愛提分七年級(jí)寒假 第02講-平方根與立方根(教師版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)教師輔導(dǎo)講義[教師版]學(xué)員姓名初一1班 年級(jí)初一輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師車勝男上課時(shí)間01-1412:00:00-12:30:00 知識(shí)圖譜平方根知識(shí)精講平方根定義如果一個(gè)數(shù)的平方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的平方根．表示若，則就叫做的平方根，例：，的平方根就是．一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根可用符號(hào)表示為“”.特征1．正數(shù)有兩個(gè)平方根，且互為相反數(shù)，和為0；2．0的平方根只有一個(gè)，是它本身；3．負(fù)數(shù)沒有平方根．算術(shù)平方根概念如果一個(gè)非負(fù)數(shù)x的平方等于a，即，那么非負(fù)數(shù)x是a的算術(shù)平方根．表示a的算術(shù)平方根用表示．a(chǎn)叫做被開方數(shù)（）．例：，9叫做被開方數(shù)，3是9的算術(shù)平方根.性質(zhì)雙重非負(fù)性，在中有，．開平方概念求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方．意義開平方與平方是互逆運(yùn)算，可以通過平方運(yùn)算來求一個(gè)數(shù)的平方根或算術(shù)平方根，以及檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是另一個(gè)數(shù)的平方根或算術(shù)平方根．性質(zhì)1．當(dāng)被開方數(shù)擴(kuò)大(或縮小)倍，它的算術(shù)平方根相應(yīng)地?cái)U(kuò)大（或縮?。﹏倍（）．例：1擴(kuò)大100倍為100，它的平方根相應(yīng)的變?yōu)?0.2．平方根和算術(shù)平方根與被開方數(shù)之間的關(guān)系：若，則；不管為何值，總有注意二者之間的區(qū)別及聯(lián)系．易錯(cuò)點(diǎn)：1．只有非負(fù)數(shù)才有平方根，負(fù)數(shù)沒有平方根；2．正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)；3．0的平方根和算術(shù)平方根都是0；4．計(jì)算.例如，求的算術(shù)平方根，學(xué)生會(huì)錯(cuò)寫為4，應(yīng)該是2；5．求一個(gè)帶分?jǐn)?shù)的平方根時(shí)，必須把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù).

三點(diǎn)剖析一．考點(diǎn)：算術(shù)平方根、平方根．二．重難點(diǎn)：算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性，常見平方數(shù)．三．易錯(cuò)點(diǎn)：只有非負(fù)數(shù)才有平方根；正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)；0的平方根和算術(shù)平方根都是0．平方根例題例題1、的平方根是________．【答案】±2【解析】的平方根是±2．例題2、一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2a－1與－a＋2，則a的值為（）A.1B.－1C.2D.－2【答案】B【解析】由題意得：2a－1－a＋2＝0，解得：a＝－1．例題3、已知與是同類項(xiàng)，則的平方根是________．【答案】【解析】由題意可知：，，的平方根為：例題4、如果一個(gè)數(shù)的平方根是這個(gè)數(shù)本身，那么這個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.D.【答案】A【解析】0的平方根是0．故選這個(gè)數(shù)為0．例題5、若，則（a＋2）2的平方根是________．【答案】±16．【解析】由，兩邊平方得a＝14，∴（a＋2）2＝162，∴（a＋2）2平方根是±16．隨練隨練1、的平方根為（）A.B.8C.D.【答案】D【解析】該題考查的是平方根的概念和根式的性質(zhì)．一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根．，8的平方根有兩個(gè)，．所以本題的答案是D．隨練2、若與（y＋4）2互為相反數(shù)，則x＋y的平方根為________．【答案】±1【解析】∵與（y＋4）2互為相反數(shù)，∴，∴x－5＝0，y＋4＝0，解得x＝5，y＝－4，∴x＋y＝5＋（－4）＝1，∴x＋y的平方根為±1．隨練3、一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是與，則的值是（）A.64B.36C.81D.49【答案】D【解析】正數(shù)的兩個(gè)平方根是與，，解得，所以，，所以，．算術(shù)平方根例題例題1、的算術(shù)平方根是（）A.2B.±2C.D.±【答案】C【解析】∵=2，而2的算術(shù)平方根是，∴的算術(shù)平方根是，例題2、下列各組數(shù)，互為相反數(shù)的是（）A.－2與B.與C.－2與D.2與【答案】C【解析】－2與互為相反數(shù)．例題3、下列各式計(jì)算正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】A、，無意義，故此選項(xiàng)不合題意；B、，故此選項(xiàng)不合題意；C、，故此選項(xiàng)不合題意；D、，正確，符合題意．例題4、下列說法正確的是（）A.是的平方根B.3是的算術(shù)平方根C.的平方根是2D.8的平方根是【答案】B【解析】A、負(fù)數(shù)沒有平方根，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B、，9的算術(shù)平方根是3，故選項(xiàng)B正確；C、的平方根是，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D、8的平方根是，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．例題5、如果是的一個(gè)平方根，那么的算術(shù)平方根是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】是的一個(gè)平方根，的算術(shù)平方根是：．例題6、算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)是________．【答案】0和1【解析】算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)是0和1．隨練隨練1、下列說法不正確的是（）A.的平方根是B.－9是81的一個(gè)平方根C.0.2的算術(shù)平方根是0.04D.－27的立方根是－3【答案】C【解析】A、，故A選項(xiàng)正確；B、，故B選項(xiàng)正確；C、，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，故D選項(xiàng)正確；隨練2、關(guān)于的敘述正確的是（）A.在數(shù)軸上不存在表示的點(diǎn)B.C.D.與最接近的整數(shù)是3【答案】D【解析】A、在數(shù)軸上存在表示的點(diǎn)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、與最接近的整數(shù)是3，故選項(xiàng)正確．隨練3、已知，則________．【答案】1.01【解析】，．隨練4、我們可以利用計(jì)算器求一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根，其操作方法是按順序進(jìn)行按鍵輸入：．小明按鍵輸入顯示結(jié)果為4，則他按鍵輸入顯示結(jié)果應(yīng)為________．【答案】40【解析】∵，∴．開平方例題例題1、下列計(jì)算正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】A、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，正確．例題2、若，則x＝________．【答案】16【解析】兩邊平方，得：x＝16．例題3、已知，，那么=__________，=__________．【答案】，【解析】被開方數(shù)擴(kuò)大(或縮小)倍，它的算術(shù)平方根相應(yīng)地?cái)U(kuò)大（或縮小）n倍（）．例題4、閱讀下列解答過程，在橫線上填入恰當(dāng)內(nèi)容．解方程：解：，（1），（2）．（3）上述過程中有沒有錯(cuò)誤？若有，錯(cuò)在步驟________（填序號(hào)）原因是____________________________________________；請(qǐng)寫出正確的解答過程．【答案】（2）；正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；見解析【解析】上述過程中有沒有錯(cuò)誤？若有，錯(cuò)在步驟（2），原因是正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，正確的解答過程為：，，，．隨練隨練1、已知x是的整數(shù)部分，y是的小數(shù)部分，則的平方根為________．【答案】±3【解析】由題意可得：，∴x＝3，，則，而9的平方根為±3．隨練2、若與互為相反數(shù)，則的平方根=_____．【答案】【解析】∵若與互為相反數(shù)，∴，∵，，∴，，∴，∴9的平方根為．故答案為．隨練3、（1）已知的平方根是，的平方根是士4，求的平方根；（2）若與是同一個(gè)正數(shù)的平方根，求的值．【答案】（1）±3（2）【解析】（1）依題意，得且，，．．的平方根為，即；（2）與是同一個(gè)正數(shù)的平方根，，，，．立方根知識(shí)精講一．立方根定義如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根.例：，那么叫做的立方根.表示若則就叫做的立方根，一個(gè)數(shù)的立方根可用符號(hào)表“”，其中“”叫做根指數(shù)，不能省略．例：，此時(shí)2就叫做8的立方根.特征1．任意一個(gè)數(shù)都有立方根；2．正數(shù)立方根是正值；3．負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)值；4．0的立方根是0．二．開立方定義求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算意義開立方與立方是互逆運(yùn)算，可以通過立方運(yùn)算來求一個(gè)數(shù)的立方根，以及檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是另一個(gè)數(shù)的立方根．性質(zhì)1．當(dāng)被開方數(shù)（大于0）擴(kuò)大（或縮小）倍，它的立方根相應(yīng)地?cái)U(kuò)大(或縮小)倍．例：1擴(kuò)大1000倍變?yōu)?000，則它的立方根由1變?yōu)?0，擴(kuò)大了10倍.

2．，．三．易錯(cuò)點(diǎn)1．平方根“”其實(shí)省略了根指數(shù)“”，即：也可以表示為，而立方根“”的根指數(shù)“3”不能省略．2．立方根等于本身的數(shù)有“”和“0”．3．兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，則它們的立方根也互為相反數(shù)．4．當(dāng)兩個(gè)數(shù)相等時(shí)這兩個(gè)數(shù)的立方根相等，反過來，當(dāng)兩個(gè)數(shù)的立方根相等時(shí)，這兩個(gè)數(shù)也相等．5．求一個(gè)帶分?jǐn)?shù)的立方根時(shí)，必須把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)．

三點(diǎn)剖析一．考點(diǎn)：立方根．二．重難點(diǎn)：立方根的運(yùn)算．三．易錯(cuò)點(diǎn)：平方根“”其實(shí)省略了根指數(shù)“”，即：也可以表示為，而立方根“”的根指數(shù)“3”不能省略．立方根等于本身的數(shù)有“”和“0”．兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，則它們的立方根也互為相反數(shù)．立方根例題例題1、的立方根是__________．【答案】【解析】例題2、的立方根是__________．【答案】【解析】例題3、下列說法，其中正確說法的個(gè)數(shù)是（）①－64的立方根是4②49的算術(shù)平方根是③的立方根是④的平方根是A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】①－64的立方根是－4，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；②49的算術(shù)平方根是7，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；③的立方根是，正確；④的平方根是：，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；例題4、已知，那么等于________．【答案】148.877【解析】，例題5、若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根與它的立方根相等，那么這個(gè)數(shù)是________．【答案】0和1【解析】0的算術(shù)平方根和立方根都是0，1的算術(shù)平方根和立方根都是1．例題6、已知2a﹣1的平方根是±3，3a﹣b+2的算術(shù)平方根是4，求a+3b的立方根．【答案】2【解析】∵2a﹣1的平方根是±3∴2a﹣1=9，解得，a=5，∵3a﹣b+2的算術(shù)平方根是4，a=5，∴3a﹣b+2=16，∴15﹣b+2=16，解得，b=1，∴a+3b=8，∴a+3b的立方根是2．隨練隨練1、下列關(guān)于立方根的說法，正確的是（）A.的立方根是 B.立方根等于它本身的數(shù)有，0，1 C.的立方根為 D.一個(gè)數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)【答案】B【解析】A、的立方根是，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、立方根等于它本身的數(shù)有，0，1，故選項(xiàng)正確；C、，的立方根為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、0的立方根是0，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．隨練2、若一個(gè)數(shù)的立方根等于這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，則這個(gè)數(shù)是（）A.0B.0和1C.1D.和0【答案】B【解析】設(shè)這個(gè)數(shù)為a，由題意知，，解得或0，故選：B．隨練3、已知某正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是和，b的立方根是．求的算術(shù)平方根．【答案】∵某正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是和，b的立方根是．∴，，解得．∴，16的算術(shù)平方根是4．【解析】先依據(jù)平方根的性質(zhì)列出關(guān)于a的方程，從而可求得a的值，然后依據(jù)立方根的定義求得b的值，最后，再進(jìn)行計(jì)算即可．開立方例題例題1、已知343的立方根是7，那么343000的立方根是__________．【答案】70．【解析】70．例題2、已知與互為相反數(shù)，求．【答案】【解析】兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，則他們的立方根也互為相反數(shù)，∴，∴．例題3、當(dāng)時(shí)，的值是（）A.B.C.4D.【答案】C【解析】原式．例題4、的立方根與的平方根的和為（）A.B.4C.D.或【答案】D【解析】的立方根為，，的平方根為3或，則的立方根與的平方根的和或．例題5、（1）27的立方根是__________；__________．（2）的立方根是__________；的立方根為__________．（3）若，則__________；若，則__________．【答案】（1）3（2）（3）2（4）2（5）-2（6）例題6、解方程（1）；（2）．【答案】（1）或（2）【解析】（1），，解得或．（2），，解得．隨練隨練1、一個(gè)數(shù)的立方根是它本身，則這個(gè)數(shù)是（）A.0B.1，0C.1，D.1，或0【答案】D【解析】立方根是它本身有3個(gè)，分別是，0．隨練2、若，則k的取值范圍為（）A.B.C.D.為任意數(shù)【答案】C【解析】由于，因此，即．隨練3、求下列各式中的值（1）（2）【答案】（1），（2）【解析】（1），，．（2）．隨練4、已知和互為相反數(shù)，求的平方根．【答案】【解析】由題意，得，解得．拓展拓展1、下列各式中，正確的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以A選項(xiàng)正確；B、C、D選項(xiàng)都錯(cuò)誤．拓展2、下列說法正確的是（）A.1的立方根是±1B.=±2C.0.09的平方根是±0.3D.0沒有平方根【答案】C【解析】A．1的立方根是1，故A錯(cuò)誤；B．=2，故B錯(cuò)誤，C．0.09的平方根是±0.3，故C正確．D．0的平方根是0，故D錯(cuò)誤．拓展3、已知，則0.005403的算術(shù)平方根是（）A.0.735B.0.0735C.0.000735D.0.0000735【答案】B【解析】0.0735．拓展4、正數(shù)的兩個(gè)平方根分別為和．（1）求的值；（2）求這個(gè)數(shù)的立方根．【答案】（1）－10（2）－5【解析】（1）正數(shù)的兩個(gè)平方根是和，，解得：（2），，．這個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是，這個(gè)正數(shù)是169．，－125的立方根是－5．拓展5、化簡（）A.B.2C.D.4【答案】B【解析】是4的算術(shù)平方根，則．拓展6、的算術(shù)平方根是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，的算術(shù)平方根為。拓展7、在下列各式中正確的是（）A.2B.C.D.【答案】A【解析】A、，正確；B、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．拓展8、下列各式中，正確的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】A、