對于自然數(shù)方冪和的公式證明探究 論文

對于自然數(shù)方冪和的公式證明探究n摘 pm（mK把自然數(shù)的方冪之和化為n的多項式的方法，將論述化為多項式的合理性。關鍵詞：自然數(shù)方冪和朱世杰公式引 1667—1748）1713年探討并運用了以其名字命名的伯努利數(shù)，解決了自然數(shù)方冪和的表達式。在其后的近300年來，npm（mK）的問題，由于組合數(shù)學的發(fā)展，p不斷出現(xiàn)。為此，我們整理提供多種數(shù)學方法，面圍繞方法給出證明及應用。一.降低次數(shù)法為了推出1n2n的公式證明。

nn的公式，我們先1222

n21(n1)(2n6證明：利用恒等式(n1)3n33n23n1(n1)3n33n23n1n3(n3(n1)23(n1……3323123332311把這n個等式兩端分別相加，得(n1)322

n2)2

n)n由于12

n1n(n2代入上式，得n33n23n22整理后，得

n2)31n(nn222

n21(n1)(2n6注：此方法可順序推出1n2n

nn的公式。這也是我們高中教學時常常跟學生介紹的一種方法，容易理解，方便推廣延申。二.招差拆項法在給出拆項之前，我們先給出朱世杰公式：2

n(n1n(n1)(n2)32

n(n1)(n2)1n(n1)(n2)(n42

n(n123

n(n1242)31n(n1)(n2)3注：“招”來的“差”3+2)--1)。

n(n2)(n21241n(n1)(n2)(n4

n(n1)(n2)n(n1)(n2)[(n(n注：“招”來的“差”4(n(n.

k2

(k

n(n

(nk)1(n1)nk1n

(n

k2,kN)下面利用“招差法”給出自然數(shù)方冪和的公式證明。例1證明：1222

n21(n1)(2n62)

n(n12

n(1222

n2)1n(n(122221n(n1)(n2)3

n2)22

n21n(n3

n2)1n(n21n(n1)(2n6n n證法二：i2(i2in n(ii1(n1)n(n1n(n3 21n(n1)(2n6例2證明：1323

n3[n(n1)]2。2證：2

n(n1)(n2)23

n3)22

n2)2(12

n)1n(n1)(n2)(n423

n31n(n1)(n2)(n34[n(n1)]22

1n(n1)(2n26

1n(n2注：進而可以根據(jù)朱世杰公式的推廣，利用拆項法求出1n+2n+LL

+nn的公式。用朱世杰公式可以求自然數(shù)的和，平方和，立方和等，更可以求特殊自然數(shù)列奇次冪（偶次冪）很多特殊數(shù)列求和問題。三.多項式法由文獻[2]中所給命題，我們整理成如下命題。設m和n是任意正整數(shù)，那么當m確定以后，對于n的所有值，總有n 0 1

m

pmanm1anm

ana成立。其中a0,am,是與m和n無關的數(shù)。對于命題的證明，與文獻[3]的命題證明類似。根據(jù)命題的結論，設m是任意一個正整數(shù)，存在一個m+1次多項式使npm

a0n

mm

amn（1）我們來確定（1）中的系數(shù)a0,,用n-1代替（1）兩邊的n，得

,am,。n 0 1

m

pma(na(n1)ma

(nam2兩式相減，得m2nm

a0[n

(n

]a1[n

(n

]

am1[n

(n

]am（2）在（2）式兩邊逐漸求導數(shù)，得1階：mn

(m1)a[nm

(n

]ma1[n

(n

]

m(m1)nm2(m1)ma[nm1(n]m(m[nm2(n1)m2]2階：

0 1m-1階：m(m

……(m1)m(m

04[n2(n1)2]0m(m2)(m取n=1a0,,性方程組

,am,的線

am1am11)a0

mm1)ma

m(m

m(m0

1 m21)m

4m(mm(m1)!a0這個方程組有唯一的一組解。對于命題的證明，在文獻[3]中已給出詳細過程。m例：求

p3。解：取m3，依方程組（3）形式寫出方程組a2a3a4100aa

a2a

a31a03

12

23 0

!a0!解這個方程組，得a1,a

1,a

1,a

0,a

0。0 4 1 2 2 4 3 4把這組數(shù)