全等三角形的基本模型探究1專題復習課件浙教版數(shù)學八年級上冊

全等三角形的基本模型探究1第1章-第2章浙教版八年級上冊課前復習例題探究【1】

平移模型把△ABC沿著某一條直線l平行移動，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見的平移型全等三角線.例題探究【例1】如圖1，A，B，C，D在同一直線上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求證：△AFC≌△DEB．如果將BD沿著AD邊的方向平行移動，如圖2，3時，其余條件不變，結(jié)論是否成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．例題探究【2】

軸對稱模型將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個三角形稱之為軸對稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.例題探究【例2】如圖，在等腰三角形ABC中，CH是底邊上的高線，P是線段CH上不與端點重合的任意一點，連結(jié)AP并延長交BC于點E，連結(jié)BP并延長交AC于點F.求證：(1)∠CAE＝∠CBF.(2)AE＝BF.【解析】(1)∵△ABC是等腰三角形，CH是底邊上的高線，∴CA＝CB，∠ACP＝∠BCP.又∵PC＝PC，∴△ACP≌△BCP(SAS)．∴∠CAE＝∠CBF.例題探究【例3】如圖，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一點．求證：∠BDP＝∠CDP．例題探究【3】

旋轉(zhuǎn)模型將三角形繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個三角形能夠完全重合，則稱這兩個三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識別旋轉(zhuǎn)型三角形時，涉及對頂角相等、等角加（減）公共角的條件.例題探究【例4】如圖，在△ABC和△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，連結(jié)AD，BE相交于點M.(1)如圖1，當點B，C，D在同一條直線上，且∠ACB＝∠DCE＝45°時，可以得到圖中的一對全等三角形，即__________≌__________.(2)當點D不在直線BC上時，如圖2所示，且∠ACB＝∠DCE＝α.①試說明AD＝BE.②直接寫出∠EMD的度數(shù)(用含α的式子表示)．例題探究解：(2)①∵∠ACB＝∠DCE＝α，∴∠ACB＋∠ACE＝∠ACE＋∠DCE，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE.②∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE.又∵∠BAC＋∠ABC＝180°－α，∴∠BAM＋∠ABM＝180°－α，∴∠EMD＝∠AMB＝180°－(180°－α)＝α.例題探究【4】一線三等角模型基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.ACBED例題探究【例5】已知：在△ABC中，AB＝AC，直線l過點A．（1）如圖1,∠BAC＝90°,分別過點B,C作直線l的垂線段BD,CE，垂足分別為D,E．①依題意補全圖1；②用等式表示線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖2，當∠BAC≠90°時，設(shè)∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，點D，E在直線l上，直接用等式表示線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系為

．例題探究解：（1）①依題意補全圖形如圖1所示．②用等式表示DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系為DE＝BD+CE．證明：∵CE⊥l，BD⊥l，∴∠CEA＝∠ADB＝90°．∴∠ECA+∠CAE＝90°．∵∠BAC＝90°，直線l過點A，∴∠CAE+∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°．∴∠ECA＝∠BAD．又∵AC＝AB，∴△CEA≌△ADB（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD．∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（2）用等式表示DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系為DE＝BD+CE，理由如下：∵∠BAE是△ABD的一個外角，∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD，∵∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE．例題探究【例6】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，求證：DE＝AD﹣BE；（3）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，請直接寫出DE，AD，BE之間的等量關(guān)系．例題探究解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②∵△ADC≌△CEB，∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE+CD＝AD+BE；（2）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）當MN旋轉(zhuǎn)到題圖（3）的位置時，AD，DE，BE所滿足的等量關(guān)系是：DE＝BE﹣AD．理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．例題探究【例7】（1）如圖1所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為D，E.求證：DE=BD+CE．（2）如圖2所示，將（1）題中的條件改為：在△ABC

中，AB=AC，D，A，E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意鈍角，請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）如圖3，過△ABC的邊AB，AC分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高線，延長HA交EG于點I.求證：EI=GI.例題探究（1）證明：（2）證明：例題探究（3）證明：例題探究【5】倍長中線模型中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法．例題探究【例8】八年級一班數(shù)學興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD至點E，使ED＝AD，連接BE，寫出圖中全等的兩個三角形

【理解與應用】（2）填空：如圖2，EP是△DEF的中線，若EF＝5，DE＝3，設(shè)EP＝x，則x的取值范圍是

．（3）已知：如圖3，AD是△ABC的中線，∠BAC＝∠ACB，點Q在BC的延長線上，QC＝BC，求證：AQ＝2AD．例題探究例題探究例題探究【6】截長補短模型截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系.截長，指在長線段中截取一段等于已知線段;補短，指將短線段延長，延長部分等于已知線段.該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句,可以采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程例題探究【例9】已知在四邊形ABCD中，∠DAB＋∠BCD＝180°，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝BC，點E，F(xiàn)分別在射線DA，DC上，滿足EF＝AE＋CF.(2)如圖2，若點E，F(xiàn)分別在線段DA，DC的延長線上，請直接寫出∠EBF與∠ADC的數(shù)量關(guān)系．例題探究解：(1)如答圖1，延長DA至點H，使AH＝CF，連結(jié)BH.∵∠DAB＋∠BCD＝180°，∠DAB＋∠BAH＝180°，∴∠BCD＝∠BAH，即∠BCF＝∠BAH.又∵AB＝CB，AH＝CF，∴△HAB≌△FCB(SAS)，∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF.又∵EF＝AE＋CF，∴EF＝AE＋AH＝EH.又∵BH＝BF，BE＝BE，∴△BEH≌△BEF(SSS)，∴∠EBH＝∠EBF，∴∠EBA＋∠CBF＝∠EBF，例題探究如答圖2，延長CD至點H，使CH＝AE，連結(jié)BH.∵∠DAB＋∠BCD＝180°，∠DAB＋∠BAE＝180°，∴∠BCD＝∠BAE，即∠BCH＝∠BAE.又∵AB＝CB，AE＝CH，∴△AEB≌△CHB(SAS)，∴BE＝BH，