三角函數(shù)與解三角形4.1

1．本章內(nèi)容是高中函數(shù)的一個分支，涉及的公式很多，常與實際問題相結(jié)合，因此必須牢固掌握．2．“高端數(shù)據(jù)庫”是教師組織本章復(fù)習的方向指南，對“考綱考點解讀”要從考綱要求的層面上了解近年來考綱變化中的新問題，新動向，從而把握高考趨勢，對“高考趨勢交流”應(yīng)從高考問題與相應(yīng)的高考題型中把握本章的復(fù)習重點與主要題型．3．“高端數(shù)據(jù)庫”需要專門安排時間講解典型例題，在講解過程中教師需要滲透三角函數(shù)公式的應(yīng)用，切實弄清本章知識在高考中的地位與作用，弄清楚有哪些題型、試題如何綜合有關(guān)知識點、第四章三角函數(shù)與解三角形第一頁第二頁，共60頁。難度如何、近年來有哪些與實際問題相結(jié)合的試題等等，必須引導(dǎo)學(xué)生認真領(lǐng)會其中的指導(dǎo)意義．第二頁第三頁，共60頁。考點考

綱

要

求考

點

解

讀角的概念任意角的概念、弧度制1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化.考查角的概念、角的集合表示方式、角度與弧度的互化．注意理解經(jīng)過擴充之后，“第一象限角”、“小于90°的角”與“銳角”的概念，等式180°＝π≈3.14的含義．高考一般對角的概念不獨立命題，而是作為基礎(chǔ)穿插在其他三角問題之中考查．第三頁第四頁，共60頁。三角函數(shù)的化簡與求值三角函數(shù)1．理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．2．掌握

±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性．3．理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及與x軸的交點等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間

內(nèi)的單調(diào)性．4．理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，

＝tanx.5．了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖象變化的影響．6．了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題.考查單位圓中的三角函數(shù)線，考查同角基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式，考查基本函數(shù)的圖象與性質(zhì)．利用同角基本關(guān)系式時，由角的范圍確定開方后的三角函數(shù)的正負．高考試題常以求值題形式考查公式應(yīng)用，以函數(shù)值的比較考查基本函數(shù)，三角函數(shù)線、基本三角函數(shù)的圖象作為數(shù)形結(jié)合工具也應(yīng)用于解題過程中，通常體現(xiàn)在解決函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的相關(guān)問題中．一般以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，難度為中檔偏容易題，預(yù)計2012年高考仍以小題目綜合化的方式命題.第四頁第五頁，共60頁。考點考

綱

要

求考

點

解

讀和與差的三角函數(shù)公式1．會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式．2．能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式．3．能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．簡單的三角恒等變換能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶).考查公式的綜合應(yīng)用，注意通過“角”的關(guān)系選擇相應(yīng)的公式．高考試題常以綜合運用和差及倍角公式解決求值問題、函數(shù)的化簡問題．一般為選擇、填空題中的中檔題，解答題中的容易題．第五頁第六頁，共60頁。解三角形解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題．2．應(yīng)用能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.考查應(yīng)用正弦定理、余弦定理解決三角形中的邊角互化，以及利用方程思想解決求值的問題．高考試題通常以三角形為背影，融匯三角函數(shù)公式、三角函數(shù)圖象與性質(zhì)、解三角形等知識，新課標增加了解三角形應(yīng)用之后，近幾年高考中相應(yīng)出現(xiàn)了三角函數(shù)的實際應(yīng)用題．一般為中檔題．預(yù)計2012年高考仍以綜合化題目的方式命題.第六頁第七頁，共60頁。問題1三角函數(shù)中的求值問題，一般以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，試題涉及三角函數(shù)公式的綜合運用．題(2010年·全國Ⅰ)記cos(－80°)＝k，那么tan100°等于(

)【解析】∵cos(－80°)＝cos80°＝k>0，【答案】

B第七頁第八頁，共60頁。問題2三角函數(shù)圖象：基本函數(shù)圖象、圖象變換、由圖定參等問題，一般以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，試題涉及正弦、余弦、正切函數(shù)圖象，y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)型函數(shù)圖象的變換以及給定圖象確定函數(shù)解析式．題1

(2010年·四川)將函數(shù)y＝sinx的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖象的函數(shù)解析式是(

)第八頁第九頁，共60頁。

【答案】

C題2

(2010年·重慶)已知函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分圖象如圖所示，則(

)第九頁第十頁，共60頁。第十頁第十一頁，共60頁。問題3三角函數(shù)性質(zhì)：對稱性、周期性．三角函數(shù)性質(zhì)的考查，一般以選擇、填空題的形式考查對稱性、周期性，以解答題的形式考查指定區(qū)間上的最值．題1

(2010年·陜西)對于函數(shù)f(x)＝2sinxcosx，下列選項中正確的是(

)(B)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱．(C)f(x)的最小正周期為2π.(D)f(x)的最大值為2.【解析】

f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，周期為π的奇函數(shù)．第十一頁第十二頁，共60頁?！敬鸢浮?/p>

B題2

(2010年·江西)已知函數(shù)f(x)＝(1＋cotx)·sin2x＋msin【解析】

(1)當m＝0時，第十二頁第十三頁，共60頁。第十三頁第十四頁，共60頁。問題4解三角形，一般以選擇、填空題的形式考查正弦定理、余弦定理的直接應(yīng)用，以解答題的形式綜合考查解三角形問題，涉及三角函數(shù)公式、三角形面積公式等．題(2010年·天津)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，則A等于(

)(A)30°.

(B)60°.

(C)120°.

(D)150°.第十四頁第十五頁，共60頁。【解析】由sinC＝2sinB結(jié)合正弦定理得：c＝2b，所以由余弦定理得：所以A＝30°，選A.【答案】

A第十五頁第十六頁，共60頁。問題5三角函數(shù)與解三角形的綜合應(yīng)用，一般以選擇、填空題的形式考查三角函數(shù)與其他函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，以及與方程、不等式、幾何的綜合，以解答題的形式考查三角函數(shù)公式、三角函數(shù)圖象與性質(zhì)、解三角形的綜合問題，以及實際問題．題1

(2010年·江西)E，F(xiàn)是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點，則tan∠ECF等于(

)第十六頁第十七頁，共60頁。題2

(2010年·遼寧)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)求sinB＋sinC的最大值．第十七頁第十八頁，共60頁。【解析】

(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，題3

(2010年·陜西)如圖，A、B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個觀測點．現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西第十八頁第十九頁，共60頁。60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船到達D點需要多長時間？【解析】由題意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，第十九頁第二十頁，共60頁。又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20海里，在△DBC中，由余弦定理得第二十頁第二十一頁，共60頁。1．三角函數(shù)、同角三角函數(shù)與誘導(dǎo)公式是本章學(xué)習的基礎(chǔ)，也是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識與必考內(nèi)容．教學(xué)中要注意把握“高考問題導(dǎo)航”中所提出的兩個高考問題，它們揭示了高考對本節(jié)知識的考查重點與方向，是本節(jié)復(fù)習的重點與主要題型．2．復(fù)習時要注意公式的正用、逆用與變形，掌握一些特殊的解題方法，如數(shù)形結(jié)合法，代入檢驗法、特殊值法、待定系數(shù)法、排除法等．§4.1三角函數(shù)、同角三角函數(shù)與誘導(dǎo)公式第二十一頁第二十二頁，共60頁。3．高考對本節(jié)的考查主要為客觀題，因此復(fù)習這部分內(nèi)容時，對一些題目在熟悉常規(guī)解法的前提下，重在靈、巧上下工夫，做到少時省力，以適應(yīng)考場需要．4．本節(jié)的關(guān)鍵是要理解幾種主要題型的解題模式，要多做一些練習，教師并不需要過多的講解，因此應(yīng)該對本節(jié)所列例題有所選擇，不一定要全部講完．第二十二頁第二十三頁，共60頁。高考問題1：考查任意角的三角函數(shù)定義結(jié)合角的相關(guān)概念考查任意角的三角函數(shù)定義，涉及角度與弧度互化、半角、象限角以及根據(jù)定義求三角函數(shù)值，一般為選擇、填空題中的容易題．高考問題2：考查同角基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式運用考查同角基本關(guān)系式sin2x＋cos2x＝1，＝tanx及其簡單變形，和涉及±α，π±α的誘導(dǎo)公式運用，一般為選擇、填空題中的中等偏容易題．

第二十三頁第二十四頁，共60頁。1．任意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．我們規(guī)定：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角．如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個零角．2．終邊相同的角、象限角與非象限角(1)如果角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非第二十四頁第二十五頁，共60頁。負半軸重合，那么，角的終邊(除端點外)在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角．要特別注意：如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限，稱為非象限角．(2)終邊相同的角是指與某個角α具有相同終邊的所有角，可以表示為β∈{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．3．弧度制(1)長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1rad，或1弧度，或1(單位可以省略不寫)．角有正、負、零角之分，它的弧度數(shù)也有正、負、零之分．第二十五頁第二十六頁，共60頁。第二十六頁第二十七頁，共60頁。(2)三角函數(shù)線設(shè)α的終邊與單位圓的交點為P，過P點作x軸的垂線，垂足為M，過點A(1,0)作單位圓的切線(x軸的垂線)，設(shè)α的終邊或其反向延長線與這條切線交于T點，那么有向線段MP，OM，AT分別是叫做角α的正弦線、余弦線、正切線．第二十七頁第二十八頁，共60頁。5．同角三角函數(shù)關(guān)系式6．誘導(dǎo)公式記憶口訣：“符號看象限，奇變偶不變”.－απ－απ＋α2π－α－αsin－sinαsinα－sinα－sinαcosαcoscosα－cosα－cosαcosαsinα第二十八頁第二十九頁，共60頁。1．(2010年·山西康杰中學(xué)模擬)已知x∈[0,2π]，且集合M＝{x|sinx＞}，N＝{x|cosx＜}，則M∩N等于(

)【答案】

D第二十九頁第三十頁，共60頁。2．(2010年·東北四市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋)，g(x)＝cos(x－)，設(shè)h(x)＝f(x)g(x)，則下列說法不正確的是(

)【解析】因為h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝sin(－x＋)·cos(－x－)＝cos(－x)·sin(－x)＝－sinx·cosx.第三十頁第三十一頁，共60頁。而h(x)＝f(x)·g(x)＝sin(x＋)·cos(x－)＝cosx·sinx.顯然?x∈R，h(－x)≠h(x)．【答案】

C3．(2010年·上海嘉定區(qū)模擬)如圖所示，角α的終邊與單位圓(圓心在原點，半徑為1的圓)交于第二象限的點A(cosα，)，則cosα－sinα＝________.第三十一頁第三十二頁，共60頁。4．(2010年·蘇南六校模擬)已知cosA＋sinA＝－，A為第二象限角，則tanA＝________.【解析】由(cosA＋sinA)2＝1＋2sinAcosA，第三十二頁第三十三頁，共60頁。第三十三頁第三十四頁，共60頁。例1已知扇形的周長為10，面積為4，則扇形的中心角為________(弧度制)．【指點迷津】直接利用周長、面積公式可求出弧長和半徑，從而求出中心角．第三十四頁第三十五頁，共60頁?！军c評】在弧度制下計算扇形面積和弧長比在角度制下更簡便．從扇形面積出發(fā)，在弧度制下，轉(zhuǎn)為關(guān)于r、l或α的方程、不等式、函數(shù)關(guān)系，再確定相應(yīng)值．能力訓(xùn)練1若θ角的終邊與168°角的終邊相同，求在[0°，360°)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角是________．【解析】∵θ＝k·360°＋168°，∴＝k·120°＋56°(k∈Z)，第三十五頁第三十六頁，共60頁。令0°≤k·120°＋56°<360°，當k＝0,1,2時所求角為56°，176°，296°.【答案】

56°，176°，296°(1)求sinx－cosx的值；(2)求sin2(－x)＋sin(π＋x)＋cos2(2π－x)的值．【指點迷津】已知sinx＋cosx的值可以通過平方求出sinx－cosx的值，再解方程組求出sinx，cosx，tanx的值，代入第二問即可．第三十六頁第三十七頁，共60頁。第三十七頁第三十八頁，共60頁。解出sinx，cosx即可(過程略)．【點評】在三角函數(shù)式的求值問題中，若已知其中一個式子的值可以求出其余兩個式子的值，繼而解決有關(guān)的問題，注意解題時要看清角度的范圍，準確判斷式子的符號．能力訓(xùn)練2已知第三十八頁第三十九頁，共60頁。(1)化簡f(α)；(3)若α＝－1860°，求f(α)的值．第三十九頁第四十頁，共60頁。(3)∵α＝－1860°＝－6×360°＋300°，∴f(α)＝f(－1860°)＝－cos(－1860°)＝－cos(1860°)第四十頁第四十一頁，共60頁。1．應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點是“函數(shù)名稱”與“正負號”的正確判斷．求任意角的三角函數(shù)值的問題，都可以通過誘導(dǎo)公式化為銳角三角函數(shù)的求值問題，具體步驟為“負角化正角”→“正角化小角”→“小角化銳角”→“求值”．2．角α與角的聯(lián)系第四十一頁第四十二頁，共60頁。如果用α1、α2、α3、α4表示第一、二、三、四象限角，則

分布如圖所示，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟記右圖解有關(guān)此類型的題就方便多了．3．求值題型：已知任意角的正弦、余弦、正切中的一個求其他兩個，這里應(yīng)特別注意開方運算時正、負號的選取，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件是否指明所在的象限，確定最后結(jié)果是一組解還是兩組解．4．在計算、化簡或證明三角函數(shù)時常用的技巧有：(1)“1”的代換：為了解題的需要有時可以將“1”用“sin2α＋cos2α”代替．(2)切化弦：利用商數(shù)關(guān)系把正切化為正弦和余弦．(3)涉及sinα＋cosα，sinα－cosα，sinα·cosα的問題常采用平方法求解(給一求二)．第四十二頁第四十三頁，共60頁。(4)涉及sinα，cosα的齊次分式(如)的問題常采用分子分母同時除以cosα或cos2α將弦化成切進行求解．第四十三頁第四十四頁，共60頁。例1已知α＝.(1)寫出所有與α終邊相同的角；(2)寫出在區(qū)間(－4π，2π)內(nèi)與α終邊相同的角；(3)若角β與α終邊相同，則是第幾象限的角？【解析】

(1)所有與α終邊相同的角可表示為{θ|θ＝2kπ＋(k∈Z)}．(2)由(1)令－4π＜2kπ＋＜2π(k∈Z)，則有第四十四頁第四十五頁，共60頁。例2在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍，并由此寫出角α的集合．第四十五頁第四十六頁，共60頁。第四十六頁第四十七頁，共60頁。第四十七頁第四十八頁，共60頁。第四十八頁第四十九頁，共60頁。1．(2010年·廣州高三訓(xùn)練)如果角2α的終邊在x軸上方，那么α的范圍是(

)(A)第一象限角的集合．(B)第一或第二象限角的集合．(C)第一或第三象限角的集合．(D)第一或第四象限角的集合．【解析】∵2kπ<2α<π＋2kπ，∴kπ<α<＋kπ.當k＝2m(m∈Z)時，α為第一象限角；基礎(chǔ)過關(guān)第四十九頁第五十頁，共60頁。當k＝2m＋1(m∈Z)時，α為第三象限角．【答案】

C第五十頁第五十一頁，共60頁。3．(2010年·廣東廣州模擬)已知扇形的半徑為10