度之和,即§1.6亥姆霍茲定理2023/10/2071二.矢量場的分類根據(jù)矢量場的散度和旋度值是否為零進行分類：1)調(diào)和場

若矢量場F在某區(qū)域V內(nèi)，處處有：

F=0和

F=0

則在該區(qū)域V內(nèi)，場F為調(diào)和場。

注意：不存在在整個空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場。調(diào)和場，有源無旋場，無源有旋場，有源有旋場2023/10/2072如果，則稱矢量場F為無旋場。無旋場F可以表示為另一個標(biāo)量場的梯度，即函數(shù)u稱為無旋場F的標(biāo)量位函數(shù)，簡稱標(biāo)量位。

無旋場F沿閉合路徑C的環(huán)量等于零，即這一結(jié)論等價于無旋場的曲線積分與路徑無關(guān)，只與起點P和終點Q有關(guān)。標(biāo)量位u的積分表達式：2)有源無旋場

2023/10/2073由，有2023/10/2074函數(shù)A稱為無源場F的矢量位函數(shù)，簡稱矢量位。無源場F通過任何閉合曲面S的通量等于零，即4)有源有旋場一般的情況下，如果在矢量場F的散度和旋度都不為零，即如果，則稱矢量場F為無源場。無源場F可以表示為另一個矢量場的旋度，即3)無源有旋場2023/10/2075可將矢量場F表示為一個無源場Fs和無旋場Fi

的疊加，即其中Fs和Fi分別滿足于是因而，可定義一個標(biāo)量位函數(shù)u和矢量位函數(shù)A，使得2023/10/2076常用的矢量恒等式2023/10/20772023/10/2078矢量分析小結(jié)基本內(nèi)容

矢量場的表示方法和代數(shù)運算和乘積運算矢量場的散度和旋度標(biāo)量場的梯度曲面坐標(biāo)系亥姆霍茲方程2023/10/2079基本要求掌握矢量在正交坐標(biāo)系中的表示方法掌握矢量的代數(shù)運算及其在坐標(biāo)系中的物理意義掌握矢量積、標(biāo)量積的計算了解矢量場散度的定義，掌握其計算方法和物理意義；掌握散度定理的內(nèi)容，并能熟練運用。了解矢量場旋度的定義，掌握其計算方法和物理意義；掌握斯托克斯公式的內(nèi)容，并能數(shù)量應(yīng)用。2023/10/2080了解標(biāo)量場的梯度的定義，掌握其計算方法和物理意義正確理解標(biāo)量格林定理和矢量格林定理的內(nèi)容，并學(xué)會應(yīng)用了解曲面坐標(biāo)系中矢量的表示方法、三種坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換了解曲面坐標(biāo)系中散度、旋度的表示線元、面積元、體積元的表示正確理解亥姆霍茲定理的內(nèi)容，并能正確應(yīng)用。2023/10/2081本章重要公式2023/10/20822023/10/20832023/10/2084例利用直角坐標(biāo)，證明

證明：2023/10/2085例：給定兩矢量A=2ex+3ey-4ez和B=4ex-5ey+6ez

，求它們之間的夾角和A在B上的分量。解：A與B之間的夾角為

A在B上的分量為

2023/10/2086例：在的方向?qū)?shù)為求標(biāo)量函數(shù)

＝x2yz的梯度及

在一個指定方向的方向?qū)?shù)，此方向由單位矢量

定出；求點(2,3,1)的方向?qū)?shù)值解：2023/10/2087例：利用散度定理及斯托克斯定理證明：1）2）證明:對于任意閉合曲線為邊界的任意曲面，由斯托克斯定理由于曲面S是任意的，故有2023/10/20882)對于以任意閉合曲面S為邊界的體積V，由散度定理有

其中S1和S2如圖1所示。由斯托克斯定理，有由題圖1可知C1和C2是方向相反的同一回路，則有2023/10/2089圖1S1S2C2C1n1n2所以得到

由于體積V是任意的，故有2023/10/2090習(xí)題及答案

已知,求：(b)(c)(d)（a）1-5解：(a)(b)(c)(d)2023/10/20911-8設(shè)為使，，且，的模B=1，試確定a、b的值。解：，則得，又因即得或2023/10/2092應(yīng)用散度定理計算下述積分：S是和所圍成的半球區(qū)域的外表面解：1-132023/10/20931-14，在r=1和r=2兩個球面之間的區(qū)域存在矢量場計算：（a）（b）解：（a）2023/10/2094（b）可見散度定理成立。2023/10/20951-16，證明：證：設(shè)所以，2023/10/2096又所以，2023/10/20971-18，y的積分限為）。并驗證斯托克設(shè)，試計算下述面積分：S為x-y平面第一象限內(nèi)半徑為3的四分之一圓（即x的積分限為斯定理。解：303xyz2023/10/2098所以2023/10/2099又，所以，斯托克斯定理成立。2023/10/201001-21在靜電場中，電場強度。試求點（2，2，0）處的，設(shè)（a）；（b）解：（a）所以；2023/10/20101（b）所以，2023/10/201021-23求在點（2，3，1）處的梯度及沿方向的方向?qū)?shù)。解：所以，2023/10/20103習(xí)題及答案1.1

給定三個矢量、和如下：A=1ex+2ey-3ez，B=3ex+1ey+2ez，C=2ex-1ez求：(1)|A|，|B|，|C|；(2)ea，eb，ec；(