導數(shù)在實際生活中的應用

1、實際問題中的應用.在日常生活、生產和科研中,常常會遇到求函數(shù)的最大(小)值的問題.建立目標函數(shù),然后利用導數(shù)的方法求最值是求解這類問題常見的解題思路.在建立目標函數(shù)時,一定要注意確定函數(shù)的定義域.在實際問題中,有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內只有一個點使的情形,如果函數(shù)在這個點有極大(小)值,那么不與端點值比較,也可以知道這就是最大(小)值.這里所說的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間.滿足上述情況的函數(shù)我們稱之為“單峰函數(shù)”.第一頁第二頁，共23頁。3、求最大（最?。┲祽妙}的一般方法(1)分析實際問題中各量之間的關系，把實際問題化為數(shù)學問題，建立函數(shù)關系式，這是關鍵一步。(2)確定函數(shù)定義域，并求出極值點。(3)比較各極值與定義域端點函數(shù)的大小，結合實際，確定最值或最值點。2、實際應用問題的表現(xiàn)形式，常常不是以純數(shù)學模式反映出來。首先，通過審題，認識問題的背景，抽象出問題的實質。其次，建立相應的數(shù)學模型,將應用問題轉化為數(shù)學問題,再解。第二頁第三頁，共23頁。4.問題類型1.幾何方面的應用2.物理方面的應用.3.經濟學方面的應用(面積和體積等的最值)(利潤方面最值)(功和功率等最值)第三頁第四頁，共23頁。6060解:設箱底邊長為xcm，箱子容積為V=x2h例1在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？則箱高xxV′=60x－3x2/2令V′=0，得x=40,x=0(舍去)得V(40)=16000答：當箱底邊長為x=40時,箱子容積最大，最大值為16000cm3第四頁第五頁，共23頁。在實際問題中，如果函數(shù)f(x)在某區(qū)間內只有一個x0

使f

′(x0)=0,而且從實際問題本身又可以知道函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點比較，f(x0)就是所求的最大值或最小值.(所說區(qū)間的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間)第五頁第六頁，共23頁。

11年應用題是全卷的焦點請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=FB=xcm（1）若廣告商要求包裝盒側面積S（cm）最大，試問x應取何值？（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm）最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值。課本例題的改編導數(shù)解決放到17題位置相對簡單。第六頁第七頁，共23頁。第七頁第八頁，共23頁。2008－17如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個頂點A，B及CD的中點P處．AB＝20km，BC＝10km．為了處理這三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上（含邊界）且與A，B等距的一點O處，建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道AO，BO，PO．記鋪設管道的總長度為ykm．（1）按下列要求建立函數(shù)關系式：（i）設（rad），將表示成的函數(shù)；（ii）設（km），將表示成的函數(shù)；（2）請你選用（1）中的一個函數(shù)關系確定污水處理廠的位置，使鋪設的污水管道的總長度最短。【解析】本小題主要考查函數(shù)最值的應用．BCDAOP第八頁第九頁，共23頁。第九頁第十頁，共23頁。例3.已知某商品生產成本C與產量q的函數(shù)關系式為C=100+4q,價格p與產量q的函數(shù)關系式為求產量q為何值時,利潤L最大。分析:利潤L等于收入R減去成本C,而收入R等于產量乘價格.由此可得出利潤L與產量q的函數(shù)關系式,再用導數(shù)求最大利潤.求得唯一的極值點因為L只有一個極值點,所以它是最大值.答:產量為84時,利潤L最大.第十頁第十一頁，共23頁。xy練習1:如圖,在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成的圖形中有一個內接矩形ABCD,求這個矩形的最大面積.解:設B(x,0)(0<x<2),則A(x,4x-x2).從而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面積為:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令,得所以當時,因此當點B為時,矩形的最大面積是第十一頁第十二頁，共23頁。例4，如圖，設鐵路AB之間距離為50km，C到AB的距離為10km，現(xiàn)將貨物從A運往C，已知單位距離鐵路費用為2a元，公路費用為4a元，問在AB上何處修筑公路至C，可使運費由A至C最省？第十二頁第十三頁，共23頁。第十三頁第十四頁，共23頁。練習2、如圖,鐵路線上AB段長100km,工廠C到鐵路的距離CA=20km.現(xiàn)在要在AB上某一處D,向C修一條公路.已知鐵路每噸千米與公路每噸千米的運費之比為3:5.為了使原料從供應站B運到工廠C的運費最省,D應修在何處?BDAC解:設DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=km.又設鐵路上每噸千米的運費為3t元,則公路上每噸千米的運費為5t元.這樣,每噸原料從供應站B運到工廠C的總運費為第十四頁第十五頁，共23頁。令,在的范圍內有唯一解x=15.所以,當x=15(km),即D點選在距A點15千米時,總運費最省.注:可以進一步討論,當AB的距離大于15千米時,要找的最優(yōu)點總在距A點15千米的D點處;當AB之間的距離不超過15千米時,所選D點與B點重合.第十五頁第十六頁，共23頁。練習1、把長為100cm的鐵絲分為兩段，各圍成正方形，怎樣分法才能使兩個正方形面積之和最?。縳解:設分成一段長為4xcm,則第一個正方形面積為另一個面積為所以面積之和為所以4x-50=0得x=12.5,當x<12.5時，s’<0,當x>12.5時，s’>0,故當x=12.5時s最大值為312.5平方厘米答：當一段為4x＝50cm時，面積之和最小，此時另一段也為50cm第十六頁第十七頁，共23頁。練習2、同一個圓的內接三角形中，等邊三角形面積最大。提示：設圓的半徑為R（常數(shù)），等腰三角形的底的邊心距為x，則高為R＋x,底邊長為________等腰三角形的面積為ABCRXR此時可求得AB＝AC＝BC＝第十七頁第十八頁，共23頁。練習3、做一個容積為256升的方底無蓋水箱，它的高為多少時最省材料?練習4、用鐵皮剪一個扇形，制成一個圓錐形容器，扇形的圓心角多大時容積最大？ax解3、設水箱的高為xdm,則它的底邊長為a=dm水箱所用的材料的面積為因為s(x)只有一個極值，故高為4dm時最省料升立方分米第十八頁第十九頁，共23頁。4、設圓鐵皮半徑為R，扇形的圓心角為弧度，則圓錐底半徑為R圓錐的高為圓錐形容器的容積為因過小或過大都會使V變小，故時，容器的容積最大。rRh第十九頁第二十頁，共23頁。練習5、已知海島A與海岸公路BC的距離AB為50KM，B、C間的距離為100KM，從A到C，先乘船，船速為25KM/h，再乘車，車速為50KM/h，登陸點選在何處所用時間最少？第二十頁第二