【ch07】小波變換和其他圖像變換

數(shù)字圖像處理（第四版）小波變換和其他圖像變換第七章國外電子與通信教材系列01背景

背景02基于矩陣的變換變換1.矩形陣列待變換陣列是矩形陣列(相對于方形陣列)時，式(7.35)和式(7.36)變?yōu)?.復規(guī)范正交基向量復值基向量是規(guī)范正交的，當且僅當3.雙規(guī)范正交基向量在式(7.24)中，如果存在一組對偶展開函數(shù)使得03相關概述

04時間-頻率平面的基函數(shù)基函數(shù)圖7.3中描述了一些常見變換的基向量，大多數(shù)正交基數(shù)學上是相關的正弦波、方波、斜坡波和小波集合。若h(t)是一個基向量，g(t)是正被變換的函數(shù)，則前節(jié)給出的變換系數(shù)g*h(0)是g和h的相似性的測度。05基圖像06傅里葉相關的變換變換離散哈特利變換(DHT)的變換矩陣是將如下反變換核代人式(7.22)和式(7.24)得到的：其可分離的二維公式是因為得到的DHT變換矩陣Amy

(見圖7.8)是實的、正交的和對稱的，因此,并且Amy可用于計算正、反變換。離散余弦變換最常見離散余弦變換(DCT)的變換矩陣，是通過將如下反變換核代入式(7.22)和式(7.24)得到的：式中離散正弦變換離散正弦變換(DST)的變換矩陣是通過將如下反變換核代入式(7.22)和式(7.24)得到的：其可分離的二維公式是圖7.13中以A,表示的變換矩陣是實的、正交的和對稱的。07沃爾什-哈達瑪變換變換沃爾什-哈達瑪變換(WHT)是非正弦變換，它將函數(shù)分解為矩形基函數(shù)(值為+1和-1,稱為沃爾什函數(shù))的線性組合。沃爾什-哈達瑪變換矩陣中基函數(shù)的排序決定正在計算的變換的變體。對于哈達瑪排序(也稱自然排序),變換矩陣是將如下反變換核代入式(7.22)和式(7.24)得到的：08斜變換概述許多單色圖像具有大面積灰度均勻的區(qū)域和灰度線性增大或減小的區(qū)域。除離散正弦變換外，我們給出的所有變換都包含一個基向量(在頻率或列率u=0處),用于有效地表示恒定灰度區(qū)域，但沒有一個基函數(shù)專門用于表示線性增大或減小的灰度值。本節(jié)考慮的變換稱為斜變換，它包括這樣的一個基函數(shù)。NxN階斜變換的變換矩陣(其中N=2")是用下式遞歸生成的：09哈爾變換概述

10小波變換尺度函數(shù)考慮由實的、平方可積的父尺度函數(shù)φ(x)的所有整數(shù)平移和二元縮放組成的基函數(shù)集合，即縮放和平移后的函數(shù)集{φjk,(x)

|j,k∈Z},其中式中，整數(shù)平移k決定φjk,(x)沿x軸的位置，尺度j決定φjk,(x)的形狀，即其寬度和幅度。小波函數(shù)

小波級數(shù)展開

一維離散小波變換1.快速小波變換多分辨率細化方程及其小波對應公式(7.125)和式(7.130)。2.快速小波反變換圖7.24(a)顯示了一個三尺度濾波器組，其中圖7.23的FWT分析濾波器為創(chuàng)建一個三級結構被“迭代”了三次。二維小波變換圖7.29(a)中的單尺度濾波器組可以迭代地(通過將近似輸出與另一個濾波器組的輸入關聯(lián)起來)產(chǎn)生一個P≤J尺度變換，其中尺度j=J-1,J-2,…,J-P。小波包快速小波變換將函數(shù)分解為尺度和小波函數(shù)之和，其中尺度和小波函數(shù)的帶寬呈對數(shù)關系。也就是說，函數(shù)的低頻內(nèi)容用窄帶寬的尺度和小波函數(shù)表示，高頻內(nèi)容用寬帶寬的函數(shù)表示，如圖7.5所示。每個恒定高度小片的水平條帶(單個FWT尺度的基函數(shù)沿頻率軸上移時，其高度以對數(shù)方式增加。要更好地控制時間-頻率平面的劃分(即得到更小的高頻帶寬)，必須將FWT推廣到稱為小波包的更靈活的分解(CoifmanandWickerhause