層狀地基軸向受荷單樁的邊界單元法奇異處理

層狀地基軸向受荷單樁的邊界單元法奇異處理

1樁-土作用研究樁基面是土木工程中常見的基本形式。目前，它被應(yīng)用于線性理論的分析和計算。Poulos提出了以Mindlin解為基礎(chǔ)的比較完整的彈性理論法來分析樁基礎(chǔ),隨后Poulos和Davis又對該方法進(jìn)行了系統(tǒng)的歸納和總結(jié),給出了一系列圖表,供設(shè)計使用。Muki和Sternberg提出了虛擬樁的概念來分析樁-土相互作用問題,并把該問題最終歸結(jié)為第2類Fredholm積分方程的求解。Butterfield和Banerjee運用邊界單元法來分析樁-土作用問題,通過引入樁表面的未知虛擬力分布函數(shù)(包括徑向和豎向),根據(jù)樁-土變形協(xié)調(diào)條件建立樁-土共同作用的奇異積分方程,通過對奇異積分方程的求解,得出樁的軸力和位移。對于層狀地基中的樁-土作用問題,國內(nèi)外不少學(xué)者也進(jìn)行了研究。在國外,Chin等和Lee等分別研究了2層地基中的樁基計算問題,Lee和Small運用有限層法來分析了層狀地基中的樁基;在國內(nèi),金波等、艾智勇、王建華等也分別對層狀地基中的樁-土相互作用問題進(jìn)行了分析。運用邊界元法對樁-土相互作用問題進(jìn)行研究有其獨特的優(yōu)點:該方法只在邊界上剖分單元,并通過基本解把域內(nèi)未知量化為邊界未知量來求解,這就使得自由度數(shù)目大大減少,而且由于基本解本身的奇異性特點,使得用邊界元法解決奇異問題時的精度較高,但合理反映真實地基性狀的基本解的選取和對其奇異性的處理是運用該方法分析問題成功的關(guān)鍵。天然地基往往呈層狀分布,故本文以層狀地基內(nèi)部作用一豎向集中力時的廣義Mindlin解作為邊界單元法的基本解,運用邊界元法來分析層狀地基中的軸向受荷單樁,克服了以往邊界元法只能分析均質(zhì)地基中的樁基礎(chǔ)的缺陷;另外,本文采用精度控制來自動劃分奇異積分區(qū)間的方法來處理基本解的奇異性。在此基礎(chǔ)上,編制了相應(yīng)的計算程序,并進(jìn)行了數(shù)值分析和計算,研究結(jié)果表明,該方法具有較快的計算速度和良好的計算精度。2樁-土位移接觸及虛擬豎向位移如圖1所示,層狀地基中的一根軸向受荷圓形單樁,長度為L,半徑為a,樁周圍第i層土的彈性模量、泊松比、厚度分別為Esi、vsi、ΔHi。根據(jù)間接邊界元法的原理,假定一個虛應(yīng)力系統(tǒng)ψ,當(dāng)這個虛應(yīng)力系統(tǒng)作用在層狀地基中時,它會產(chǎn)生一個相應(yīng)的邊界位移和應(yīng)力,而且這個邊界位移和應(yīng)力應(yīng)該與實際樁的邊界位移和應(yīng)力條件完全一樣。假設(shè)樁桿的豎向虛應(yīng)力為ψs,并且它在層狀地基深度為h處沿樁桿邊界均勻分布。由樁桿上的一個微量高度dh處的豎向虛應(yīng)力引起點D(r,z)的豎向位移為dw1(r,z),它可通過由點荷載(ψsadθdh)引起豎向位移的積分獲得式中:w(h,r1,z)為r=r1時w(h,r,z)的值;w(h,r,z)為豎向集中力作用下層狀地基豎向位移的基本解,具體的求解過程和表達(dá)式可參考文獻(xiàn)。整個樁桿的豎向虛應(yīng)力在D(r,z)點處引起的豎向位移為假設(shè)在樁端底面上的點o′(λ,θ,L)處作用豎向虛應(yīng)力ψb,同理可得由于樁端虛應(yīng)力ψb作用而引起點D(r,z)的豎向位移:因此,由于樁桿和樁端的虛應(yīng)力引起的點D(r,z)處的豎向位移為式(4)可以通過下列邊界條件求解:在D(r,0)處,σz=τrz=0;在D(a,z)處,且0≤z≤L,W(a,z)=f1(z);在D(r,L)處,且0≤r≤a,W(r,L)=f1(L)=常數(shù)。上述邊界條件中f1(z)是一個預(yù)先假設(shè)的樁表面的虛擬豎向位移,且f1(L)為當(dāng)z=L時f1(z)的值。通過預(yù)先假定的樁-土位移邊界條件,可以求出樁表面處的虛應(yīng)力ψs和ψb,具體過程詳見下一節(jié)。將相應(yīng)的樁-土位移邊界條件代入式(4),可得3單樁地震差分求解式(5)為層狀地基中樁基礎(chǔ)的精確積分方程,然而,由于基本解的復(fù)雜性,要想獲得其解析解是不可能的,只能獲得其數(shù)值解。把樁桿劃分為n個相等的單元,樁端劃分為m個圓環(huán)。對于樁桿的第i個單元,其豎向位移可以表示為式中:i=1,2,3,…,n。對于樁端,同理有:式中:i=1,2,3,…,m。式(6)、(7)中不同的Kij值可以通過簡單的積分求得,其表達(dá)式如下:未知的虛應(yīng)力為對于剛性單樁來說,在給定樁頂位移的情況下,其樁側(cè)及樁端所有的豎向位移都是相等的,所以,通過式(13)可以求得假設(shè)的虛應(yīng)力,進(jìn)而可以獲得該問題的解答,但對于可壓縮性單樁來說,由于樁的壓縮性的影響,各個單元的豎向位移是不相等的。對于一維樁桿,有:式中:Ep為樁的彈性模量;Pz為深度為z處的樁的軸向荷載,它可以由下式獲得:由于W是有關(guān)z的微分函數(shù),因此,可以把它展開成關(guān)于z的泰勒級數(shù)形式(忽略3階以上的無窮小量),其形式如下:對于單元2到n-1的表達(dá)式,可以將式(16)、(17)相減得到:式中:當(dāng)h→0時,則O(h3)將以h的3次冪的形式趨向于0,可得如下的差分表達(dá)式:式中:i=1,2,3,…,n-1。對于單元1,引進(jìn)樁頂邊界條件0W=1(預(yù)先假定的樁頂位移),則式(18)可寫成:對于樁端單元n,由于考慮到樁的邊界條件和最后形成的線性方程組解的唯一性,可以直接從式(17)得到差分表達(dá)式:將式(19)~(21)寫成式(22)的矩陣形式:式中:Wi-1、Wi分別為第i個單元的頂部和底部豎向位移(i=1,2,,n);Pi-1、Pi分別為第i個單元頂部和底部的軸向作用力,且滿足式(23):如果從式(22)中解得了Wi,那么第i個單元的位移可以表示為樁端的位移可以表達(dá)為對于可壓縮性單樁來說,可以先假定樁是剛性的,通過式(13)求出樁周所有虛應(yīng)力分布值;然后通過式(15)得到各個樁單元的荷載Pz,將Pz的值代入式(22),得到一組新的樁側(cè)和樁底位移Wi′、Wb′;將Wi′、Wb′代入式(13),得到一組新的虛應(yīng)力分布值,進(jìn)而可得到一組新的Pz′的值;通過多次迭代,直到相鄰2次Pz′的差值在給定的范圍內(nèi),即可以獲得可壓縮性樁基礎(chǔ)的解,具體的細(xì)節(jié)可以參考文獻(xiàn)。4多層地基中2個點的積分值由于邊界元法的基本解在力的作用點和計算點重合時是有奇異性的,因而對奇異性的處理是獲得精確結(jié)果的關(guān)鍵。本文采用精度控制以自動劃分奇異積分區(qū)間的方法來處理基本解的奇異性,具體如下:在式(8)~(11)中,當(dāng)i≠j時,因為積分核是有界的,故可采用常規(guī)的32點高斯積分來求數(shù)值積分;當(dāng)i=j時,積分核是無界的,可以先規(guī)定一個數(shù)值積分的誤差上限,即控制精度,然后對積分方程中的核函數(shù)進(jìn)行處理。核函數(shù)的處理步驟如下。(1)將核函數(shù)以奇異點為分界點分成2段。(2)將這2段分別利用常規(guī)的32點高斯積分進(jìn)行第1次數(shù)值積分。(3)由于積分核在一個邊界點有奇異性,所以在較大的積分區(qū)間上所得到的值與真實值有較大的誤差,因此,必須細(xì)化有奇異性的區(qū)間。為此,對第2步中的2段再等分(即分4段),并將前后2次的差值與給定的控制精度進(jìn)行比較。(4)如果前后2次的差值大于給定的控制精度,則必須對前面n段再進(jìn)行等分(即分成2n段);可以肯定的是,在這2n段中有2n-2段的積分邊界已經(jīng)不存在奇異性問題,所以其積分值是滿足要求的,只有在奇異點邊的2段仍有奇異性。(5)重復(fù)計算第4步,只要這2個有奇異點的積分區(qū)間小到一定程度,其值在前后2次的積分中的差值總會滿足給定的控制精度。為了驗證本文理論及程序的正確性,本文首先對比分析了一些算例。對于彈性半無限體中的單樁問題,可以把彈性半無限體看成是許多層性質(zhì)相同的土層,并且土層總厚度與樁長的比值很大(比如大于1000)。文獻(xiàn)曾對該問題進(jìn)行了研究,這里為了對比其結(jié)果,對樁頂剛度(P/GDW)和樁周剪應(yīng)力的分布進(jìn)行了計算分析,結(jié)果如圖2、3所示。圖2中,W為樁頂位移,D為樁桿直徑,G為樁周土的剪切模量,L為樁長,P為樁頂荷載,樁的壓縮性為K=Ep/G,土體的泊松比取sv=0.5;圖3中,τ為樁周的剪應(yīng)力,且L/D=80,其他參數(shù)同圖2。從圖2、3中可以看出,本文的結(jié)果與文獻(xiàn)的結(jié)果吻合得比較好,這就證明了本文理論和程序的正確性。圖2還表明,對于不同的壓縮性,在L/D小于20的情況下,樁頂剛度曲線幾乎是重合的。這說明,樁的壓縮性對給定的樁頂位移下的樁頂荷載的影響是可以忽略的。其實,實際工程中也是這樣的,對于這樣的短樁,樁本身所能承擔(dān)的荷載相對來說是比較小的,且又由于樁長較小,因此,引起的樁的壓縮量很小,達(dá)到了可以忽略的程度。對于層狀地基中的單樁問題,本文與有限層法的算例進(jìn)行了對比分析,結(jié)果如圖4所示。算例中,層狀地基由3層土組成,且每層土體的厚度分別為L、H、L-H;土體的彈性模量滿足:Es1:Es2:Es3:=1:10:1;土體的泊松比均為0.499。L/D=25,樁的彈性模量Ep=1000Es1。由圖4可見,本文方法與有限層方法的計算結(jié)果是一致的,這就再次驗證了本文理論和程序的正確性。為了進(jìn)一步研究和分析多層地基土中的單樁問題,本文設(shè)計了一個5層地基中的單樁分析算例。算例中,每層土的厚度滿足:ΔH1:ΔH2:ΔH3ΔH4:ΔH5=0.2L:0.3L:0.1L:0.4L:L;每層土的彈性模量滿足:Es1:Es2:Es3:Es4:Es5=2:3:2:1:4;每層土的泊松比均為0.4;樁的壓縮性為K=Ep/Es1=10000,計算結(jié)果如圖5、6所示。從圖5可知,對于壓縮性比較大的樁來說,樁頂剛度隨著樁的長徑比的增大而增大。從圖6可知,土體的非均勻性對樁周剪應(yīng)力的分布有明顯的影響