三角函數(shù)與解三角形4.1

1．本章內(nèi)容是高中函數(shù)的一個(gè)分支，涉及的公式很多，常與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，因此必須牢固掌握．2．“高端數(shù)據(jù)庫(kù)”是教師組織本章復(fù)習(xí)的方向指南，對(duì)“考綱考點(diǎn)解讀”要從考綱要求的層面上了解近年來(lái)考綱變化中的新問(wèn)題，新動(dòng)向，從而把握高考趨勢(shì)，對(duì)“高考趨勢(shì)交流”應(yīng)從高考問(wèn)題與相應(yīng)的高考題型中把握本章的復(fù)習(xí)重點(diǎn)與主要題型．3．“高端數(shù)據(jù)庫(kù)”需要專門安排時(shí)間講解典型例題，在講解過(guò)程中教師需要滲透三角函數(shù)公式的應(yīng)用，切實(shí)弄清本章知識(shí)在高考中的地位與作用，弄清楚有哪些題型、試題如何綜合有關(guān)知識(shí)點(diǎn)、第四章三角函數(shù)與解三角形第一頁(yè)第二頁(yè)，共60頁(yè)。難度如何、近年來(lái)有哪些與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合的試題等等，必須引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真領(lǐng)會(huì)其中的指導(dǎo)意義．第二頁(yè)第三頁(yè)，共60頁(yè)。考點(diǎn)考

綱

要

求考

點(diǎn)

解

讀角的概念任意角的概念、弧度制1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化.考查角的概念、角的集合表示方式、角度與弧度的互化．注意理解經(jīng)過(guò)擴(kuò)充之后，“第一象限角”、“小于90°的角”與“銳角”的概念，等式180°＝π≈3.14的含義．高考一般對(duì)角的概念不獨(dú)立命題，而是作為基礎(chǔ)穿插在其他三角問(wèn)題之中考查．第三頁(yè)第四頁(yè)，共60頁(yè)。三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值三角函數(shù)1．理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．2．掌握

±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性．3．理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間

內(nèi)的單調(diào)性．4．理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，

＝tanx.5．了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響．6．了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題.考查單位圓中的三角函數(shù)線，考查同角基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式，考查基本函數(shù)的圖象與性質(zhì)．利用同角基本關(guān)系式時(shí)，由角的范圍確定開(kāi)方后的三角函數(shù)的正負(fù)．高考試題常以求值題形式考查公式應(yīng)用，以函數(shù)值的比較考查基本函數(shù)，三角函數(shù)線、基本三角函數(shù)的圖象作為數(shù)形結(jié)合工具也應(yīng)用于解題過(guò)程中，通常體現(xiàn)在解決函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的相關(guān)問(wèn)題中．一般以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，難度為中檔偏容易題，預(yù)計(jì)2012年高考仍以小題目綜合化的方式命題.第四頁(yè)第五頁(yè)，共60頁(yè)?？键c(diǎn)考

綱

要

求考

點(diǎn)

解

讀和與差的三角函數(shù)公式1．會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式．2．能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式．3．能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．簡(jiǎn)單的三角恒等變換能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對(duì)這三組公式不要求記憶).考查公式的綜合應(yīng)用，注意通過(guò)“角”的關(guān)系選擇相應(yīng)的公式．高考試題常以綜合運(yùn)用和差及倍角公式解決求值問(wèn)題、函數(shù)的化簡(jiǎn)問(wèn)題．一般為選擇、填空題中的中檔題，解答題中的容易題．第五頁(yè)第六頁(yè)，共60頁(yè)。解三角形解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題．2．應(yīng)用能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.考查應(yīng)用正弦定理、余弦定理解決三角形中的邊角互化，以及利用方程思想解決求值的問(wèn)題．高考試題通常以三角形為背影，融匯三角函數(shù)公式、三角函數(shù)圖象與性質(zhì)、解三角形等知識(shí)，新課標(biāo)增加了解三角形應(yīng)用之后，近幾年高考中相應(yīng)出現(xiàn)了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題．一般為中檔題．預(yù)計(jì)2012年高考仍以綜合化題目的方式命題.第六頁(yè)第七頁(yè)，共60頁(yè)。問(wèn)題1三角函數(shù)中的求值問(wèn)題，一般以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，試題涉及三角函數(shù)公式的綜合運(yùn)用．題(2010年·全國(guó)Ⅰ)記cos(－80°)＝k，那么tan100°等于(

)【解析】∵cos(－80°)＝cos80°＝k>0，【答案】

B第七頁(yè)第八頁(yè)，共60頁(yè)。問(wèn)題2三角函數(shù)圖象：基本函數(shù)圖象、圖象變換、由圖定參等問(wèn)題，一般以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，試題涉及正弦、余弦、正切函數(shù)圖象，y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)型函數(shù)圖象的變換以及給定圖象確定函數(shù)解析式．題1

(2010年·四川)將函數(shù)y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象的函數(shù)解析式是(

)第八頁(yè)第九頁(yè)，共60頁(yè)。

【答案】

C題2

(2010年·重慶)已知函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分圖象如圖所示，則(

)第九頁(yè)第十頁(yè)，共60頁(yè)。第十頁(yè)第十一頁(yè)，共60頁(yè)。問(wèn)題3三角函數(shù)性質(zhì)：對(duì)稱性、周期性．三角函數(shù)性質(zhì)的考查，一般以選擇、填空題的形式考查對(duì)稱性、周期性，以解答題的形式考查指定區(qū)間上的最值．題1

(2010年·陜西)對(duì)于函數(shù)f(x)＝2sinxcosx，下列選項(xiàng)中正確的是(

)(B)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．(C)f(x)的最小正周期為2π.(D)f(x)的最大值為2.【解析】

f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，周期為π的奇函數(shù)．第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共60頁(yè)。【答案】

B題2

(2010年·江西)已知函數(shù)f(x)＝(1＋cotx)·sin2x＋msin【解析】

(1)當(dāng)m＝0時(shí)，第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共60頁(yè)。第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共60頁(yè)。問(wèn)題4解三角形，一般以選擇、填空題的形式考查正弦定理、余弦定理的直接應(yīng)用，以解答題的形式綜合考查解三角形問(wèn)題，涉及三角函數(shù)公式、三角形面積公式等．題(2010年·天津)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，則A等于(

)(A)30°.

(B)60°.

(C)120°.

(D)150°.第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共60頁(yè)。【解析】由sinC＝2sinB結(jié)合正弦定理得：c＝2b，所以由余弦定理得：所以A＝30°，選A.【答案】

A第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共60頁(yè)。問(wèn)題5三角函數(shù)與解三角形的綜合應(yīng)用，一般以選擇、填空題的形式考查三角函數(shù)與其他函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，以及與方程、不等式、幾何的綜合，以解答題的形式考查三角函數(shù)公式、三角函數(shù)圖象與性質(zhì)、解三角形的綜合問(wèn)題，以及實(shí)際問(wèn)題．題1

(2010年·江西)E，F(xiàn)是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點(diǎn)，則tan∠ECF等于(

)第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共60頁(yè)。題2

(2010年·遼寧)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大??；(2)求sinB＋sinC的最大值．第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共60頁(yè)。【解析】

(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，題3

(2010年·陜西)如圖，A、B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)．現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共60頁(yè)。60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？【解析】由題意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共60頁(yè)。又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20海里，在△DBC中，由余弦定理得第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共60頁(yè)。1．三角函數(shù)、同角三角函數(shù)與誘導(dǎo)公式是本章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)與必考內(nèi)容．教學(xué)中要注意把握“高考問(wèn)題導(dǎo)航”中所提出的兩個(gè)高考問(wèn)題，它們揭示了高考對(duì)本節(jié)知識(shí)的考查重點(diǎn)與方向，是本節(jié)復(fù)習(xí)的重點(diǎn)與主要題型．2．復(fù)習(xí)時(shí)要注意公式的正用、逆用與變形，掌握一些特殊的解題方法，如數(shù)形結(jié)合法，代入檢驗(yàn)法、特殊值法、待定系數(shù)法、排除法等．§4.1三角函數(shù)、同角三角函數(shù)與誘導(dǎo)公式第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共60頁(yè)。3．高考對(duì)本節(jié)的考查主要為客觀題，因此復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，對(duì)一些題目在熟悉常規(guī)解法的前提下，重在靈、巧上下工夫，做到少時(shí)省力，以適應(yīng)考場(chǎng)需要．4．本節(jié)的關(guān)鍵是要理解幾種主要題型的解題模式，要多做一些練習(xí)，教師并不需要過(guò)多的講解，因此應(yīng)該對(duì)本節(jié)所列例題有所選擇，不一定要全部講完．第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共60頁(yè)。高考問(wèn)題1：考查任意角的三角函數(shù)定義結(jié)合角的相關(guān)概念考查任意角的三角函數(shù)定義，涉及角度與弧度互化、半角、象限角以及根據(jù)定義求三角函數(shù)值，一般為選擇、填空題中的容易題．高考問(wèn)題2：考查同角基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式運(yùn)用考查同角基本關(guān)系式sin2x＋cos2x＝1，＝tanx及其簡(jiǎn)單變形，和涉及±α，π±α的誘導(dǎo)公式運(yùn)用，一般為選擇、填空題中的中等偏容易題．

第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共60頁(yè)。1．任意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．我們規(guī)定：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角．如果一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角．2．終邊相同的角、象限角與非象限角(1)如果角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共60頁(yè)。負(fù)半軸重合，那么，角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角．要特別注意：如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限，稱為非象限角．(2)終邊相同的角是指與某個(gè)角α具有相同終邊的所有角，可以表示為β∈{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．3．弧度制(1)長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1rad，或1弧度，或1(單位可以省略不寫)．角有正、負(fù)、零角之分，它的弧度數(shù)也有正、負(fù)、零之分．第二十五頁(yè)第二十六頁(yè)，共60頁(yè)。第二十六頁(yè)第二十七頁(yè)，共60頁(yè)。(2)三角函數(shù)線設(shè)α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，過(guò)點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線(x軸的垂線)，設(shè)α的終邊或其反向延長(zhǎng)線與這條切線交于T點(diǎn)，那么有向線段MP，OM，AT分別是叫做角α的正弦線、余弦線、正切線．第二十七頁(yè)第二十八頁(yè)，共60頁(yè)。5．同角三角函數(shù)關(guān)系式6．誘導(dǎo)公式記憶口訣：“符號(hào)看象限，奇變偶不變”.－απ－απ＋α2π－α－αsin－sinαsinα－sinα－sinαcosαcoscosα－cosα－cosαcosαsinα第二十八頁(yè)第二十九頁(yè)，共60頁(yè)。1．(2010年·山西康杰中學(xué)模擬)已知x∈[0,2π]，且集合M＝{x|sinx＞}，N＝{x|cosx＜}，則M∩N等于(

)【答案】

D第二十九頁(yè)第三十頁(yè)，共60頁(yè)。2．(2010年·東北四市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋)，g(x)＝cos(x－)，設(shè)h(x)＝f(x)g(x)，則下列說(shuō)法不正確的是(

)【解析】因?yàn)閔(－x)＝f(－x)·g(－x)＝sin(－x＋)·cos(－x－)＝cos(－x)·sin(－x)＝－sinx·cosx.第三十頁(yè)第三十一頁(yè)，共60頁(yè)。而h(x)＝f(x)·g(x)＝sin(x＋)·cos(x－)＝cosx·sinx.顯然?x∈R，h(－x)≠h(x)．【答案】

C3．(2010年·上海嘉定區(qū)模擬)如圖所示，角α的終邊與單位圓(圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓)交于第二象限的點(diǎn)A(cosα，)，則cosα－sinα＝________.第三十一頁(yè)第三十二頁(yè)，共60頁(yè)。4．(2010年·蘇南六校模擬)已知cosA＋sinA＝－，A為第二象限角，則tanA＝________.【解析】由(cosA＋sinA)2＝1＋2sinAcosA，第三十二頁(yè)第三十三頁(yè)，共60頁(yè)。第三十三頁(yè)第三十四頁(yè)，共60頁(yè)。例1已知扇形的周長(zhǎng)為10，面積為4，則扇形的中心角為_(kāi)_______(弧度制)．【指點(diǎn)迷津】直接利用周長(zhǎng)、面積公式可求出弧長(zhǎng)和半徑，從而求出中心角．第三十四頁(yè)第三十五頁(yè)，共60頁(yè)?！军c(diǎn)評(píng)】在弧度制下計(jì)算扇形面積和弧長(zhǎng)比在角度制下更簡(jiǎn)便．從扇形面積出發(fā)，在弧度制下，轉(zhuǎn)為關(guān)于r、l或α的方程、不等式、函數(shù)關(guān)系，再確定相應(yīng)值．能力訓(xùn)練1若θ角的終邊與168°角的終邊相同，求在[0°，360°)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角是________．【解析】∵θ＝k·360°＋168°，∴＝k·120°＋56°(k∈Z)，第三十五頁(yè)第三十六頁(yè)，共60頁(yè)。令0°≤k·120°＋56°<360°，當(dāng)k＝0,1,2時(shí)所求角為56°，176°，296°.【答案】

56°，176°，296°(1)求sinx－cosx的值；(2)求sin2(－x)＋sin(π＋x)＋cos2(2π－x)的值．【指點(diǎn)迷津】已知sinx＋cosx的值可以通過(guò)平方求出sinx－cosx的值，再解方程組求出sinx，cosx，tanx的值，代入第二問(wèn)即可．第三十六頁(yè)第三十七頁(yè)，共60頁(yè)。第三十七頁(yè)第三十八頁(yè)，共60頁(yè)。解出sinx，cosx即可(過(guò)程略)．【點(diǎn)評(píng)】在三角函數(shù)式的求值問(wèn)題中，若已知其中一個(gè)式子的值可以求出其余兩個(gè)式子的值，繼而解決有關(guān)的問(wèn)題，注意解題時(shí)要看清角度的范圍，準(zhǔn)確判斷式子的符號(hào)．能力訓(xùn)練2已知第三十八頁(yè)第三十九頁(yè)，共60頁(yè)。(1)化簡(jiǎn)f(α)；(3)若α＝－1860°，求f(α)的值．第三十九頁(yè)第四十頁(yè)，共60頁(yè)。(3)∵α＝－1860°＝－6×360°＋300°，∴f(α)＝f(－1860°)＝－cos(－1860°)＝－cos(1860°)第四十頁(yè)第四十一頁(yè)，共60頁(yè)。1．應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點(diǎn)是“函數(shù)名稱”與“正負(fù)號(hào)”的正確判斷．求任意角的三角函數(shù)值的問(wèn)題，都可以通過(guò)誘導(dǎo)公式化為銳角三角函數(shù)的求值問(wèn)題，具體步驟為“負(fù)角化正角”→“正角化小角”→“小角化銳角”→“求值”．2．角α與角的聯(lián)系第四十一頁(yè)第四十二頁(yè)，共60頁(yè)。如果用α1、α2、α3、α4表示第一、二、三、四象限角，則

分布如圖所示，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟記右圖解有關(guān)此類型的題就方便多了．3．求值題型：已知任意角的正弦、余弦、正切中的一個(gè)求其他兩個(gè)，這里應(yīng)特別注意開(kāi)方運(yùn)算時(shí)正、負(fù)號(hào)的選取，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件是否指明所在的象限，確定最后結(jié)果是一組解還是兩組解．4．在計(jì)算、化簡(jiǎn)或證明三角函數(shù)時(shí)常用的技巧有：(1)“1”的代換：為了解題的需要有時(shí)可以將“1”用“sin2α＋cos2α”代替．(2)切化弦：利用商數(shù)關(guān)系把正切化為正弦和余弦．(3)涉及sinα＋cosα，sinα－cosα，sinα·cosα的問(wèn)題常采用平方法求解(給一求二)．第四十二頁(yè)第四十三頁(yè)，共60頁(yè)。(4)涉及sinα，cosα的齊次分式(如)的問(wèn)題常采用分子分母同時(shí)除以cosα或cos2α將弦化成切進(jìn)行求解．第四十三頁(yè)第四十四頁(yè)，共60頁(yè)。例1已知α＝.(1)寫出所有與α終邊相同的角；(2)寫出在區(qū)間(－4π，2π)內(nèi)與α終邊相同的角；(3)若角β與α終邊相同，則是第幾象限的角？【解析】

(1)所有與α終邊相同的角可表示為{θ|θ＝2kπ＋(k∈Z)}．(2)由(1)令－4π＜2kπ＋＜2π(k∈Z)，則有第四十四頁(yè)第四十五頁(yè)，共60頁(yè)。例2在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍，并由此寫出角α的集合．第四十五頁(yè)第四十六頁(yè)，共60頁(yè)。第四十六頁(yè)第四十七頁(yè)，共60頁(yè)。第四十七頁(yè)第四十八頁(yè)，共60頁(yè)。第四十八頁(yè)第四十九頁(yè)，共60頁(yè)。1．(2010年·廣州高三訓(xùn)練)如果角2α的終邊在x軸上方，那么α的范圍是(

)(A)第一象限角的集合．(B)第一或第二象限角的集合．(C)第一或第三象限角的集合．(D)第一或第四象限角的集合．【解析】∵2kπ<2α<π＋2kπ，∴kπ<α<＋kπ.當(dāng)k＝2m(m∈Z)時(shí)，α為第一象限角；基礎(chǔ)過(guò)關(guān)第四十九頁(yè)第五十頁(yè)，共60頁(yè)。當(dāng)k＝2m＋1(m∈Z)時(shí)，α為第三象限角．【答案】

C第五十頁(yè)第五十一頁(yè)，共60頁(yè)。3．(2010年·廣東廣州模擬)已知扇形的半徑為10