2023-2024學年北師大版選擇性必修第一冊 　第二章 1-1　第2課時　橢圓的標準方程的綜合問題 學案

第2課時橢圓的標準方程的綜合問題[學習目標]1.進一步熟悉橢圓的定義，并能運用其解決一些相關的問題.2.理解點與橢圓的位置關系．一、橢圓方程的設法例1求滿足下列條件的橢圓的標準方程：(1)以點F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)為焦點，經(jīng)過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2\r(5),5))).(2)求過點(eq\r(3)，－eq\r(5))，且與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同焦點的橢圓的標準方程；(3)已知橢圓的中心在原點，過點(eq\r(5)，－2)和(0,2eq\r(2))，求橢圓的標準方程．解(1)設橢圓的標準方程為eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m>n>0)，焦距為2c0.由題意得c0＝1，|PF1|＝eq\r(9＋\f(4,5))＝eq\f(7\r(5),5)，|PF2|＝eq\r(1＋\f(4,5))＝eq\f(3\r(5),5)，則m＝eq\f(|PF1|＋|PF2|,2)＝eq\f(\f(7\r(5),5)＋\f(3\r(5),5),2)＝eq\r(5)，n＝eq\r(5－1)＝2，故橢圓的標準方程為eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)設所求橢圓方程為eq\f(y2,25－k)＋eq\f(x2,9－k)＝1(k<9)，將點(eq\r(3)，－eq\r(5))代入，可得eq\f(－\r(5)2,25－k)＋eq\f(\r(3)2,9－k)＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，故所求橢圓的標準方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.(3)設所求橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，橢圓過點(eq\r(5)，－2)和(0,2eq\r(2))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5m＋4n＝1，,8n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,10)，,n＝\f(1,8)，))所以橢圓的標準方程為eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,8)＝1.反思感悟求橢圓標準方程的方法(1)定義法：根據(jù)橢圓定義，確定a2，b2的值，結合焦點位置寫出橢圓方程．(2)待定系數(shù)法：先判斷焦點位置，設出標準方程形式，最后由條件確定待定系數(shù)即可．即“先定位，后定量”．當所求橢圓的焦點位置不能確定時，應按焦點在x軸上和焦點在y軸上進行分類討論，但要注意a>b>0這一條件．(3)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1有相同焦點的橢圓的標準方程一般設為eq\f(x2,a2－k)＋eq\f(y2,b2－k)＝1.(4)當已知橢圓經(jīng)過兩點求橢圓的標準方程時，橢圓的方程設成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式．跟蹤訓練1求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)與橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1有相同的焦點，且經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))；(2)經(jīng)過Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(\r(2),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)，－\f(\r(3),2)))兩點．解(1)設所求橢圓方程為eq\f(x2,2－k)＋eq\f(y2,1－k)＝1(k<1)，將點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))代入，可得eq\f(1,2－k)＋eq\f(9,41－k)＝1，解得k＝－2或k＝eq\f(7,4)(舍去)，故所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)設所求的橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．把Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(\r(2),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)，－\f(\r(3),2)))兩點代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4m＋\f(1,2)n＝1，,2m＋\f(3,4)n＝1，))解得m＝eq\f(1,8)，n＝1，∴橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋y2＝1.二、橢圓定義的應用例2已知P為橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積．解由已知得a＝2eq\r(3)，b＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(12－3)＝3，從而|F1F2|＝2c＝6，在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°，即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝4eq\r(3)，即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②由①②得|PF1|·|PF2|＝4.所以＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin60°＝eq\r(3).延伸探究若將本例中“∠F1PF2＝60°”變?yōu)椤啊螾F1F2＝90°”，求△F1PF2的面積．解在△F1PF2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋36，又由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2×2eq\r(3)＝4eq\r(3)，所以|PF2|＝4eq\r(3)－|PF1|.從而有(4eq\r(3)－|PF1|)2＝|PF1|2＋36，解得|PF1|＝eq\f(\r(3),2).所以△F1PF2的面積S＝eq\f(1,2)·|PF1|·|F1F2|＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×6＝eq\f(3\r(3),2)，即△F1PF2的面積是eq\f(3\r(3),2).反思感悟橢圓定義的應用技巧(1)涉及橢圓上的點到焦點的距離問題時，利用橢圓的定義進行轉化．(2)橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1，F(xiàn)2構成的△PF1F2稱為焦點三角形，可以利用橢圓的定義，結合正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識求解．跟蹤訓練2設P為橢圓C：eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點，且△PF1F2的重心為點G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面積為()A．24B．12C．8D．6答案C解析∵P為橢圓C：eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1上一點，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，∴|PF1|＝6，|PF2|＝8.又|F1F2|＝2c＝2eq\r(49－24)＝10，∴易知△PF1F2是直角三角形，＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝24.∵△PF1F2的重心為G，∴＝，∴△GPF1的面積為8.三、點與橢圓的位置關系例3已知直線mx＋ny－5＝0與圓x2＋y2＝5沒有公共點，則點P(m，n)與橢圓eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,5)＝1的位置關系是()A．在橢圓內(nèi) B．在橢圓外C．在橢圓上 D．不確定答案A解析∵直線mx＋ny－5＝0與圓x2＋y2＝5沒有公共點，∴eq\f(5,\r(m2＋n2))>eq\r(5)，即m2＋n2<5，∴m2<5，n2<5.又∵eq\f(m2,7)＋eq\f(n2,5)<eq\f(5－n2,7)＋eq\f(n2,5)＝eq\f(25＋2n2,35)<1，∴點P(m，n)在橢圓內(nèi)部．反思感悟點與橢圓的位置關系的判斷(1)根據(jù)橢圓的定義判斷點P(x0，y0)與橢圓的位置關系如下：|PF1|＋|PF2|<2a?點P在橢圓內(nèi)部；|PF1|＋|PF2|＝2a?點P在橢圓上；|PF1|＋|PF2|>2a?點P在橢圓外部．(2)對于點P(x0，y0)與橢圓的位置關系，有如下結論：點P(x0，y0)在橢圓外?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1；點P(x0，y0)在橢圓內(nèi)?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；點P(x0，y0)在橢圓上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1.跟蹤訓練3若點P(0,1)在焦點在x軸上的橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1的內(nèi)部，則m的取值范圍是________．答案(1,5)解析由題意知eq\f(02,5)＋eq\f(12,m)<1，∴m>1，又橢圓的焦點在x軸上，∴m<5，故m的取值范圍是(1,5)．1．知識清單：(1)橢圓方程的設法．(2)橢圓定義的應用．(3)點與橢圓的位置關系．2．方法歸納：轉化與歸納．3．常見誤區(qū)：求參數(shù)范圍時，忽視焦點所在的坐標軸而致錯．1．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A(0，b)，△AF1F2的面積為eq\r(3)，且∠F1AF2＝∠AF1F2，則橢圓方程為()A.eq\f(x2,3)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,4)＋y2＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1答案D解析由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)·2c·b＝\r(3)，,b＝\r(3)c，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，,c＝1，))所以橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.2．設P為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1上的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其上、下焦點，則|PF1|·|PF2|的最大值是()A．4B．6C．9D．12答案C解析|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，|PF1|·|PF2|≤eq\f(|PF1|＋|PF2|2,4)＝9，當且僅當|PF1|＝|PF2|時取等號．3．若點P(1，m)在橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1內(nèi)，則m的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))解析由題意知，eq\f(1,2)＋m2<1，則－eq\f(\r(2),2)<m<eq\f(\r(2),2).4．設F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，則△F1PF2的面積為____________．答案4解析由橢圓方程，得a＝3，b＝2，c＝eq\r(5)，因為|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以△PF1F2是直角三角形，故△F1PF2的面積為eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×4×2＝4.1．已知橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1，點A(1,1)，則點A與橢圓C的位置關系是()A．點在橢圓上 B．點在橢圓內(nèi)C．點在橢圓外 D．無法判斷答案B解析因為eq\f(1,9)＋eq\f(1,5)＝eq\f(14,45)<1，所以點A在橢圓C內(nèi)部．2．已知橢圓eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,10－m)＝1的焦點在x軸上，焦距為4，則m等于()A．8B．7C．6D．5答案A解析因為橢圓eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,10－m)＝1的焦點在x軸上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2>0，,10－m>0，,m－2>10－m，))解得6<m<10.因為焦距為4，即2c＝4，所以c＝2，所以c2＝m－2－(10－m)，解得m＝8，滿足6<m<10.3．已知橢圓過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－4))和點Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，3))，則此橢圓的標準方程是()A.eq\f(y2,25)＋x2＝1B.eq\f(x2,25)＋y2＝1或x2＋eq\f(y2,25)＝1C.eq\f(x2,25)＋y2＝1D．以上都不對答案A解析設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,25)m＋16n＝1，,\f(16,25)m＋9n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(1,25).))所以此橢圓的標準方程為eq\f(y2,25)＋x2＝1.4．設P為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點，且|PF1|＝4|PF2|，則()A．△PF1F2為銳角三角形B．△PF1F2為鈍角三角形C．△PF1F2為直角三角形D．P，F(xiàn)1，F(xiàn)2三點構不成三角形答案D解析由題意可知，a＝5，b＝4，則c＝3，又|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝8，|PF2|＝2，且|F1F2|＝6，則6＋2＝8，即P，F(xiàn)1，F(xiàn)2三點共線，構不成三角形．5．(多選)設F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的兩個焦點，P是橢圓上一點，且|PF1|－|PF2|＝2.則下列說法中正確的是()A．|PF1|＝5，|PF2|＝3B．△PF1F2為直角三角形C．＝6D．＝12答案ABC解析由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝8.又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，又|F1F2|＝2c＝4，∴|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，故△PF1F2為直角三角形，∴＝eq\f(1,2)×3×4＝6.6．設m，n為不相等的正實數(shù)，橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦點分別為F1(0,2)與F2(0，－2)．若此橢圓上存在點P使得△PF1F2為正三角形，則m＋n等于()A．4＋2eq\r(3) B．2eq\r(7)C．28 D．36答案C解析要使△PF1F2為正三角形，則|PF1|＝|PF2|＝|F1F2|＝2c＝4，所以|PF1|＝|PF2|＝a＝eq\r(n)＝4，即n＝16，故m＝n－c2＝12，則m＋n＝28.7．已知橢圓C經(jīng)過點A(2,3)，且點F(2,0)為其右焦點，則橢圓C的標準方程為________________．答案eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1解析方法一依題意，可設橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，且可知左焦點為F′(－2,0)．依題意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝2，,2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝2，,a＝4.))又a2＝b2＋c2，∴b2＝12，故橢圓C的標準方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.方法二依題意，可設橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(9,b2)＝1，,a2－b2＝4，))解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，從而a2＝16.∴橢圓C的標準方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.8．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，則實數(shù)a的值為________．答案3解析由題意，可知b＝eq\r(2)，c＝eq\r(a2－2)，|PF1|＝4，則|PF2|＝2a－4.|F1F2|＝2c＝2eq\r(a2－2)，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)，即－eq\f(1,2)＝eq\f(16＋2a－42－4a2－2,2×42a－4)，解得a＝3.9．已知橢圓eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦點分別是F1(0，－1)，F(xiàn)2(0,1)，且3a2＝4b2.(1)求橢圓的標準方程；(2)設點P在這個橢圓上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．解(1)依題意，知c2＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，所以a2－eq\f(3,4)a2＝1，即eq\f(1,4)a2＝1，所以a2＝4，b2＝3，故橢圓的標準方程為eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1.(2)由于點P在橢圓上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4.又|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝eq\f(5,2)，|PF2|＝eq\f(3,2).又|F1F2|＝2c＝2，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2－22,2