滬科版初中數(shù)學(xué)2018年中考第一輪復(fù)習(xí)4.4

了解比例的基本性質(zhì),了解線段的比、成比例線段的概念,了解黃金分割.了解圖形相似的概念,了解相似多邊形和相似比,理解相似三角形的概念和性質(zhì).理解并掌握兩條直線被一組平行線所截,所得的對應(yīng)線段成比例.理解并掌握相似三角形的判定定理.能夠利用相似三角形的判定定理和相似三角形的性質(zhì)定理證明和解決有關(guān)的問題.了解位似圖形的概念,能夠利用位似將一個圖形放大或縮小,能利用圖形的相似解決一些簡單實際問題.第一頁第二頁，共34頁。第二頁第三頁，共34頁。第三頁第四頁，共34頁?？键c1

比例線段和比例的性質(zhì)1.線段的比和比例線段(1)線段的比:用同一個長度單位去度量兩條線段a,b,得到它們的長度,我們把這兩條線段

長度

的比叫做這兩條線段的比,記作

或a∶b.

(2)比例線段:在四條線段a,b,c,d中,如果a與b的比

等于

c與d的比,即(或a∶b=c∶d),那么這四條線段a,b,c,d叫做成比例線段,簡稱比例線段.

2.線段的比例中項在線段a,b,c中,如果a∶b=b∶c,那么線段b叫做線段a,c的比例中項,此時有b2=ac.3.黃金分割把一條線段分成兩部分,使其中較長線段為全線段與較短線段的

比例中項

,這樣的線段分割叫做黃金分割,分割點叫做這條線段的黃金分割點,比值

叫做黃金數(shù).

第四頁第五頁，共34頁。第五頁第六頁，共34頁。4.比例的性質(zhì)

(1)等比性質(zhì)的證明運用了“設(shè)k法”(即引入新的參數(shù)k),這樣可以減少未知數(shù)的個數(shù),這種方法是有關(guān)比例計算變形中的一種常用方法;(2)應(yīng)用等比性質(zhì)時,要考慮分母是否為零;(3)可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個比的前項與后項同時乘以一個數(shù),再利用等比性質(zhì)也成立.如:第六頁第七頁，共34頁。典例1

(2017·蘭州)已知2x=3y(y≠0),則下面結(jié)論成立的是

(

)【答案】

A第七頁第八頁，共34頁?？键c2

平行線分線段成比例1.平行線分線段成比例定理兩條直線被一組平行線所截,所得的

對應(yīng)線段

成比例.

2.推論(三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的

對應(yīng)線段

成比例.

第八頁第九頁，共34頁。典例2

(2017·湖北恩施)如圖,在△ABC中,DE∥BC,∠ADE=∠EFC,AD∶BD=5∶3,CF=6,則DE的長為

(

)A.6 B.8C.10 D.12【解析】∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∵∠ADE=∠EFC,∴∠ABC=∠EFC,∴EF∥AB,∴四邊形BDEF是平行四邊形,∴DE=BF,∵

,∴BF=10,即DE=10.【答案】C【方法指導(dǎo)】

已知平行線,求線段的長或求線段的比,一般要考慮由平行線得到成比例線段,并利用比例的性質(zhì)進(jìn)行變形.第九頁第十頁，共34頁。提分訓(xùn)練1.已知,如圖,直線l1∥l2∥l3,直線AC,DF被這三條直線分別截于點A,B,C和D,E,F,若AB=BC,DF=6,則DE=

3

【解析】因為l1∥l2∥l3,所以,又AB=BC,DF=6,所以DE=EF=3.第十頁第十一頁，共34頁。考點3

相似三角形的判定(8年8考)1.相似三角形的定義對應(yīng)角

相等

,對應(yīng)邊

成比例

的三角形,叫做相似三角形.

2.相似三角形的判定(1)平行法:平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,截得的三角形與原三角形相似.(2)兩角

分別相等

的兩個三角形相似.

(3)兩邊成比例且

夾角相等

的兩個三角形相似.

(4)三邊

成比例

的兩個三角形相似.

(5)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例,那么這兩個直角三角形相似.第十一頁第十二頁，共34頁。3.相似基本圖形(1)“平行線型”的相似三角形(有“A型”“X型”).(2)“斜交型”的相似三角形(需滿足∠1=∠2,有“反A共角型”“反A共角共邊型”“蝶型”).第十二頁第十三頁，共34頁。(3)“垂直型”(有“雙垂直共角型”“雙垂直共角共邊型”“三垂直型”).這些相似三角形的基本圖形只是最基本的,也是為了讓同學(xué)們盡快地熟悉常見的相似三角形的情況,但在實際問題中,兩個相似三角形的位置各種各樣、千變?nèi)f化,腦海中不能僅局限于以上這幾種情況.第十三頁第十四頁，共34頁。典例3

(2017·山東棗莊)如圖,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開,剪下的陰影三角形與原來三角形不相似的是(

)【解析】A項,陰影三角形與原三角形有兩個角相等,故兩三角形相似;B項,陰影三角形與原三角形有兩個角相等,故兩三角形相似;C項,兩三角形的對應(yīng)邊不成比例,故兩三角形不相似;D項,兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等,故兩三角形相似.【答案】

C第十四頁第十五頁，共34頁。【變式拓展】

如圖,點D在等邊△ABC的邊BC上,點E在邊AC上,若∠ADE=60°,則下列與△ADE相似的三角形是

(C)A.△ABD B.△ABCC.△ACD D.△DCE【解析】由等邊△ABC知∠C=60°=∠ADE,又∠DAE=∠CAD,可得△ADE∽△ACD.第十五頁第十六頁，共34頁?？键c4

相似三角形的性質(zhì)(8年8考)1.相似三角形的對應(yīng)角都

相等

、對應(yīng)邊都

成比例

.

2.相似三角形的對應(yīng)高的比、對應(yīng)角平分線的比、對應(yīng)中線的比都等于

相似比

.

3.相似三角形周長的比等于

相似比

.

4.相似三角形面積的比等于相似比的

平方

.

(1)相似三角形的相似比k具有順序性,甲與乙的相似比是k,則乙與甲的相似比是

;(2)利用相似三角形的性質(zhì),可以證明角相等、線段成比例,也可以求三角形的周長、邊長、面積等.第十六頁第十七頁，共34頁。典例4

(2017·四川攀枝花)如圖,D是等邊△ABC邊AB上的點,AD=2,BD=4.現(xiàn)將△ABC折疊,使得點C與點D重合,折痕為EF,且點E,F分別在邊AC和BC上,則

=

.

【解析】易知∠A=∠B=∠EDF=60°,∴∠AED=∠FDB,第十七頁第十八頁，共34頁?！痉椒ㄖ笇?dǎo)】

要求兩條線段的比或證明成比例線段或證明線段的等積式,一般先證明這幾條線段所在的兩個三角形相似,再利用相似三角形的性質(zhì)求解.第十八頁第十九頁，共34頁。提分訓(xùn)練2.如圖,D是△ABC的邊AB上一點,且∠ADC=∠ACB,AD=2,AB=4,則AC的長是

(D)A.2B.4C.8【解析】由∠ADC=∠ACB,∠A=∠A,可得△ACD∽△ABC,3.已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=2∶3,若△ABC的面積是8cm2,則△DEF的面積是

18

cm2.

【解析】因為△ABC∽△DEF,AB∶DE=2∶3,所以S△ABC∶S△DEF=4∶9,又△ABC的面積是8cm2,則△DEF的面積是18cm2.第十九頁第二十頁，共34頁。知識拓展角平分線分線段成比例定理三角形內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比例.

可以應(yīng)用相似三角形對這個定理進(jìn)行證明.證明:作BE∥AC,交AD的延長線于點E,∴∠CAD=∠E,∵∠BAD=∠CAD,∴∠E=∠BAD,∴AB=BE.∵∠E=∠CAD,∠BDE=∠ADC,∴△BDE∽△CDA,第二十頁第二十一頁，共34頁。提分訓(xùn)練4.已知:如圖,在△ABC中,點D,G分別在邊AB,BC上,∠ACD=∠B,AG與CD相交于點F.(1)求證:AC2=AD·AB;【答案】

(1)∵∠ACD=∠B,∠CAD=∠BAC,∴△ACD∽△ABC,∴AC∶AB=AD∶AC,∴AC2=AD·AB.(2)∵△ACD∽△ABC,∴∠ADF=∠ACG.∴∠DAF=∠CAF,即∠BAG=∠CAG,AG是∠BAC的平分線,第二十一頁第二十二頁，共34頁。1.相似三角形與分段函數(shù)的圖象綜合典例1

如圖,菱形ABCD的邊長為5cm,AB邊上的高DE=3cm,垂直于AB的直線l從點A出發(fā),以1cm/s的速度向右移動,到達(dá)點C后停止運動.若直線l的移動時間為x(s),直線l掃過菱形ABCD的面積為y(cm2),則下列能反映y關(guān)于x函數(shù)關(guān)系的大致圖象是

(

)第二十二頁第二十三頁，共34頁?！敬鸢浮?/p>

C第二十三頁第二十四頁，共34頁。2.相似三角形與特殊四邊形綜合典例2

如圖,CB=CA,∠ACB=90°,點D在BC邊上(與B,C不重合),四邊形ADEF為正方形,過點F作FG⊥CA,交CA的延長線于點G,連接FB,交DE于點Q.給出以下結(jié)論:①AC=FG;②S△FAB∶S四邊形CBFG=1∶2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQ·AC.其中正確結(jié)論的個數(shù)是

(

)A.1 B.2 C.3 D.4第二十四頁第二十五頁，共34頁。【答案】D第二十五頁第二十六頁，共34頁。命題點

與相似三角形有關(guān)的證明與計算(必考)1.(2016·安徽第8題)如圖,△ABC中,AD是中線,BC=8,∠B=∠DAC,則線段AC的長為

(B)【解析】∵BC=8,∴CD=4,在△CBA和△CAD中,∵∠B=∠DAC,∠C=∠C,∴△CBA∽△CAD,第二十六頁第二十七頁，共34頁。2.(2016·安徽第23題)如圖1,A,B分別在射線OM,ON上,且∠MON為鈍角.現(xiàn)以線段OA,OB為斜邊向∠MON的外側(cè)作等腰直角三角形,分別是△OAP,△OBQ,點C,D,E分別是OA,OB,AB的中點.(1)求證:△PCE≌△EDQ.(2)延長PC,QD交于點R.①如圖2,若∠MON=150°,求證:△ABR為等邊三角形;第二十七頁第二十八頁，共34頁。解:(1)∵點C,D,E分別是OA,OB,AB的中點,∴DE=OC,DE∥OC,CE=OD,CE∥OD,∴四邊形ODEC是平行四邊形,∴∠OCE=∠ODE,∵△OAP,△OBQ是等腰直角三角形,∴∠PCO=∠QDO=90°,∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO+∠ODE=∠EDQ,∴△PCE≌△EDQ(SAS).第二十八頁第二十九頁，共34頁。(2)①如圖,連接OR.∵PR與QR分別為線段OA與OB的中垂線.∴AR=OR=BR,∠ARC=∠ORC,∠ORD=∠BRD.在四邊形OCRD中,∵∠OCR=∠ODR=90°,∠MON=150°,∴∠CRD=30°,∴∠ARB=∠ARO+∠BRO=2∠ORC+2∠ORD=2∠CRD=60°,∴△ABR為等邊三角形.②由(1)知EQ=PE,∠DEQ=∠CPE.∴∠PEQ=∠CED-∠CEP-∠DEQ=∠ACE-∠CEP-∠CPE=∠ACE-∠RCE=∠ACR=90°,即△PEQ為等腰直角三角形.∵△ARB∽△PEQ,∴∠ARB=90°.第二十九頁第三十頁，共34頁。于是在四邊形OCRD中,∠OCR